專題1 長(zhǎng)方體和正方體-2023-2024學(xué)年六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)計(jì)算大通關(guān)（蘇教版）

專題1長(zhǎng)方體和正方體（考點(diǎn)梳理+通關(guān)練習(xí)）【考點(diǎn)梳理】一、長(zhǎng)方體和正方體的表面積。1、表面積的含義。物體的表面積：圍成物體表面的圖形的總面積。長(zhǎng)方體（正方體）6個(gè)面的總面積，叫作它的表面積。2、長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算方法。長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)×寬×2+長(zhǎng)×高×2+寬×高×2=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2。假如用S表示長(zhǎng)方體的表面積，a表示長(zhǎng)，b表示寬，h表示高，那么長(zhǎng)方體的表面積的計(jì)算公式可以用字母表示為s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。有2個(gè)面是正方形的長(zhǎng)方體，假如正方形的邊長(zhǎng)用a表示，那么長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高可以用a，a，h表示，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積可以表示為2a2+4ah。3、正方體表面積的計(jì)算方法。正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，假如用s表示正方體的表面積，用a表示正方體的棱長(zhǎng)，那么正方體表面積的計(jì)算公式用字母表示為s=6a2二、長(zhǎng)方體和正方體的體積。1、長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式。長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高。長(zhǎng)方體體積公式用字母表示為V=abh，a，b，h分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，V表示長(zhǎng)方體的體積。2、正方體的體積公式。正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用字母公式表示為V=a3。長(zhǎng)方體（正方體）的體積=底面積×高，用字母表示為V=sh（s表示底面積，h表示高）。長(zhǎng)方體和正方體提及的統(tǒng)一公示，不僅在長(zhǎng)方體和正方體中可以運(yùn)用，還在相應(yīng)的規(guī)章立體圖形中也適用。3、運(yùn)用體積公式解決實(shí)際問題。已知長(zhǎng)方體（正方體）物體的長(zhǎng)、寬、高（棱長(zhǎng)）時(shí)，可直接利用公式計(jì)算物體的體積。二、體積單位及其換算。1、體積和容積。物體所占空間的大小叫作物體的體積。能盛裝其他的物體的物體都可以稱為容器。容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。不同物體所占空間的大小不一樣，體積也不一樣大；相同物體所占空間的大小一樣，體積也一樣大。2、體積單位。計(jì)量物體的體積需要統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)就是體積單位。常用的體積單位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。3、容積單位。計(jì)量容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，通常用升或毫升做單位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。4、體積和容積的區(qū)分與聯(lián)系。物體容積的計(jì)算方法與體積的計(jì)算方法相同，知道長(zhǎng)、寬、高或棱長(zhǎng)，即可求出物體的容積。5、相鄰體積單位間的進(jìn)率。每相鄰兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000。1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米由“1立方分米=1升”及學(xué)過的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及學(xué)過的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。6、高級(jí)體積單位和低級(jí)體積單位之間的換算。單位換算的一般規(guī)律：高級(jí)單位換算成低級(jí)單位要乘它們之間的進(jìn)率，低級(jí)單位換算成高級(jí)單位要除以它們之間的進(jìn)率。7、體積單位換算的簡(jiǎn)便方法。相鄰的兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000，高級(jí)單位化成低級(jí)單位時(shí)，只要把小數(shù)點(diǎn)想向右移動(dòng)3位（相鄰）或6位（不相鄰，1立方米=1000000立方厘米，有6個(gè)0，要向右移動(dòng)6位）即可?！就P(guān)練習(xí)】一、計(jì)算題1．計(jì)算下圖長(zhǎng)方體的表面積和體積。2．計(jì)算正方體的體積。

3．如圖，求圖形的體積。（單位：厘米）

4．棱長(zhǎng)總和是76厘米，求長(zhǎng)方體的高和體積。

5．計(jì)算表面積和體積。（1）橫截面是周長(zhǎng)為20厘米的正方形，長(zhǎng)6分米。（2）（單位：厘米）6．計(jì)算長(zhǎng)方體下面、左面的面積和。

7．計(jì)算下面圖形的表面積和體積。8．求下面立體圖形的表面積和體積。（1）

（2）9．計(jì)算下圖的表面積和體積。（單位cm）

10．求長(zhǎng)方體的表面積。11．計(jì)算下圖的體積。（單位：厘米）12．計(jì)算出下面圖形的表面積和體積。13．求出下面組合圖形的表面積和體積（單位：cm）。14．計(jì)算下圖的表面積。（單位：厘米）15．計(jì)算下面各圖形的體積。（1）

