2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(知識(shí)+真題+5類(lèi)高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第03講等比數(shù)列及其前項(xiàng)和目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 5高頻考點(diǎn)二：等比數(shù)列的判斷與證明 10高頻考點(diǎn)三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)） 12高頻考點(diǎn)四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 16（角度2：等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)） 16第四部分：新定義題 20第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母()表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：，為常數(shù)，.(2)等比中項(xiàng)如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即：是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；可推廣為.(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.3.等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．(3)若數(shù)列，是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．第二部分：高考真題回顧1．（2024·北京·高考真題）設(shè)an與bn是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合①若an與bn均為等差數(shù)列，則②若an與bn均為等比數(shù)列，則③若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則④若an為遞增數(shù)列，bn為遞減數(shù)列，則其中正確結(jié)論的序號(hào)是.2．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．3．（2024·全國(guó)·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題例題1．（23-24高二上·河北保定）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B．C． D．例題2．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）在等比數(shù)列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．例題3．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)之和為.(1)若是等差數(shù)列，，求b的值；(2)若是等比數(shù)列，，求b的值.例題4．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求q和；(2)已知，，求和；(3)已知，，求q和.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列.(1)若，且，求的值；(2)若數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，，求，的等比中項(xiàng).3．（23-24高三·四川）設(shè)是等比數(shù)列，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．4．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，，求q和；(2)已知，，，求q和；(3)已知，，，求和；(4)已知，，，求q和n.方法總結(jié)解決等比數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)和公比,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含,,,,五個(gè)量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)分類(lèi)討論思想:若題目中公比未知,則運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)要對(duì)分和兩種情況進(jìn)行討論.高頻考點(diǎn)二：等比數(shù)列的判斷與證明典型例題例題1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；例題2．（23-24高二下·上海寶山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.證明：是等比數(shù)列；2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且．求證：數(shù)列為等比數(shù)列；練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·甘肅定西·階段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．9 B． C．9或 D．182．（23-24高三·云南紅河·階段練習(xí)）等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為Sn，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為()A．65 B．75 C．90 D．1103．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，若，且，則的最小值為.4．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則等于；高頻考點(diǎn)四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（角度2：等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)）典型例題例題1．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期中）若正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（

）A．22 B．24 C．26 D．28例題2．（23-24高二下·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．324 B．420 C．480 D．768例題3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）等比數(shù)列共有項(xiàng)，其中，偶數(shù)項(xiàng)和為84，奇數(shù)項(xiàng)和為170，則（

）A．3 B．4 C．7 D．9例題4．（23-24高一下·福建龍巖）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在，滿(mǎn)足，則數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·湖北恩施·期中）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．5 D．2．（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，且，則等于（

