數(shù)學(xué)教材梳理向量的線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1.向量的加法(1)向量加法的定義向量是否能進(jìn)行運(yùn)算？先看下面幾個(gè)實(shí)例.①某人從A到B，再?gòu)腂按原方向到C，則兩次的位移和：?！踩鐖D2—2（1)（2)圖2②若上題改為從A到B,再?gòu)腂按反方向到C，則兩次的位移和:.〔如圖2—2③某車從A到B，再?gòu)腂改變方向到C，則兩次的位移和：.〔如圖2—2(1)（2)圖2④船速為，水速為，則兩速度和：?！踩鐖D2—2-2上面四個(gè)實(shí)例雖然是物理學(xué)中求兩個(gè)已知位移和位移的題目，實(shí)質(zhì)上它們當(dāng)中卻包含著數(shù)學(xué)中的向量的加法運(yùn)算。一般地，已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，則向量叫做a與b的和,記作a+b.即a+b=。(如圖2—2-3）圖2-2兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量。求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法.上面根據(jù)向量的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.三角形法則有兩個(gè)步驟：①以表示向量的第一個(gè)有向線段的終點(diǎn)作為表示第二個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)；②第一條有向線段的起點(diǎn)到第二條有向線段的終點(diǎn)的有向線段表示的向量為兩個(gè)向量的和向量.向量加法的三角形法則,實(shí)質(zhì)是把這兩個(gè)向量首尾順次連接。當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)三角形法則仍然適用.深化升華任何一個(gè)向量均可以寫(xiě)成兩個(gè)任意向量之和,只要注意到這個(gè)向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)即可,如：，如圖2—2圖2對(duì)于零向量和任一向量a,有a+0=0+a=a，即零向量在向量的加法運(yùn)算中所起的作用與實(shí)數(shù)0在實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算中所起的作用是相似的.對(duì)于相反向量，有a+（—a)=（-a）+a=0,這與實(shí)數(shù)運(yùn)算中互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0也是相似的，但應(yīng)注意,在此運(yùn)算中的結(jié)果為零向量，而非常數(shù)0.學(xué)法一得向量是既有大小又有方向的量，對(duì)于首尾相連的幾個(gè)向量的和,等于以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第n個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.如果平面內(nèi)有n個(gè)向量，它們依次首尾連接組成一條封閉的折線，那么這n個(gè)向量的和是零向量.(2）向量加法的運(yùn)算律和平行四邊形法則向量的加法同實(shí)數(shù)的加法相似，滿足加法的交換律和結(jié)合律。①向量加法的交換律：a+b=b+a。由向量的加法,當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，交換律顯然成立。當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)(如圖2—2-5)，作平行四邊形OABC，使=a，=b，則由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義不難得出=a，=b.圖2則=a+b，=b+a,所以，a+b=b+a.②平行四邊形法則在向量加法交換律的證明過(guò)程中，包含了求向量和的另外一種方法——平行四邊形法則。對(duì)于兩個(gè)不共線的非零向量a、b分別作出=a、=b，以O(shè)A、OC為鄰邊作平行四邊形OABC，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是向量a與b的和，這種求兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.平行四邊形法則包括三個(gè)步驟：1）先把兩個(gè)已知的不共線向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)；2）再以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形；3)這兩鄰邊所夾的、與兩個(gè)已知向量有著同一起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量,就是這兩個(gè)已知向量的和。