（2）16．計(jì)算下面幾何體的表面積和體積。17．計(jì)算下面圖形的表面積和體積。（單位：cm）（1）

（2）18．鐵塊的體積是多少cm3？19．計(jì)算下面長(zhǎng)方體的體積。20．計(jì)算下面圖形的表面積和體積。21．計(jì)算下面正方體表面積。

22．計(jì)算下面圖形的表面積和體積（單位：分米）。

23．分別計(jì)算下面兩個(gè)圖形的表面積和體積。（單位：cm）

24．計(jì)算下面圖形的表面積和體積。（單位：dm）25．計(jì)算下面圖形的表面積和體積。（單位：cm）參考答案1．290cm2；300cm3【分析】把長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)據(jù)代入長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和長(zhǎng)方體的體積公式：V＝a×b×h中，計(jì)算出長(zhǎng)方體的表面積和體積?！驹斀狻浚?2×5＋12×5＋5×5）×2＝（60＋60＋25）×2＝145×2＝290（cm2）12×5×5＝60×5＝300（cm3）即長(zhǎng)方體的表面積是290cm2，體積是300cm3。2．125cm3【分析】依據(jù)：正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻?×5×5＝25×5＝125（cm3）3．512立方厘米【分析】正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，把圖中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，據(jù)此解答。【詳解】8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）所以，正方體的體積是512立方厘米。4．3厘米；117立方厘米【分析】已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為13厘米，寬為3厘米，棱長(zhǎng)總和是76厘米，依據(jù)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和＝（長(zhǎng)＋寬＋高）×4，代入數(shù)據(jù)求出長(zhǎng)方體的高；再依據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可得解。【詳解】76÷4－13－3＝19－13－3＝3（厘米）13×3×3＝117（立方厘米）即長(zhǎng)方體的高是3厘米，體積是117立方厘米。5．（1）1250平方厘米；1500立方厘米；（2）416平方厘米；448立方厘米【分析】（1）用橫截面的周長(zhǎng)除以4，求出長(zhǎng)方體的寬和高，統(tǒng)一單位后，把長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)據(jù)代入長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和長(zhǎng)方體的體積公式：V＝a×b×h中，計(jì)算出長(zhǎng)方體的表面積和體積。（2）大正方體挖去一個(gè)正長(zhǎng)方體，凹下去圖形有4個(gè)面的面積，原來缺失的是2個(gè)面的面積，所以組合圖形的表面積相比之前大正方體的表面積增加了2個(gè)面的面積，依據(jù)正方體的表面積公式求出大正方體的表面積，再加上2個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形的面積即可。組合體的體積用大正方體的體積減去小正方體的體積即可?！驹斀狻浚?）20÷4＝5（厘米）6分米＝60厘米表面積：60×5×2＋60×5×2＋5×5×2＝600＋600＋50＝1250（平方厘米）體積：5×5×60＝1500（立方厘米）（2）表面積：8×8×6＋4×4×2＝384＋32＝416（平方厘米）體積：8×8×8－4×4×4＝512－64＝448（立方厘米）6．56平方分米【分析】長(zhǎng)方體有6個(gè)面，有三組相對(duì)的面完全相同；長(zhǎng)方體6個(gè)面的面積就是長(zhǎng)方體表面積；前面或后面的面積＝長(zhǎng)×高，左面或右面的面積＝寬×高，上面或下面的面積＝長(zhǎng)×寬。據(jù)此解答?！驹斀狻?×4＋6×4＝32＋24＝56（平方分米）即長(zhǎng)方體下面、左面的面積和是56平方分米。7．左圖：72dm2；36dm3右圖：96dm2；64dm3【分析】把長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)據(jù)代入長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和長(zhǎng)方體的體積公式：V＝a×b×h中，計(jì)算出長(zhǎng)方體的表面積和體積。把正方體的棱長(zhǎng)的數(shù)據(jù)代入正方體的表面積公式：S＝6×a2，和正方體的體積公式：V＝a3中，計(jì)算出正方體的表面積和體積。【詳解】圖1：表面積：（6×3＋6×2＋3×2）×2＝（18＋12＋6）×2＝36×2＝72（dm2）體積：6×3×2＝36（dm3）圖2：表面積：4×4×6＝96（dm2）體積：4×4×4＝64（dm3）8．（1）384平方厘米；512立方厘米；（2）188平方分米；120立方分米【分析】（1）依據(jù)“正方體表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6、正方體體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”，分別計(jì)算即可。