）A．100 B．80 C．60 D．404．（2024·浙江寧波）等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有得奇數(shù)項(xiàng)之和為85，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10第四部分：新定義題1．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）定義：若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“線(xiàn)性數(shù)列”.(1)已知為“線(xiàn)性數(shù)列”，且，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)已知.（i）證明：數(shù)列為“線(xiàn)性數(shù)列”.（ii）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.2．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列，數(shù)列前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（a為非零實(shí)數(shù)），求；(3)若對(duì)任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．第03講等比數(shù)列及其前項(xiàng)和目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 5高頻考點(diǎn)二：等比數(shù)列的判斷與證明 10高頻考點(diǎn)三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)） 12高頻考點(diǎn)四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用 16（角度2：等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)） 16第四部分：新定義題 20第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母()表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：，為常數(shù)，.(2)等比中項(xiàng)如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即：是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；可推廣為.(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.3.等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．(3)若數(shù)列，是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．第二部分：高考真題回顧1．（2024·北京·高考真題）設(shè)an與bn是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合①若an與bn均為等差數(shù)列，則②若an與bn均為等比數(shù)列，則③若an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，則④若an為遞增數(shù)列，bn為遞減數(shù)列，則其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等差數(shù)列的單調(diào)性、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列的單調(diào)性【分析】利用兩類(lèi)數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線(xiàn)上，而兩條直線(xiàn)至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來(lái)分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.2．（2023·北京·高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．【答案】48384【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.3．（2024·全國(guó)·高考真題（甲卷文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題例題1．（23-24高二上·河北保定）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】由題意求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由，，得，解得，故，故選：B例題2．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）在等比數(shù)列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．【答案】(1)或(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）（2）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上所述：或.（2）因?yàn)?，則，即．又因?yàn)椋瑒t，即．兩式相除得，所以．例題3．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)之和為.(1)若是等差數(shù)列，，求b的值；(2)若是等比數(shù)列，，求b的值.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差，即可得出答案；（2）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出公比即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為d，則由已知可得：，解得，∴；（2）解：若是等比數(shù)列，則公比為，又，則，則，，則，故，解得.例題4．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求q和；(2)已知，，求和；(3)已知，，求q和.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，；(2)，；(3)當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）解：，解得：，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.（2）解：,解得：，所以（3）解：，解得：或，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二下·貴州黔南·期末）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得解得，所以．故選：A．2．（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列.(1)若，且，求的值；(2)若數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，，求，的等比中項(xiàng).【答案】(1)6(2)【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、確定等比中項(xiàng)、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比通項(xiàng)公式求出，再利用等比中項(xiàng)定義求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以；?）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?由已知得，即，解得，若G是，的等比中項(xiàng)，則有，所以，所以，的等比中項(xiàng)為.3．（23-24高三·四川）設(shè)是等比數(shù)列，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）由已知求得公比，進(jìn)一步求出首項(xiàng)，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）利用等比數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，則由已知有，，所以，．因此．（2）由(1)則前n項(xiàng)和4．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，，求q和；(2)已知，，，求q和；(3)已知，，，求和；(4)已知，，，求q和n.【答案】(1)，(2)或(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）由基本量法列方程直接可解；（2）由基本量法列方程直接可解；（3）由基本量法列方程直接可解；（4）由基本量法列方程直接可解,【詳解】（1）由題知，解得，所以（2）若，則，故由題知，解得或（3）由題知，解得（4）易知，所以由題知，解得方法總結(jié)解決等比數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列的基本量為首項(xiàng)和公比,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等比數(shù)列中包含,,,,五個(gè)量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)分類(lèi)討論思想:若題目中公比未知,則運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)要對(duì)分和兩種情況進(jìn)行討論.高頻考點(diǎn)二：等比數(shù)列的判斷與證明典型例題例題1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列和滿(mǎn)足：，，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】利用等比數(shù)列的定義證明即可.【詳解】由數(shù)列an滿(mǎn)足，，可得，結(jié)合題設(shè)易知，即，又由，，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比等于的等比數(shù)列.例題2．（23-24高二下·上海寶山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、由定義判定等比數(shù)列【分析】（1）將遞推公式由來(lái)表示，進(jìn)而利用等比數(shù)列的定義即可判斷；（2）由（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】（1）證明：由得，易知，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.證明：是等比數(shù)列；【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】變形得到，證明出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列中，，，所以，且，所以是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且．求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】由題意可構(gòu)造出，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得.【詳解】證明：由，得，又，，，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．證明是等比數(shù)列定義法()(或者）等差中項(xiàng)法判斷是等比數(shù)列的通項(xiàng)關(guān)于的指數(shù)函數(shù)（，）的前項(xiàng)和（，，）高頻考點(diǎn)三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)）典型例題例題1．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】先應(yīng)用等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列，，，∴，∴．故選：B.例題2．（23-24高二下·山東青島·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列中，存在，滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、對(duì)勾函數(shù)求最值、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】首先由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，再根據(jù)基本不等式和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)確定的最小值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，則，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，聯(lián)立和，得，時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?，所以等?hào)取不到，設(shè)，，其中，則，設(shè)函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，由以上可知，不成立，則2兩側(cè)滿(mǎn)足條件的數(shù)值有，此時(shí)，以及，此時(shí)，，，因?yàn)?，所以的最小值為，所以的最小值?故選：A例題3．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則的最小值是．【答案】27【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意利用等比數(shù)列性質(zhì)可得，對(duì)于利用等邊數(shù)列性質(zhì)可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是27.故答案為：27.例題4．（2024·湖北黃岡）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，且，，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】正項(xiàng)等比數(shù)列的對(duì)數(shù)成等差數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題中條件列出關(guān)于和的方程組，解出這兩個(gè)量，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，解得，，則，所以，，因此，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問(wèn)題，在求解等比數(shù)列時(shí)，一般建立首項(xiàng)和公比的方程組，利用方程思想求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·甘肅定西·階段練習(xí)）正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．9 B． C．9或 D．18【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)解題即可.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，則，則.又，則，即，即，則，化簡(jiǎn)，解得都滿(mǎn)足題意.則或.故選：C.2．（23-24高三·云南紅河·階段練習(xí)）等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為Sn，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為()A．65 B．75 C．90 D．110【答案】A【分析】由的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為Sn，，求出，可得，再求數(shù)列前10項(xiàng)和．【詳解】∵的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為Sn，，解得故數(shù)列的前10項(xiàng)和為故選A.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．3．（2024·湖北黃岡·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，若，且，則的最小值為.【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列分析可知，進(jìn)而可得，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可知，且，則，即，所以；又因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，則，顯然，可得，則，所以最小值為5.故答案為：5.4．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則等于；【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【分析】由得，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，進(jìn)而可得.【詳解】由得，所以，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故，得.故答案為：高頻考點(diǎn)四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（角度2：等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)）典型例題例題1．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期中）若正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（

）A．22 B．24 C．26 D．28【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，求得，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，可得，又因?yàn)?，即所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.例題2．（23-24高二下·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．324 B．420 C．480 D．768【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，顯然的公比不為，所以也成等比數(shù)列.由，解得.故選：C.例題3．（23-24高一下·江西撫州·階段練習(xí)）等比數(shù)列共有項(xiàng)，其中，偶數(shù)項(xiàng)和為84，奇數(shù)項(xiàng)和為170，則（

）A．3 B．4 C．7 D．9【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和關(guān)系列式求解，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列共有項(xiàng)，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，由題意得，所以偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，相減得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和項(xiàng)公式基本量計(jì)算，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.例題4．（23-24高一下·福建龍巖）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在，滿(mǎn)足，則數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的其他性質(zhì)【分析】根據(jù)，解關(guān)于的方程，注意還是的討論，代入公式即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，若，則，與題中條件矛盾，故.故選