2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓類幾何證明題(含答案)

第=page1717頁，共=sectionpages1717頁第=page22頁，共=sectionpages1717頁2022年中考數(shù)學(xué)真題匯編圓類幾何證明題(2022·湖南省郴州市)如圖，在△ABC中，AB=AC.以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．(1)求證：直線PE是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為6，∠P=30°，求CE的長(zhǎng)．(2022·廣西壯族自治區(qū)貴港市)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AC邊上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E，∠FAC=12∠BDC．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若BC=6，sinB=45，求⊙O的半徑及OD(2022·山東省煙臺(tái)市)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=45°．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作出⊙O的切線AD(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．(2022·山東省聊城市)如圖，點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接OE，連接OD并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AOD=∠EOD．(1)連接AF，求證：AF是⊙O的切線；(2)若FC=10，AC=6，求FD的長(zhǎng)．(2022·遼寧省營(yíng)口市)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O與AC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．(1)求證：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半徑．(2022·湖南省張家界市)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB是直徑，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CE=CD；(2)若AB=3，BC=3，求AD的長(zhǎng)．(2022·遼寧省盤錦市)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=45°，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)C作CE//AD與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．(1)求證：CE與⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求線段AB，BC的長(zhǎng)．(2022·貴州省銅仁市)如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BC⊥DE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)F．(1)求證：AB=CB；(2)若AB=18，sinA=13，求EF(2022·遼寧省鐵嶺市)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過OA上的點(diǎn)P作PD⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF．(1)求證：BF與⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF(2022·四川省廣安市)如圖，AB為⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，連接CD，∠BDC=∠BAD．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若tan∠BED=23，AC=9，求(2022·內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．(1)求證：BD=CD；(2)若tanC=12，BD=4，求AE(2022·北京市)如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD，連接AC，OD．(1)求證：∠BOD=2∠A；(2)連接DB，過點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO，交AC于點(diǎn)F.若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線CE為⊙O的切線．(2022·廣西壯族自治區(qū)百色市)如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作AD⊥MC，垂足為D，已知AC平分∠MAD．(1)求證：MC是⊙O的切線；(2)若AB=BM=4，求tan∠MAC的值．(2022·山東省臨沂市)如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，直線AO交⊙O于C，D兩點(diǎn)，連接BC，BD.過圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長(zhǎng)線、⊙O及BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．(1)求證：∠D=∠E；(2)若F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．(2022·遼寧省)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，?ODEF的頂點(diǎn)O，D在斜邊AB上，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)E．(1)求證：BC與⊙O相切；(2)若sin∠BAC=35，CE=6，求(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線PO交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于點(diǎn)C．(1)求證：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的長(zhǎng)．(2022·內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市)如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，AC=BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E，連接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．(2022·湖北省潛江市)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G，連接BG．(1)求證：FB(2)若AB=6，求FB和EG的長(zhǎng)．(2022·貴州省畢節(jié)市)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：BF=BD；(2)若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O的直徑．(2022·貴州省黔東南苗族侗族自治州)(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中作出△ABC的外接圓⊙O(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)B是CE的中點(diǎn)，過點(diǎn)B的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．①求證：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求(2022·山東省威海市)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E．(1)若AB=AC，求證：∠ADB=∠ADE；(2)若BC=3，⊙O的半徑為2，求sin∠BAC．(2022·江蘇省無錫市)如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、C除外)，BD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．(1)求證：△CED∽△BAD；(2)當(dāng)DC=2AD時(shí)，求CE的長(zhǎng)．(2022·陜西省)如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長(zhǎng)，交AM于點(diǎn)P．(1)求證：∠CAB=∠APB；(2)若⊙O的半徑r=5，AC=8，求線段PD的長(zhǎng)．(2022·新建生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán))如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，AC=CD，連接AD，延長(zhǎng)DB交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)E．(1)求證：∠ABC=∠CAD；(2)求證：BE⊥CE；(3)若AC=4，BC=3，求DB的長(zhǎng)．(2022·江蘇省揚(yáng)州市)如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點(diǎn)P，交過點(diǎn)B的直線于點(diǎn)C，且CB=CP．(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若sinA=55，OA=8，求CB

參考答案1.(1)連接OD，根據(jù)AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，從而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切線；(2)連接AD，連接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用，含特殊角的直角三角形三邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是判定△ABC是等邊三角形．2.(1)作OH⊥FA，垂足為H，連接OE，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得AD=CD，再通過導(dǎo)角得出AC是∠FAB的平分線，再利用角平分線的性質(zhì)可得OH=OE，從而證明結(jié)論；(2)根據(jù)BC=6，sinB=45，可得AC=8，AB=10，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OE=r，利用Rt△AOE∽R(shí)t△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.(1)過點(diǎn)A作AD⊥AO即可；(2)連接OB，OC.證明∠ACB=75°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，推出∠BOC=120°，求出CH可得結(jié)論．本題考查作圖?復(fù)雜作圖，三角形的外接圓，切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．4.(1)根據(jù)SAS證△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)勾股定理求出AF，證△OEC∽△FAC，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)線段比例關(guān)系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根據(jù)FD=OF?OD求出即可．