（2）依據(jù)“長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2、長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高”，分別計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）表面積：8×8×6＝64×6＝384（平方厘米）體積：8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）所以，這個(gè)正方體的表面積是384平方厘米；它的體積是512立方厘米。（2）表面積：（12×2＋12×5＋2×5）×2＝（24＋60＋10）×2＝94×2＝188（平方分米）體積：12×2×5＝24×5＝120（立方分米）所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是188平方分米，它的體積的120立方分米。9．392cm2；504cm3【分析】觀看圖形可知，該立體圖形的表面積等于大正方體的表面積加上小正方體兩個(gè)面的面積，依據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；該立體圖形的體積等于大正方體的體積減去小正方體的體積，依據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此計(jì)算即可?！驹斀狻?×8×6＋2×2×2＝64×6＋4×2＝384＋8＝392（cm2）8×8×8－2×2×2＝64×8－4×2＝512－8＝504（cm3）10．148平方分米【分析】長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，把長(zhǎng)6分米、寬5分米、高4分米代入長(zhǎng)方體表面積計(jì)算公式計(jì)算即可?！驹斀狻浚?×5＋6×4＋5×4）×2＝（30＋24＋20）×2＝74×2＝148（平方分米）11．109立方厘米【分析】觀看題意可知，立體圖形的體積＝一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體體積－一個(gè)長(zhǎng)是4厘米、寬是2厘米、高是2厘米的長(zhǎng)方體的體積，依據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)解答。【詳解】5×5×5－4×2×2＝125－16＝109（立方厘米）立體圖形的體積是109立方厘米。12．長(zhǎng)方體的表面積是220平方厘米；長(zhǎng)方體的體積是200立方厘米；正方體的表面積是216平方厘米；正方體的體積是216立方厘米【分析】依據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，用（5×4＋5×10＋4×10）×2即可求出長(zhǎng)方體的表面積；依據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，用5×4×10即可求出長(zhǎng)方體的體積；依據(jù)正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，用6×6×6即可求出正方體的表面積；依據(jù)正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，用6×6×6即可求出正方體的體積。【詳解】（5×4＋5×10＋4×10）×2＝（20＋50＋40）×2＝110×2＝220（平方厘米）長(zhǎng)方體的表面積是220平方厘米；5×4×10＝200（立方厘米）長(zhǎng)方體的體積是200立方厘米；6×6×6＝216（平方厘米）正方體的表面積是216平方厘米；6×6×6＝216（立方厘米）正方體的體積是216立方厘米。13．表面積428cm2；體積365cm3【分析】觀看圖形可知，正方體與長(zhǎng)方體有重合的部分，把正方體的上面對(duì)下平移，補(bǔ)給長(zhǎng)方體的上面；這樣長(zhǎng)方體的表面積是6個(gè)面的面積之和，而正方體只需計(jì)算4個(gè)面（前后面和左右面）的面積；組合圖形的表面積＝長(zhǎng)方體的表面積＋正方體4個(gè)面的面積，依據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，正方體4個(gè)面的面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×4，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這個(gè)組合圖形的表面積。組合圖形的體積＝長(zhǎng)方體的體積＋正方體的體積，依據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這個(gè)組合圖形的體積。【詳解】表面積：（12×10＋12×2＋10×2）×2＋5×5×4＝（120＋24＋20）×2＋5×5×4＝164×2＋25×4＝328＋100＝428（cm2）體積：12×10×2＋5×5×5＝240＋125＝365（cm3）組合圖形的表面積是428cm2，組合圖形的體積是365cm3。14．150平方厘米【分析】在長(zhǎng)方體上面放一個(gè)小正方體，則表面積比長(zhǎng)方體多了4個(gè)正方形面，依據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，用（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4即可求出這個(gè)立體圖形的表面積?！驹斀狻浚?×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4＝（24＋24＋9）×2＋3×3×4＝57×2＋3×3×4＝114＋36＝150（平方厘米）立體圖形的表面積是150平方厘米。15．