平行四邊形法則有著它的局限性,當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，平行四邊形法則就不適用了，但在處理某些問(wèn)題時(shí)，平行四邊形法則有它一定的優(yōu)越性。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則稱為向量加法的幾何意義，它們建立起了向量和平面幾何之間的聯(lián)系.辨析比較在幾何中向量的加法是用幾何作圖來(lái)定義的。它有兩種法則，其中三角形法則比平行四邊形法則更具有一般性.像兩個(gè)向量共線時(shí)就只能用三角形法則了.當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是一致的.③向量加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+(b+c)證明：如圖2—2-6，使=a,=b，=c圖2-2則（a+b)+c=.a+(b+c)=，∴(a+b）+c=a+(b+c).從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.記憶要訣向量的加法同實(shí)數(shù)的加法一樣，滿足交換律與結(jié)合律.可對(duì)比于實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算記憶向量加法的運(yùn)算。2.向量的減法在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中減法是加法的逆運(yùn)算，同樣地，向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算.一般地，若b+x=a，則向量x就叫a與b的差,記作a—b，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.記憶要訣向量的減法與加法互為逆運(yùn)算，有關(guān)向量的減法可同加法相類比，也可同實(shí)數(shù)的減法相類比.向量的減法也滿足三角形法則，具體如下（如圖2—圖2已知向量a與b不共線，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b。由于，即b+=a，所以，=a—b。這就是說(shuō)，當(dāng)向量a，b起點(diǎn)相同時(shí)，從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量就是a—b，即差向量“箭頭”指向被減數(shù)。由加法的結(jié)合律不難得出：a—b=a+(—b)，且這個(gè)結(jié)果可由圖2-圖2此外，向量的減法也可以用平行四邊形法則來(lái)表示：如圖2—2—9,圖中向量=a+b,而向量=a—圖2學(xué)法一得一般地，不論兩向量共線還是不共線,常選取一個(gè)適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過(guò)平移把兩向量的起點(diǎn)重合，則由減數(shù)向量的終點(diǎn)指向被減數(shù)向量的終點(diǎn)的向量，即為所求的差向量。3。向量的數(shù)乘（1)向量的數(shù)乘已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+（—a)+（-a)。由向量的加法不難得出：=a+a+a=3a，=(—a)+（-a）+(-a）=-3a.由圖2—圖2-2-10①3a與a方向相同且|3a|=3｜a|;(2）-3a與a方向相反且｜—3一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作λa,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①｜λa|=|λ｜｜a｜.②λ＞0時(shí),λa與a方向相同;λ＜0時(shí),λa與a方向相反;λ=0時(shí)，λa=0。由上可知：①當(dāng)｜λ｜＞1時(shí),相當(dāng)于把a(bǔ)的長(zhǎng)度擴(kuò)大;當(dāng)｜λ|＜1時(shí),相當(dāng)于把a(bǔ)的長(zhǎng)度縮?。虎讦?0時(shí),λa仍然是一個(gè)向量，這個(gè)向量是零向量，即等式λa=0兩端都是向量，等號(hào)才成立。此處容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將實(shí)數(shù)0與向量0混淆.學(xué)法一得由于向量是既有大小又有方向的量,所以無(wú)論研究向量的和、差，還是研究實(shí)數(shù)與向量的積，對(duì)運(yùn)算的結(jié)果都要從模與方向兩個(gè)方面給予關(guān)注。誤區(qū)警示實(shí)數(shù)可以和向量進(jìn)行乘法運(yùn)算,其運(yùn)算結(jié)果仍是向量，但不能和向量進(jìn)行加法和減法運(yùn)算.例如2+0無(wú)意義，它既不是向量也不是實(shí)數(shù)。