人教版2024-2025學年七年級數(shù)學上冊2.3有理數(shù)中的新定義問題(壓軸題專項講練)專題特訓(學生版+解析)

專題2.3有理數(shù)中的新定義問題典例分析典例分析【典例1】在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個數(shù)之間的新運算“?”：a?b?c=a?b?c+a+b+c2（1）計算：4??2（2）計算：3??7（3）已知?67，?57，?，?17，0，19，29，?，89這十五個數(shù)中．從中任取三個數(shù)作為a，【思路點撥】（1）直接代入公式計算即可；（2）直接代入公式計算即可；（3）分析a?b?c為負數(shù)與非負數(shù)兩種情況下的最小值，最后綜合考慮即可．【解題過程】（1）原式=4?=6；（2）原式=3?=19=3；（3）當a?b?c為非負數(shù)時，a?b?c=a?b?c+a+b+c2∴當a=?67時，a?b?c的最小值為當a?b?c為負數(shù)時，a?b?c=?a+b+c+a+b+c2∴當b+c的值最小時，a?b?c的值最??；∵a?b?c為負數(shù)，∴a＜b+c，由于a最小取?6∴b+c＞?6綜上可得，a?b?c的最小值為?6學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級上·廣東廣州·期末）定義新運算：對任意非零有理數(shù)a、b，有a⊕b=2ab，則A．5338 B．1 C．120 2．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）定義運算“*”如下：對任意有理數(shù)x，y和z都有x?x=0，x?(y?z)=(x?y)+z，這里“+”號表示數(shù)的加法，則2023?2022的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24七年級上·江西南昌·階段練習）已知x表示不超過x的最大整數(shù)，如：4.7=4，?1.3=?2．現(xiàn)定義：x=x?x4．（23-24七年級下·山西呂梁·期中）定義關于a，b的新運算：fa·b=fa?fba≤b，其中a，b為整數(shù)，且a·b為a與b的乘積，例如，f2=5，f35．（23-24七年級上·甘肅蘭州·期中）定義：分數(shù)nm（m，n為正整數(shù)且互為質(zhì)數(shù)）的連分數(shù)（其中an為整數(shù)，且等式右邊的每一個分數(shù)的分子都為1），記作：nm=1a1+1a6．（23-24七年級上·廣東廣州·階段練習）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+1；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是使運算結(jié)果為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取n=25時，運算過程如圖．若n=34，則第2024次“F運算”的結(jié)果是7．（23-24七年級上·重慶·期中）定義一種新運算：對于任意實數(shù)a、b，滿足a,b=a?2ba≤bb?2aa>b，當a=1，8．（23-24七年級上·河南洛陽·階段練習）在學習完《有理數(shù)》后，小奇對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．他借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b=a×b+2×a．（1）求2⊕(?1)的值；（2）求(?3)⊕?4⊕（3）試用學習有理數(shù)的經(jīng)驗和方法來探究這種新運算“⊕”是否具有交換律？請寫出你的探究過程．9．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）閱讀下列材料，并解答問題：定義一種新運算：a★b★c=a?b+c?（1）計算：?5★（2）計算：?4★10．（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習）如果10b=n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b=d(n)，由定義可知：10b=n與b=d(n)所表示的是（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(10)=，d(100)=；（2）勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d(mn)=d(m)+d(n)，d(m①d(a3)d(a)②若d(2)=0.3010，則d(4)=，d(5)=，d(8)=．11．（23-24七年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，?2=?2，（1）2?6=______，?ππ（2）求1?2?3?4…?2022?2023的值：（3）若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+112．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）【概念學習】定義：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2、?