（1）24dm3（2）56cm3【分析】（1）依據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；（2）該立體圖形的體積等于大正方體的體積減去小正方體的體積，依據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）6×2.5×1.6＝15×1.6＝24（dm3）（2）4×4×4－2×2×2＝16×4－4×2＝64－8＝56（cm3）16．左圖：600平方厘米；900立方厘米右圖：1220平方厘米；2445立方厘米【分析】長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高；組合體的表面積＝完整的大長(zhǎng)方體表面積＋小長(zhǎng)方體前后左右4個(gè)面的面積，組合體的體積＝大長(zhǎng)方體體積＋小長(zhǎng)方體體積，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻浚ㄆ椒嚼迕祝⒎嚼迕祝ㄆ椒嚼迕祝⒎嚼迕祝?7．（1）表面積：136cm2，體積：96cm3（2）表面積：150cm2，體積：125cm3【分析】（1）（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2＝長(zhǎng)方體表面積，長(zhǎng)×寬×高＝長(zhǎng)方體體積；（2）正方體表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，正方體體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)?！驹斀狻浚?）表面積：（8×3＋8×4＋3×4）×2＝（24＋32＋12）×2＝68×2＝136（cm2）體積：8×3×4＝24×4＝96（cm3）（2）表面積：5×5×6＝25×6＝150（cm2）體積：5×5×5＝25×5＝125（cm3）18．120cm3【分析】水面上升的體積就是鐵塊的體積，長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)×寬×上升的水的高度＝鐵塊體積，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?0×8×（9.5－8）＝80×1.5＝120（cm3）19．105立方分米【分析】依據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)解答?！驹斀狻?×3×5＝105（立方分米）長(zhǎng)方體的體積是105立方分米。20．表面積：210dm2，體積：200dm3；表面積：1350cm2，體積：3375cm3【分析】（1）依據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；（2）依據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）0.5m＝5dm表面積：（8×5＋8×5＋5×5）×2＝（40＋40＋25）×2＝105×2＝210（dm2）體積：8×5×5＝40×5＝200（dm3）（2）表面積：15×15×6＝225×6＝1350（cm2）體積：15×15×15＝225×15＝3375（cm3）21．384平方厘米【分析】依據(jù)正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，用8×8×6即可求出正方體的表面積。據(jù)此解答?！驹斀狻?×8×6＝384（平方厘米）正方體的表面積是384平方厘米。22．184平方分米，160立方分米；294平方分米，343立方分米【分析】依據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，正方體的體積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)；代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解?！驹斀狻浚?）（8×4＋8×5＋4×5）×2＝（32＋40＋20）×2＝92×2＝184（平方分米）8×4×5＝32×5＝160（立方分米）長(zhǎng)方體的表面積是184平方分米，體積是160立方分米。（2）7×7×6＝49×6＝294（平方分米）7×7×7＝49×7＝343（立方分米）長(zhǎng)方體的表面積是294平方分米，體積是343立方分米。23．表面積為526，體積為669；表面積為230，體積為165【分析】看圖1可知，一個(gè)長(zhǎng)方體和正方體疊加之后，削減了兩個(gè)正方形的表面積，組合圖形的表面積等于長(zhǎng)方體的表面積加上正方體四個(gè)面的表面積，利用表面積公式分別代入計(jì)算即可；疊加后體積不變，組合圖形的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計(jì)算即可?？磮D2可知，一個(gè)長(zhǎng)方體和正方體疊相鄰放齊之后，削減了兩個(gè)長(zhǎng)方體側(cè)面的表面積，組合圖形的表面積等于正方體的表面積加上長(zhǎng)方體上、下、前、后四個(gè)面的表面積，表面積公式分別代入計(jì)算即可；組合圖形的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計(jì)算即可?！驹斀狻繄D1：長(zhǎng)方體表面積：11×5×4＋11×11×2＝55×4＋121×2＝220＋242＝462（）正方體四個(gè)面的表面積：4×4×4＝16×4＝64（）圖1的表面積：462＋64＝526（）長(zhǎng)方體體積：11×11×5＝121×5＝605（）正方體體積：4×4×4＝16×4＝64（）圖1的體積：605＋64＝669（）圖2：正方體的表面積：5×5×6＝25×6＝150（）長(zhǎng)方體四個(gè)面的表面積：10×2×4＝20×4＝80（）圖2的表面積：150＋80＝230（）正方體的體積：5×5×5＝25×5＝125（）長(zhǎng)方體的體積：10×2×2＝20×2＝40（）圖2的體積：1