2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第03講平面向量的數(shù)量積(知識(shí)+真題+11類(lèi)高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第03講平面向量的數(shù)量積目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 2第二部分：高考真題回顧 4第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 4高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析 4高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義 5高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積） 6高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算） 7高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角） 8高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)） 10高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積） 11高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系 12高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量) 13高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用 13高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題 15第四部分：典型易錯(cuò)題型 16備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時(shí)注意共線問(wèn)題 16第五部分：新定義題 17第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念1.1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.1.3向量的投影①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.②投影向量計(jì)算公式:當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以綜上可知，對(duì)于任意的，都有.2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量，為向量和的夾角：2.1數(shù)量積2.2模：2.3夾角：2.4非零向量的充要條件：2.5三角不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算①②③4、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則②三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，所以5、常用結(jié)論①②③第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．12．（2023·全國(guó)·乙卷文）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．53．（2023·全國(guó)·甲卷文）已知向量，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．6．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析典型例題1．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于任意向量，下列命題中正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）在三角形中，在上的投影向量為，則．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（多選）（23-24高一下·四川樂(lè)山·期末）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．若，，則 D．，則高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義典型例題1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)為中線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為，、是圓上的兩點(diǎn)，若，則.

練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（

）

A． B．1 C． D．2．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）在中，C為直角頂點(diǎn)，，則的值為（）A．4 B．8 C．16 D．缺少條件，做不出來(lái)高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積）典型例題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為，那么（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為邊上一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B．6 C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形中，已知，則．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)P，A，B均在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（

）

A．－8 B．－4 C．0 D．42．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則=.

高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算）典型例題1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知平面向量滿足且，則（

）A． B．5 C． D．63．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，則．4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，，則.練透核心考點(diǎn)1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（

）A．2 B． C．或2 D．2或2．（2023高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（

）A．2 B．4 C． D．4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角）典型例題1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為.3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知在中，N是邊AB的中點(diǎn)，且，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P．記．(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值．4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知向量．(1)若，求的坐標(biāo)；(2)若，求與的夾角．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，則．2．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則向量與的夾角的正切值為．3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，．(1)求；(2)求向量與的夾角．4．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，，．(1)若，，求的值；(2)若，求與的夾角的余弦值．高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）典型例題1．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為．2．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知向量，，則與的夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍為.3．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量，．(1)求以及向量與的夾角的余弦值；(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，，滿足，則（）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知平面向，，，，，若，則的最大值為（

）A．8 B． C． D．3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若向量，滿足，，，則.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與的夾角為，且，則（

）A． B．-2 C．2 D．3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）向量，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系典型例題1．（2024高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（

）A． B．C． D．12．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知向量，若，則.3．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，與的夾角為．(1)求；(2)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則.3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量)典型例題1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數(shù)量為（

）A．1 B． C．2 D．3．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數(shù)量為．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為．高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用典型例題1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知向量(1)向量夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(3)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值.2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且.(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角θ的值.3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)的三個(gè)向量，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題典型例題1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）鍵線式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·福建莆田·期中）設(shè)平面向量，其中為單位向量，且滿足，則的最大值為．練透核心考點(diǎn)1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B，C，D是半徑為2的圓O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A．6 B．12 C．24 D．322．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，，，，，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．3．（23-24高一下·河南周口·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則的最大值為.4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）若，，平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足，的最大值是．第四部分：典型易錯(cuò)題型備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時(shí)注意共線問(wèn)題1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．2．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量．若，其中，若的夾角為銳角，則的取值范圍．3．（23-24高三上·北京懷柔·階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿足條件的的值可以為．第五部分：新定義題1．（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱(chēng)為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．(1)設(shè)，解決下面問(wèn)題：①求；②設(shè)與的夾角為，求；(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱(chēng)為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．第03講平面向量的數(shù)量積目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 8高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析 8高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義 11高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積） 13高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算） 16高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角） 19高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)） 23高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積） 27高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系 30高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量) 32高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用 34高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題 39第四部分：典型易錯(cuò)題型 48備注：兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)時(shí)注意共線問(wèn)題 48第五部分：新定義題 50第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、平面向量數(shù)量積有關(guān)概念1.1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量和，如圖所示，作，，則()叫做向量與的夾角，記作．(2)范圍：夾角的范圍是．當(dāng)時(shí)，兩向量，共線且同向；當(dāng)時(shí)，兩向量，相互垂直，記作；當(dāng)時(shí)，兩向量，共線但反向．1.2數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零．記作：.1.3向量的投影①定義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.②投影向量計(jì)算公式:當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以綜上可知，對(duì)于任意的，都有.2、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知向量，為向量和的夾角：2.1數(shù)量積2.2模：2.3夾角：2.4非零向量的充要條件：2.5三角不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）3、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算①②③4、極化恒等式①平行四邊形形式：若在平行四邊形中，則②三角形形式：在中，為的中點(diǎn)，所以5、常用結(jié)論①②③第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B2．（2023·全國(guó)·乙卷文）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.3．（2023·全國(guó)·甲卷文）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.4．（2023·全國(guó)·乙卷理）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類(lèi)討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.