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作23，讀作“2的下3次方”，?3÷?3（1）直接寫出計算結(jié)果：23=______，【深入探究】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？例如：2（2）仿照上面的算式，將下列運算寫成冪的形式：26=，?1（3）將一個非零有理數(shù)a的下n次方寫成冪的形式是：an（4）【結(jié)論應用】計算：12213．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）探究規(guī)律，完成相關題目：小明說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算．”然后他寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：(+5)※(+2)=+7；(?3)※(?5)=+8；(?3)※(+4)=?7；(+5)※(?6)=?11；(0)※(+8)=8；(0)※(?8)=8；(?6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了這些算式后說：“我知道你定義的※（加乘）運算的運算法則了．”聰明的你也明白了嗎？（1）觀察以上式子，類比計算：①?12※?15=（2）計算：(?2)※[0※(?1)]；（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致，寫出必要的運算步驟）（3）若1?a※b?3=014．（23-24七年級上·浙江臺州·期中）定義：對于任意的有理數(shù)a，ba≠b，a⊕b=（1）探究性質(zhì)：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；?3⊕2=_________；?3②可以再舉幾個例子試試，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？請用含a，b的式子表示出a⊕b的一般規(guī)律；（2）性質(zhì)應用：①運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求【?92.5②將?11，?10，?9，?8……，7，8這20個連續(xù)的整數(shù)，任意分為10組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個記作b，求出a⊕b，10組數(shù)代入后可求得10個a⊕b的值，則這10個值的和的最小值是．15．（23-24七年級上·湖南益陽·期中）定義新運算：a?b=1a?例如:3?7=13?若a?b=a?b，則稱有理數(shù)a，b為“隔一數(shù)對”．例如：2?3=12×3=16（1）下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是（請?zhí)钚蛱枺賏=1，b=2；②a=?43，b=?13；③（2）計算：?3（3）已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”．計算：1?2+2?3+3?4+4?5+?+2020?2021．16．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·期中）將兩個數(shù)軸平行放置，并使二者的刻度數(shù)上下對齊，再將兩個數(shù)軸的原點連接起來，就構(gòu)成一個“雙軸系”．定義“雙軸系”中兩個點A、B的距離．如果A、B兩點在同一個數(shù)軸上，則二者之間的距離定義和通常的距離一致，AB=a?b，如果A、B兩點分別位于兩個數(shù)軸上，定義AB=

利用“雙軸系”定義一種“有向數(shù)”，記號是在通常數(shù)的右邊加上“↑”或“↓”，例如，“2↑”表示上層數(shù)軸中表示數(shù)“2”的點，“?3↓”表示下層數(shù)軸中表示數(shù)“?3”的點，“0↑”“0↓”分別表示上下兩個數(shù)軸的原點．（1）在雙軸系中3↑與5↑的距離為：______，2↑與?3↓的距離為________；（2）在（1）的假設下，現(xiàn)有只電子螞蟻甲從“0↑”所表示的點出發(fā)不斷跳躍，依次跳至1↑、12↑、13↑、23↑、14↑、12↑、34↑、15↑、25①當螞蟻甲第3次跳到12②當甲乙兩只螞蟻的距離為1110專題2.3有理數(shù)中的新定義問題典例分析典例分析【典例1】在有理數(shù)的范圍內(nèi)，定義三個數(shù)之間的新運算“?”：a?b?c=a?b?c+a+b+c2（1）計算：4??2（2）計算：3??7（3）已知?67，?57，?，?17，0，19，29，?，89這十五個數(shù)中．從中任取三個數(shù)作為a，【思路點撥】（1）直接代入公式計算即可；（2）直接代入公式計算即可；（3）分析a?b?c為負數(shù)與非負數(shù)兩種情況下的最小值，最后綜合考慮即可．【解題過程】（1）原式=4?=6；（2）原式=3?=19=3；（3）當a?b?c為非負數(shù)時，a?b?c=a?b?c+a+b+c2∴當a=?67時，a?b?c的最小值為當a?b?c為負數(shù)時，a?b?c=?a+b+c+a+b+c2∴當b+c的值最小時，a?b?c的值最??