2024-2025學年高考數學一輪復習講義(新高考)第11講第五章平面向量及解三角形章節(jié)驗收測評卷(19題新題型)(學生版+解析)

第12講第五章平面向量及解三角形章節(jié)驗收測評卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列說法錯誤的是（

）A． B．，都是單位向量，則C．若，則 D．零向量方向任意2．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·河南·階段練習）已知均為平面單位向量，若，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知的重心為O，若向量，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·重慶·階段練習）碧津塔是著名景點·某同學為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測得塔尖D的仰角為，再沿方向前進24.4米到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為，塔底點E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.526．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）如圖，已知圓O的半徑為2，弦長為圓O上一動點，則的取值范圍為（

）11．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）如圖所示，在直角三角形中，是上一點，，，則下列說法中正確的有（

）A． B．C． D．三角形的面積三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024·全國·模擬預測）已知向量滿足，向量在向量方向上的投影為，則實數的值為．13．（23-24高一下·云南·階段練習）在中，為上一點，為的平分線，則．14．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習）如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量與向量夾角的余弦值.16．（2024·安徽阜陽·一模）在中，角的對邊分別是，且．(1)求角的大?。?2)若，且，求的面積．17．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）如圖，在梯形中，，，，點分別為線段，上的三等分點，點是線段上的一點.(1)求的值；(2)求的值；(3)直線分別交線段于M，N兩點，若B，N，D三點在同一直線上，求的值.18．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）約會“哈爾濱”，松花江北岸一方繽紛的冰雪童話世界永藏記憶.龍年春節(jié)初六24時，隨著最后一名“小金豆”從超級大滑梯上滑下后走出大門，華麗繽紛的哈爾濱冰雪大世界正式閉園.游客從A處上至大滑梯頂端C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿電梯到B，然后從B沿直線步行到C，現有甲、乙兩位游客從A處出發(fā)，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從A乘電梯到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設電梯勻速直線運動的速度為，長為，經測量得，.(1)求的長；(2)當乙在電梯上與甲的距離最短時，乙出發(fā)了多少min?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過，問乙步行的速度應控制在什么范圍內?19．（23-24高一下·重慶·階段練習）將所有平面向量組成的集合記作，f是從到的映射，記作或，其中，，，，，都是實數．定義映射的模為：在的條件下的最大值，記作．若存在非零向量，及實數使得，則稱為的一個特征值．(1)若，求；(2)若，計算的特征值并求出相應的；（若符合條件的向量有多個，寫出其中一個即可）(3)若，要使有唯一的特征值，實數，，，應滿足什么條件？試找出一個映射，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值；②，并驗證滿足這兩個條件．第12講第五章平面向量及解三角形章節(jié)驗收測評卷（19題新題型）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列說法錯誤的是（

）A． B．，都是單位向量，則C．若，則 D．零向量方向任意【答案】C【分析】根據向量的相關定義即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，，A正確，對于B,，是單位向量，則，B正確，對于C，向量有大小和方向，不可以比較大小，故C錯誤，對于D，零向量是模長為0，方向任意的向量，D正確，故選：C2．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理解三角形.【詳解】中，由正弦定理，得.故選：A.3．（23-24高三下·河南·階段練習）已知均為平面單位向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知等式兩邊同時平方，得到，再由數量積公式得到，從而得到答案.【詳解】兩邊同時平方得，則，解得，即，故選：B．4．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知的重心為O，若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角形的重心性質，將表示為，對照系數即可求得.【詳解】

如圖，設E是的中點，由于O是三角形的重心，所以．則.故選:D．5．（23-24高一下·重慶·階段練習）碧津塔是著名景點·某同學為了瀏量碧津塔的高，他在山下A處測得塔尖D的仰角為，再沿方向前進24.4米到達山腳點B，測得塔尖點D的仰角為，塔底點E的仰角為，那么碧津塔高約為（，）（

）A．37.54 B．38.23 C．39.53 D．40.52【答案】B【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出，再結合直角三角形邊角關系求解即得.【詳解】在中，，則，，由正弦定理得，則，在中，，則，在中，，則，又，因此，，所以碧津塔高約為38.23米.故選：B6．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習）如圖，已知圓O的半徑為2，弦長為圓O上一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據數量積的運算律得到，過點作的垂線，垂足為，則，結合圖形分析臨界情況，即可得解.【詳解】依題意，，過點作的垂線，垂足為，則，當與圓相切時取到最大值與最小值，如圖，根據對稱性，以下對左側圖形進行分析，因為圓的半徑為，弦長，所以為等邊三角形，所以，連接，則，此時四邊形為平行四邊形，則，所以也為等邊三角形，所以，，所以，此時，當點在右側圖形所示位置，同理可得，所以，所以．故選：D7．（23-24高一下·重慶·階段練習）在中，，，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非等邊）三角形【答案】D【分析】結合條件利用數量積的運算律得，再根據數量積的定義求得，即可判斷三角形的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以為等腰非等邊三角形.故選：D8．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出，再由同角三角函數的基本關系求出，即可求出，最后由，利用兩角和的正切公式計算可得.【詳解】因為，即，由余弦定理得，又，所以，又，，所以，則，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習）在中，角的對邊分別為，則下列對的個數的判斷正確的是（