當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.5．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合為的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.【詳解】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因?yàn)?，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值.故答案為：；.

6．（2023·全國(guó)·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：平面向量數(shù)量積的定義及辨析典型例題1．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于任意向量，下列命題中正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量的數(shù)量積及向量加法法則，逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；由向量加法的三角形法則知，，當(dāng)且僅當(dāng)同向或至少一個(gè)為零向量時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；是與共線的向量，是與共線的向量，因此與不一定相等，C錯(cuò)誤；，因此，D正確.故選：D2．（23-24高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】①，故①錯(cuò)誤；②.故②正確；③，則，為等腰三角形，故③正確；④若，只能說(shuō)明中，角是銳角，不能說(shuō)明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯(cuò)誤.故選：B3．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）在三角形中，在上的投影向量為，則．【答案】【分析】首先根據(jù)投影公式求，再轉(zhuǎn)化向量，即可求解.【詳解】由題意，，為中點(diǎn)，由在上的投影向量為，即，又，所以，所以.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，故可為任意三角形.故選：D2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由零向量、向量數(shù)乘、數(shù)量積等概念和性質(zhì)，即可判斷正誤，進(jìn)而確定答案.【詳解】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，故①錯(cuò)誤；0乘以任何向量都為零向量，故②正確；向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故③錯(cuò)誤；不一定有，如滿足條件，結(jié)論不成立，故④錯(cuò)誤；故選：A3．（多選）（23-24高一下·四川樂(lè)山·期末）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．若，，則 D．，則【答案】BD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：表示與共線的一個(gè)向量，表示與共線的一個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，又，所以，即向量與在向量方向上的投影相同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，所以，則，故D正確；故選：BD高頻考點(diǎn)二：平面向量數(shù)量積的幾何意義典型例題1．（23-24高一下·河北衡水·期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)為中線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得為在上的投影，結(jié)合圖，分別計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)重合、點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，可得的取值范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，其中為在上的投影，又因?yàn)辄c(diǎn)為邊長(zhǎng)為的等邊中線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)有最大值，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)有最小值，，所以，又，所以，即．故選：B．2．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個(gè)圓形，圓心為，、是圓上的兩點(diǎn)，若，則.

【答案】18【分析】利用平面向量的投影求解.【詳解】依題意得，則.故答案為：18練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深菨的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（

）

A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】在正八邊形中，連接，則，而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故選：D

2．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）在中，C為直角頂點(diǎn)，，則的值為（）A．4 B．8 C．16 D．缺少條件，做不出來(lái)【答案】C【分析】由已知結(jié)合數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】如圖，∵C為直角，，∴.故選：C高頻考點(diǎn)三：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（求數(shù)量積）典型例題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知等邊的邊長(zhǎng)為，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.【詳解】等邊的邊長(zhǎng)為1，則，，所以.故選：D2．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）在中，為邊上一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】由題意分解向量得，進(jìn)一步結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：B.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正六邊形中，已知，則．【答案】/【分析】求出角度，由余弦定理得到，利用數(shù)量積公式求出答案.【詳解】在正六邊形中，，，，．其中≌，由余弦定理可得，．故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)P，A，B均在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（

）

A．－8 B．－4 C．0 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖，以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則：，，，故選:A．

2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】由，所以，則.故選：C3．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則=.