；∵a?b?c為負數(shù)，∴a＜b+c，由于a最小取?6∴b+c＞?6綜上可得，a?b?c的最小值為?6學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級上·廣東廣州·期末）定義新運算：對任意非零有理數(shù)a、b，有a⊕b=2ab，則A．5338 B．1 C．120 【思路點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，整式—數(shù)字規(guī)律找到運算規(guī)律（21×3【解題過程】解∶原式=21×3=1?13=1+=故選：D．2．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）定義運算“*”如下：對任意有理數(shù)x，y和z都有x?x=0，x?(y?z)=(x?y)+z，這里“+”號表示數(shù)的加法，則2023?2022的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】本題主要考查了有理數(shù)的加減計算，先根據(jù)題意將所求式子變形為2023?2022+2022?2022，則2023?2022?2022?2022，再根據(jù)2023?2023=2022?2022=0可進一步將原式變形為【解題過程】解：∵x?x=0，x?(y?z)=(x?y)+z，∴2023?2022=2023?2022+2022?2022=2023?=2023?0?2022=2023?==0+2023?2022=1，故選A．3．（23-24七年級上·江西南昌·階段練習）已知x表示不超過x的最大整數(shù)，如：4.7=4，?1.3=?2．現(xiàn)定義：x=x?x【思路點撥】根據(jù)題意可得15.4+【詳解】解：根據(jù)題意得：15.4==15?15.4+3?=?0.8，故答案為：?0.8．4．（23-24七年級下·山西呂梁·期中）定義關于a，b的新運算：fa·b=fa?fba≤b，其中a，b為整數(shù)，且a·b為a與b的乘積，例如，f2=5，f3【思路點撥】本題考查了新定義．根據(jù)fa·b=fa?fba≤b可依次推導出【解題過程】解：∵f4∴f16∴f256∴f1024故答案為：1．5．（23-24七年級上·甘肅蘭州·期中）定義：分數(shù)nm（m，n為正整數(shù)且互為質(zhì)數(shù)）的連分數(shù)（其中an為整數(shù)，且等式右邊的每一個分數(shù)的分子都為1），記作：nm=1a1+1a【思路點撥】本題考查新定義連分數(shù)的化簡，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規(guī)定解答問題．根據(jù)連分數(shù)的定義列式計算即可解答．【解題過程】解：11故答案為：7106．（23-24七年級上·廣東廣州·階段練習）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+1；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是使運算結(jié)果為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取n=25時，運算過程如圖．若n=34，則第2024次“F運算”的結(jié)果是【思路點撥】本題考查了整數(shù)的奇、偶性的新定義問題，通過若干次得出循環(huán)是解題關鍵．按新定義運算法則，分別計算第一次到第九次運算結(jié)果可得出循環(huán)規(guī)律即可求解．【解題過程】由題意可知，當n=34時，歷次運算的結(jié)果是∶3413×3+1=40,3×5+1=16,162故規(guī)律為：17→52→13→40→5→16→1→4→1…即從第七次開始1和4出現(xiàn)循環(huán)，偶數(shù)次為4，奇數(shù)次為1，∴當n=34時，第2024次“F運算”的結(jié)果是4．故答案為：4．7．（23-24七年級上·重慶·期中）定義一種新運算：對于任意實數(shù)a、b，滿足a,b=a?2ba≤bb?2aa>b，當a=1，【思路點撥】本題為新定義問題，考查了絕對值的意義，有理數(shù)混合運算，有理數(shù)的大小比較等知識．根據(jù)絕對值的意義求出a=±1，b=±2，再分a=1，b=2、a=1，b=?2、a=?1，b=2、a=?1，b=?2分別求出a,b的值，比較大小，即可求解．【解題過程】解：∵a=1，b∴a=±1，b=±2，∴當a=1，b=2時，a,b=1?2×2=1?4=?3當a=1，b=?2時，a,b=?2?2×1=?2?2=?4當a=?1，b=2時，a,b=?1?2×2=?1?4=?5當a=?1，b=?2時，a,b=?2?2×∵?5<?4<?3<0，∴a,b的最大值為0．故答案為：08．（23-24七年級上·河南洛陽·階段練習）在學習完《有理數(shù)》后，小奇對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．他借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b=a×b+2×a．（1）求2⊕(?1)的值；（2）求(?3)⊕?4⊕（3）試用學習有理數(shù)的經(jīng)驗和方法來探究這種新運算“⊕”是否具有交換律？請寫出你的探究過程．