）A．當時，有兩解B．當時，有一解C．當時，無解D．當時，有兩解【答案】AC【分析】由正弦定理對四個選項一一判斷，得到答案.【詳解】對于A，由正弦定理得，即，所以，又因為，所以或，有兩解，故A正確；對于B，由正弦定理得，無解，故B錯誤；對于C，由正弦定理得，無解，故C正確；對于D，由正弦定理得，又，所以為銳角，此三角形只有一解，故D錯誤.故選：AC.10．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，則下列說法正確的是（

）A．的相反向量是B．若，則C．在上的投影向量為D．若，則【答案】AC【分析】根據相反向量定義以及投影向量的公式計算可以判斷AC，計算，由向量垂直以及向量共線的運算法則計算可求出的值，從而判斷BD.【詳解】對于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；對于B，因為，所以，又，且，所以，解得，故B錯誤；對于C，因為，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；對于D，因為，又，且，所以，解得，故D錯誤．故選：AC.11．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）如圖所示，在直角三角形中，是上一點，，，則下列說法中正確的有（

）A． B．C． D．三角形的面積【答案】ACD【分析】對于A，設表示出，利用，在三角形中，正弦定理求出的值，進而判斷A；對于B，根據，即可判斷B；由，判斷C；利用，判斷D.【詳解】設，則在直角三角形中，，在三角形中，，根據正弦定理可得，即，得，所以，因為，即，所以，即，所以，對于A選項，，故A正確；對于B選項，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C選項，因為，，所以由正弦定理得，所以，故C正確；對于D選項，因為，所以，所以，，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（2024·全國·模擬預測）已知向量滿足，向量在向量方向上的投影為，則實數的值為．【答案】/【分析】由向量在向量方向上的投影為以及，計算的值，代入中，可求出的值.【詳解】由題知，，，，．故答案為：13．（23-24高一下·云南·階段練習）在中，為上一點，為的平分線，則．【答案】【分析】由余弦定理計算的長，依據三角形面積結合三角形面積公式可求出.【詳解】由余弦定理可得，而，所以，整理可得：，解得或（舍），為的平分線，所以，因為，而，所以，解得．故答案為：14．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習）如圖，圓是的外接圓，，，，若，則的最大值是．【答案】【分析】分別取的中點，連接，易得，，再根據，，分別求出，，從而可求出，再利用基本不等式即可得解.【詳解】如圖，分別取的中點，連接，則，故，，又，，所以，解得，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：先根據數量積的定義分別求出，，再根據，，分別求出，，求出，是解決本題的關鍵.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量與向量夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意求出的坐標，由向量平行的判斷方法可得關于的方程，即可得到結果；（2）設與的夾角為，由向量夾角公式計算即可得到結果.【詳解】（1）因為，，，，則，因為，則有，解得.（2）可知，，設與的夾角為，則，所以，向量與向量夾角的余弦值為.16．（2024·安徽阜陽·一模）在中，角的對邊分別是，且．(1)求角的大??；(2)若，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意，由正弦定理邊化角，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，由余弦定理結合三角形的面積公式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，所以根據正弦定理得，因為，所以，即，即．因為，所以．因為，所以．（2）．因為，所以①．因為，所以②．聯立①②可得，解得（負根舍去），故的面積為．17．（23-24高一下·河南濮陽·階段練習）如圖，在梯形中，，，，點分別為線段，上的三等分點，點是線段上的一點.(1)求的值；(2)求的值；(3)直線分別交線段于M，N兩點，若B，N，D三點在同一直線上，求的值.【答案】(1)16(2)(3)【分析】（1）根據向量的線性運算，結合模長公式即可求解，（2）根據模長公式即可求解，（3）根據三點共線共線即可求解.【詳解】（1）設，，，，即．（2），．（3）連接三點共線，，為的中點，．(3)到之間（含端點值）【分析】（1）利用和余弦差公式求出每個角的正弦和余弦值，然后通過正弦定理即可求出的長；（2）設從乙開始出發(fā)經過了分鐘后，甲乙兩人分別在點處，即可得到米，米，然后使用余弦定理即可將表示為關于的函數，再研究該函數的最小值點即可；（3）設乙步行時每分鐘走米，然后分別計算出甲乙兩人到點時的取值，由條件知甲乙兩人到點時的取值之差的絕對值不超過，從而得到關于的不等式.最后解該不等式即可得到所求范圍.【詳解】（1）我們記，，，根據條件有，，.這意味著，，從而，故.所以由正弦定理有.（2）設從乙開始出發(fā)經過了分鐘后，甲乙兩人分別在點處，則米，米.同時，乙在電梯上的時間段對應，即.由余弦定理知：，當且僅當時等號成立.所以當時最短，從而當乙在電梯上與甲的距離最短時，乙出發(fā)了.（3）首先由正弦定理有.當甲到達點時，有，即.設乙