（2)向量數(shù)乘的運(yùn)算律根據(jù)向量數(shù)乘的定義，可以得出向量數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律結(jié)合律：λ（μa）=(λμ）a；①第一分配律：（λ+μ)a=λa+μa;②第二分配律：λ(a+b）=λa+λb.③結(jié)合律證明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一個(gè)成立，則①式成立。如果λ≠0，μ≠0，a≠0，有|λ（μa）｜=｜λ｜|μa|=|λ｜|μ|｜a|,｜（λμ)a|=|λμ||a｜=|λ||μ｜｜a｜，∴｜λ（μa)|=|（λμ)a|。如果λ、μ同號(hào)，則①式兩端向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號(hào),則①式兩端向量的方向都與a反向。從而λ(μa）=(λμ)a。第一分配律證明:如果λ=0，μ=0，a=0至少有一個(gè)成立,則②式顯然成立。如果λ≠0,μ≠0，a≠0，當(dāng)λ、μ同號(hào)時(shí),則λa和μa同向,∴|（λ+μ）a｜=|λ+μ｜｜a｜=（|λ｜+｜μ｜）｜a|.|λa+μa｜=｜λa|+|μa｜=|λ|｜a｜+|μ||a｜=(｜λ|+|μ｜)｜a|.∵λ、μ同號(hào)，∴②兩邊向量方向都與a同向，即｜（λ+μ)a|=｜λa+μa｜.當(dāng)λ、μ異號(hào)，當(dāng)λ＞μ時(shí)，②兩邊向量的方向都與λa同向;當(dāng)λ＜μ時(shí)，②兩邊向量的方向都與μa同向，且｜（λ+μ)a|=｜λa+μa|?！啖谑匠闪?。第二分配律證明：如果a=0，b=0中至少有一個(gè)成立，或λ=0，λ=1,則③式顯然成立.當(dāng)a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1時(shí)，①如圖2-作=a，=b，=λa，=λb。則=a+b，=λa+λb。（1)（2）圖2由作法,知∥,有∠OAB=∠OA1B1，|｜=λ||.∴=λ.∴△OAB∽△OA1B1。∴=λ。因此,O、B、B1在同一直線上,|｜=|λ|,與λ方向也相同?！唳?a+b）=λa+λb。②如圖2—2-11（2），當(dāng)λ＜0時(shí)，可類似證明：λ(a+b）=λ辨析比較要清楚實(shí)數(shù)與向量積和實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)積的區(qū)別,前者的結(jié)果是一個(gè)向量,后者的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，并且前者滿足兩種分配律，而后者只滿足一種分配律。（3)向量共線定理若有向量a（a≠0）、b，實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則a與b為共線向量.若a與b共線（a≠0)且｜b|∶｜a｜=μ，則當(dāng)a與b同向時(shí)b=μa;當(dāng)a與b反向時(shí)b=—μa。從而得向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa（a≠0）,那么b與a是共線向量；反之,如果b與a是共線向量,那么，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.在向量共線定理中向量a≠0不能忽略，否則定理不成立.利用向量共線定理有時(shí)能很容易地證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩條直線平行的問(wèn)題,但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況，而向量平行則包括了表示向量的有向線段在同一條直線上或重合的情況。利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線的一般步驟是：①以三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)構(gòu)造兩個(gè)有一個(gè)共同端點(diǎn)的向量a、b；②證明兩個(gè)向量滿足向量共線定理，即存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使b=λa或a=λb成立;③由兩條線段有共同的端點(diǎn)得出結(jié)論:三點(diǎn)共線.典題·熱題知識(shí)點(diǎn)1向量的加法例1如圖2-2—12，在正六邊形中，若=a,=b，若用向量a、b將、、表示出來(lái),則=________________，=______________，=______________。圖2思路解析：設(shè)正六邊形中心為P，則=()+=a+b+a,=a+b+a+b.由對(duì)稱性：=b+b+a。答案：a+b+aa+b+a+bb+b+a方法歸納深刻領(lǐng)會(huì)平行四邊形法則，充分利用平行四邊形的“對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)，從而將陌生化為熟知，解決問(wèn)題.例2已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若=0，則四邊形ABCD是怎樣的一個(gè)四邊形，點(diǎn)O是四邊形ABCD的什么點(diǎn)？