【思路點撥】本題主要考查的是新定義運算、有理數(shù)的混合運算等知識點，理解新定義的含義是解本題的關鍵．（1）直接根據(jù)新定義的進行計算即可；（2）直接根據(jù)新定義的含義列式，再進行計算即可；（3）根據(jù)新定義可得a⊕b和b⊕a，然后比較結(jié)果即可解答．【解題過程】（1）解：2⊕?1（2）解：∵?4⊕1∴?3⊕（3）解:不具有，探究如下：由b⊕a=b×a+2×b，a⊕b=a×b+2×a，∵a,b不一定是相同的有理數(shù)，∴2×b不一定等于2×a，∴a⊕b和b⊕a不一定相等，∴新運算“⊕”不具有交換律．9．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）閱讀下列材料，并解答問題：定義一種新運算：a★b★c=a?b+c?（1）計算：?5★（2）計算：?4★【思路點撥】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確新定義，求出所求式子的值．（1）根據(jù)題中給出的新定義，求出式子的值即可；（2）根據(jù)題中給出的新定義，求出式子的值即可．【解題過程】（1）解：?5=?5=4?=4+6==2.5；（2）?4=?4=1=1=8=4．10．（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習）如果10b=n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b=d(n)，由定義可知：10b=n與b=d(n)所表示的是（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(10)=，d(100)=；（2）勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d(mn)=d(m)+d(n)，d(m①d(a3)d(a)②若d(2)=0.3010，則d(4)=，d(5)=，d(8)=．【思路點撥】（1）根據(jù)定義可知，d(10)和d(100)就是指10的指數(shù)，據(jù)此即可求解；（2）①根據(jù)d(a3)=d(a?a?a)=d(a)+d(a)+d(a)即可，②根據(jù)d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)，d(5)=d(【解題過程】（1）解：依題意，得101=10，∴d(10)=1，d(100)=2；故答案為：1，2；（2）解：①d(a故答案為：3；②∵d(2)=0.3010，∴d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=0.3010×2=0.6020，∴d(5)=d(10∴d(8)=d(2×2×2)=d(2)+d(2)+d(2)=0.3010×3=0.9030．故答案為：0.6020，0.6990，0.9030．11．（23-24七年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運算“?”，a?b=a+b?20232，如：1?2=1+2?2023材料二：規(guī)定a表示不超過a的最大整數(shù)，如3.1=3，?2=?2，（1）2?6=______，?ππ（2）求1?2?3?4…?2022?2023的值：（3）若有理數(shù)m，n滿足m=2n=3n+1【思路點撥】（1）根據(jù)材料1新定義的運算“?”的概念即可求出2?6的值，根據(jù)材料2中的定義即可求出?ππ（2）根據(jù)新定義函數(shù)把1?2?3?4…?2022?2023變形為加減運算，再根據(jù)運算順序即可求出1?2?3?4…?2022?2023的值；（3）根據(jù)m=2n=3n+1求出m的值和n的范圍，再求出m+n【解題過程】（1）解：∵a?b=a+b?2023∴2?6=∵?π∴?ππ=故答案為：?20072，（2）依題意，1?2?3?4…?2022?2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=?3∴m=2×?3=?6∴m+n=?6+n∴m?m+n=?9?12．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）【概念學習】定義：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2、?3÷?3÷?3÷?3等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作23，讀作“2的下3次方”，?3÷?3（1）直接寫出計算結(jié)果：23=______，【深入探究】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？例如：2（2）仿照上面的算式，將下列運算寫成冪的形式：26=，?1（3）將一個非零有理數(shù)a的下n次方寫成冪的形式是：an（4）【結(jié)論應用】計算：122【思路點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運算，涉及新定義，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)相關運算法則，能根據(jù)新定義列出算式．