本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.(1)根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠DAO=90°，從而可得∠D+∠ABD=90°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠BEC=90°，從而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ABC，從而利用等角的余角相等即可解答；(2)根據(jù)已知可得BD=3BC，然后利用(1)的結(jié)論可得△DAB∽△BEC，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得AB=3EC，然后根據(jù)AB=AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.(1)連接AC，通過證明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性質(zhì)分析推理；(2)通過證明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性質(zhì)分析計(jì)算．本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，理解相關(guān)性質(zhì)定理，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．7.(1)連接OC，根據(jù)圓周角定理得∠AOC=90°，再根據(jù)AD//EC，可得∠OCE=90°，從而證明結(jié)論；(2)過點(diǎn)A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圓O的直徑，得∠ABD=90°，又AD=4，∠D=60°，即得AB=3BD=23，根據(jù)∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=22AB=6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵．8.(1)連接OD，則OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD//BC，通過證明得出∠A=∠C，結(jié)論得證；(2)連接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=13求得線段BD的長(zhǎng)；在Rt△BDF中，利用本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的判定與性質(zhì)．連接過切點(diǎn)的半徑和直徑所對(duì)的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．9.(1)連接OB，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ABC=90°，從而可得∠ABD=90°，進(jìn)而利用直角三角形三角形斜邊上的中線可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠FEB=∠FBE，從而可得∠FBE=∠AEP，最后根據(jù)垂直定義可得∠EPA=90°，從而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠OBA，從而可得∠OBA+∠FBE=90°(2)在Rt△AEP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出PE的長(zhǎng)，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，從而可證△APE∽△DPC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可求出DP的長(zhǎng)，最后求出DE的長(zhǎng)，即可解答．本題考查了解直角三角形，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握解直角三角形，以及切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.(1)連接OD，由圓周角定理得出∠ADB=90°，證出OD⊥CD，由切線的判定可得出結(jié)論；(2)證明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性質(zhì)得出CDAC=BCCD=BDDA本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11.(1)連接AD，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB=90°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答；(2)利用(1)的結(jié)論可得BD=DC=4，BC=8，然后在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后證明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，以及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．12.(1)連接AD，首先利用垂徑定理得BC=BD，知(2)連接OC，首先由點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，可得AD=CD，則∠ADF=∠CDF，再利用圓的性質(zhì)，可說明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，從而得出∠OCD+∠DCE=90°，從而證明結(jié)論．本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的判定等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．13.(1)根據(jù)垂直定義可得∠D=90°，然后利用等腰三角形和角平分線的性質(zhì)可證OC//DA，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠OCM=90°，即可解答；(2)先在Rt△OCM中，利用勾股定理求出MC的長(zhǎng)，然后證明A字模型相似三角形△MCO∽△MDA，從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD，CD的長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出tan∠DAC本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.(1)連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠E+∠BOE=90°，由圓周角定理得出∠D+∠DCB=90°，證出∠BOE=∠OCB，則可得出結(jié)論；(2)求出∠BOG=60°，由三角形面積公式及扇形的面積公式可得出答案．本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.(1)連接OE，利用平行四邊形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得四邊形AOEF是平行四邊形，則OE//AC，從而得出∠OEB=90°，從而證明結(jié)論；(2)過點(diǎn)F作FH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)sin∠CFE=sin∠CAB=35，可得EF的長(zhǎng)，由OA=OE，得?AOEF是菱形，則AF=AO=EF=10，從而得出FH本題主要考查了圓的切線的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相等角的三角函數(shù)值相等是解題的關(guān)鍵．16.(1)連接OA，利用切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)和等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的結(jié)論，直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=x，則DE=CD+CE=6+x，OA=OE=6+x2，OC=OE?CE=6?x本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接OA是解決此類問題常添加的輔助線．17.(1)利用等腰三角形的三線合一，平行線的判定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；(2)利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到CF=CD=6，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段AC，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA本題主要考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，靈活應(yīng)用等量代換是解題的關(guān)鍵．18.(1)利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；(2)連接OE，利用平行線分線段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，相交弦定理，靈活運(yùn)用上述定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.(1)連接OE，利用圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，同圓的半徑相等和等腰三角形的判定定理解答即可；(2)連接BE，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形的邊角關(guān)系定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑和直徑所對(duì)的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．20.(1)利用尺規(guī)作圖分別作出AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓即可；(2)①連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥CD，證明OB//AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明結(jié)論；②連接EC，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=∠ABC，根據(jù)正切的定義求出EC，根據(jù)勾股定理求出AE，得到答案．本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．21.(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可求證；(2)連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，根據(jù)圓周角定理得出∠FBC=90°，∠F=∠BAC，解直角三角形即可得解．此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22.(1)由對(duì)頂角的性質(zhì)，圓周角定理得出∠CDE=∠BDA，∠A=∠E，即可證明△CED∽△BAD；(2)過點(diǎn)D作DF⊥EC于點(diǎn)F，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=60°，AC=AB=6，由DC=2AD，得出AD=2，DC=4，由相似三角形的性質(zhì)得ECDE得出EC=3DE，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出DE=2EF，設(shè)EF=x，則DE=2x，DF=3x，EC=6x，進(jìn)而得出FC=5x，利用勾股定理得出一元二次方程(3x)本題考查了圓周角