對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，下列結(jié)論中正確的是（）A。四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心B.四邊形ABCD是一般四邊形，點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)C。四邊形ABCD是一般四邊形，點(diǎn)O是四邊形ABCD外接圓的圓心D。四邊形ABCD是一般四邊形，點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)思路解析:如圖2-2—13，點(diǎn)O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且圖2由于=0,且，，所以=0，即I、J、O三點(diǎn)共線，即點(diǎn)O在CD、AB中點(diǎn)的連線上，同理可得點(diǎn)O也在AD、BC中點(diǎn)的連線上。答案：D誤區(qū)警示本題易錯(cuò)選A,這是因?yàn)槿羲倪呅蜛BCD是正方形,點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，則必有=0，但反過(guò)來(lái)，由=0,不能得出四邊形ABCD是正方形。巧解提示采用排除法，利用平行四邊形這一特殊四邊形便可將A、B、C三項(xiàng)排除。知識(shí)點(diǎn)2向量的減法例3如圖2-圖2-2-14b+c=______________，a+d=_______________，b+c+d=______________，f+e=______________，e+g=_______________,b-f+g=_______________.思路解析：b+c=a,a+d=f，b+c+d=a+d=f,f+e=b，e+g=h,b—f+g=e+b=h。答案:affbhh方法歸納當(dāng)所給圖形是不規(guī)則圖形時(shí)，可將其分解成多個(gè)三角形。當(dāng)多個(gè)向量進(jìn)行加、減法運(yùn)算時(shí)，可使用向量加法的運(yùn)算律--交換律和結(jié)合律.例4下列式子：①a-a=0；②=0；③a+0=a;④｜a|-｜a｜=0。其中正確的個(gè)數(shù)為（）A。0B。1C。2思路解析：由于向量加減法運(yùn)算的結(jié)果是向量，則a—a=0；=0.向量與實(shí)數(shù)不能進(jìn)行加、減法的運(yùn)算。向量的模是實(shí)數(shù),可以進(jìn)行加、減法的運(yùn)算，但其結(jié)果是實(shí)數(shù).故應(yīng)選擇A。答案：A誤區(qū)警示向量只能與向量進(jìn)行加、減法的運(yùn)算，其運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù),而向量與實(shí)數(shù)之間是無(wú)法進(jìn)行加、減法運(yùn)算的，且零向量與實(shí)數(shù)零在書(shū)寫(xiě)上是有區(qū)別的，如果不注意這些,將使向量加減法的運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而錯(cuò)選D.知識(shí)點(diǎn)3向量的數(shù)乘例5如圖2—2-求證：M、N、C三點(diǎn)共線。圖2-2-15思路分析：任取兩點(diǎn)確定兩個(gè)向量,看能否找到唯一的實(shí)數(shù)λ使兩向量相等.證明：設(shè)=a，=b，由于M是AB的中點(diǎn),且，則=，=。則=b+=b+(a-b)=a+b=（2a+b).又=b+a=（2a+b）?！?∴M、N、C三點(diǎn)共線。方法歸納要證明三點(diǎn)共線,只需證明以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)，以另外兩點(diǎn)為終點(diǎn)的兩個(gè)向量共線即可。深化升華實(shí)數(shù)與向量的積，向量的加減法運(yùn)算是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了幾何量的代數(shù)運(yùn)算,從而為“數(shù)形結(jié)合”開(kāi)辟了更加廣闊的空間。問(wèn)題·探究材料信息探究材料：采訪零向量W：你好！零向量。我是《數(shù)學(xué)天地》的一名記者，為了讓在校的高中生更好了解你，能不能對(duì)你進(jìn)行一次采訪呢?零向量：當(dāng)然可以,我們向量王國(guó)隨時(shí)恭候大家的光臨，很樂(lè)意接受你的采訪，讓高中生朋友更加了解我，更好地為他們服務(wù).W：好的，那就開(kāi)始吧！你的名字有什么特殊的含義嗎？零向量：零向量就是長(zhǎng)度為零的向量,它與數(shù)字0有著密切的聯(lián)系，所以用0來(lái)表示我。W：你與其他向量有什么共同之處呢?零向量：既然我是向量王國(guó)的一個(gè)成員，就具有向量的基本性質(zhì)，如既有大小又有方向，在進(jìn)行加、減法運(yùn)算時(shí)滿足交