（1）由新定義列出算式計算即可；（2）根據(jù)新定義列出算式，化為乘方形式即可；（3）根據(jù)（2）的計算結(jié)果得出規(guī)律即可；（4）根據(jù)有理數(shù)的混合運算順序和運算法則及除方的運算法則計算即可．【解題過程】解：（1）2312故答案為：12（2）2=1×=1?==故答案為：124，（3）a=a×=1故答案為：1a（4）12=144÷=144÷9×=1?3=?2．13．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）探究規(guī)律，完成相關題目：小明說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算．”然后他寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法則進行運算的算式：(+5)※(+2)=+7；(?3)※(?5)=+8；(?3)※(+4)=?7；(+5)※(?6)=?11；(0)※(+8)=8；(0)※(?8)=8；(?6)※(0)=6；(+6)※(0)=6．小亮看了這些算式后說：“我知道你定義的※（加乘）運算的運算法則了．”聰明的你也明白了嗎？（1）觀察以上式子，類比計算：①?12※?15=（2）計算：(?2)※[0※(?1)]；（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致，寫出必要的運算步驟）（3）若1?a※b?3=0【思路點撥】本題考查了有理數(shù)的新定義運算，正確理解新定義掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意得出：同號得正，異號得負，并把絕對值相加的運算法則依次計算即可．（2）根據(jù)零與任意數(shù)※（加乘）或任何數(shù)同零※（加乘），都得這個數(shù)的絕對值，結(jié)合前面的運算計算即可；（3）根據(jù)題意得出1?a+b?3=0【解題過程】（1）解：①?=?1故答案為：710②?=?(?故答案為：?5（2）解：(?2)※[0※(?1)]=?2=?=?3．（3）∵1?a※∴1?a+∴a=1,b=3，∴1====514．（23-24七年級上·浙江臺州·期中）定義：對于任意的有理數(shù)a，ba≠b，a⊕b=（1）探究性質(zhì)：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；?3⊕2=_________；?3②可以再舉幾個例子試試，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？請用含a，b的式子表示出a⊕b的一般規(guī)律；（2）性質(zhì)應用：①運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求【?92.5②將?11，?10，?9，?8……，7，8這20個連續(xù)的整數(shù)，任意分為10組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個記作b，求出a⊕b，10組數(shù)代入后可求得10個a⊕b的值，則這10個值的和的最小值是．【思路點撥】（1）①根據(jù)定義a⊕b=12(|a?b|+a+b),a≠b（2）①直接利用規(guī)律進行求解；②不妨設a>b，則代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，代數(shù)式等于a，由此即可解決問題．【解題過程】（1）解：①∵a⊕b=1∴3⊕2=12⊕3=1?3⊕2=?3⊕故答案為：3，3，2，?2；②例如：3⊕?2?2⊕通過以上例子發(fā)現(xiàn)，該運算是用來求大小不同的兩個有理數(shù)的最大值，用a，b的式子表示出一般規(guī)律為a⊕b=a,a>b（2）解：①【==16.33②不妨設a>b，則代數(shù)式中絕對值符號可直接去掉，∴代數(shù)式等于a，a為偶數(shù)，b=a?1最小值=?10故答案為：?10．15．（23-24七年級上·湖南益陽·期中）定義新運算：a?b=1a?例如:3?7=13?若a?b=a?b，則稱有理數(shù)a，b為“隔一數(shù)對”．例如：2?3=12×3=16（1）下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是（請?zhí)钚蛱枺賏=1，b=2；②a=?43，b=?13；③（2）計算：?3（3）已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”．計算：1?2+2?3+3?4+4?5+?+2020?2021．【思路點撥】本題考查有理數(shù)的定義新運算，仔細審題，理解題干中的新定義，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題關鍵．（1）按照題干定義進行計算，判斷是否滿足條件即可；（2）直接根據(jù)題目定義分別計算各項，然后再合并求解即可；（3）根據(jù)定義進行變形和拆項，然后根據(jù)規(guī)律求解即可．【解題過程】（1）解：①a=1，b=2；∵a?b=11?∴a?b=a?b，則①是“隔一數(shù)對”；②a=?4∵a?b=1?4∴a?b=a?b，則②是“隔一數(shù)對”；③a=?1，b=1；∵a?b=1?1?∴a?b≠a?b，則③不是“隔一數(shù)對”；故答案為：①②；（2）解：根據(jù)定義，?===?=?