【答案】【分析】由，結(jié)合角度關(guān)系以及數(shù)量積定義和運(yùn)算律即可求得結(jié)果.【詳解】正八邊形，故，故；則.故答案為：.高頻考點(diǎn)四：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（模運(yùn)算）典型例題1．23-24高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵向量滿足，，，，.故選：B2．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知平面向量滿足且，則（

）A． B．5 C． D．6【答案】D【分析】由垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運(yùn)算律列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，由，得，則，由，得，即，則，所以.故選：D3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，則．【答案】【分析】首先求出，再根據(jù)數(shù)據(jù)量的運(yùn)算律得到，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?故答案為：4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知，，，，則.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】由，，得，而，且，因此，解得，即，所以.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2024·陜西西安·三模）已知平面向量，的夾角為，若，，則（

）A．2 B． C．或2 D．2或【答案】A【分析】將平方后，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得（舍?fù)）.故選：A.2．（2023高二上·甘肅蘭州·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】計(jì)算，再計(jì)算模長(zhǎng)即可.【詳解】由題意知，所以，故選：D．3．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】先由模長(zhǎng)公式得，再結(jié)合數(shù)量積公式求即可.【詳解】由題意可得，，，可得，，解得.故選：B.4．（2023·北京海淀·三模）已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】依題意設(shè)，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為.故選：C高頻考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（向量的夾角）典型例題1．（2024·遼寧鞍山·二模）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量可得，再結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】由向量在向量上投影向量為，所以得，又因?yàn)?，所以，故C正確.故選：C.2．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為.【答案】【分析】由，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)榍覟榉橇阆蛄浚O(shè)，則，又，所以，則，所以，設(shè)向量的夾角為，則，即向量夾角的余弦值為.故答案為：.3．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知在中，N是邊AB的中點(diǎn)，且，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P．記．(1)用表示向量；(2)若，且，求的余弦值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算結(jié)合條件求解即得；（2）利用結(jié)合條件根據(jù)向量夾角公式運(yùn)算求解即得.【詳解】（1），，.（2）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以得，，得，所以，所以，即的余弦值為.4．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）已知向量．(1)若，求的坐標(biāo)；(2)若，求與的夾角．【答案】(1)或；(2)．【分析】（1）根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示求解即可；（2）利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積及向量夾角公式得解.【詳解】（1）由題意，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以或．?）因?yàn)椋?，所以，即，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，所以與的夾角．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，則．【答案】/【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以，故答案為：.2．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則向量與的夾角的正切值為．【答案】/【分析】確定，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，所以，，，所以，又，所以，所以，所以向量與的夾角的正切值為．故答案為：．3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，．(1)求；(2)求向量與的夾角．【答案】(1)3(2)【分析】（1）由條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求，再結(jié)合關(guān)系求；（2）根據(jù)向量的夾角余弦公式求向量與的夾角余弦，再求其夾角.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，解得，．所以，所以．?）．設(shè)向量與的夾角為，則．因?yàn)?，所以?．（23-24高一下·河北滄州·階段練習(xí)）已知向量，，．(1)若，，求的值；(2)若，求與的夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可得；（2）借助向量垂直可得數(shù)量積為0，結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得，所以；?）因?yàn)?，所以，即，解得，所以，故．高頻考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（兩向量成銳角（鈍角）求參數(shù)）典型例題1．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，，向量，若與成銳角，則y的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)向量夾角為銳角利用數(shù)量積求解.【詳解】因?yàn)椋?，與成銳角，所以，解得，當(dāng)與同向時(shí)，，即，解得，此時(shí)滿足，但與所成角為0，不滿足題意，綜上，與成銳角時(shí)，y的取值范圍為.故答案為：2．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【答案】【分析】先利用題意算出，再利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，所以且，解得且，所以的取值范圍為，故答案為：.3．（23-24高三上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．【答案】(1)①或；②或(2)【分析】（1）根據(jù)向量平行，垂直可構(gòu)造方程求得；（2）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1），，①若，則，即，解得或；②若，則，解得或.（2）由，解得或，又時(shí)，或，若向量與的夾角為鈍角，則或或，故的取值范圍為.4．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知向量，．(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)k＝(2)．【分析】（1）先求出，然后再根據(jù)垂直關(guān)系即可求出；（2）由與的夾角是鈍角得到且與方向不相反，得到不等式組，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1），因?yàn)?，所以，解得?（2）若與的夾角是鈍角，則且與方向不相反，即，且解得：且，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·甘肅天水·期末）已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)兩向量夾角為鈍角列不等式，求解的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：2．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知向量，，則與的夾角為鈍角時(shí)，的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角利用平面向量的夾角公式列出不等式，但是要排除兩個(gè)向量成角時(shí)的情況.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，即，所以，解得，同時(shí)向量，也不能成的角，所以，所以的取值范圍為.故答案為：.3．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）若向量，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)向量的夾角列式，從而求得的取值范圍.【詳解】依題意，向量與的夾角為鈍角，所以，解得且，所以的取值范圍是.故答案為：.4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）已知向量，．(1)求以及向量與的夾角的余弦值；(2)已知與的夾角為銳角，求的取值范圍．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根據(jù)向量夾角公式計(jì)算求解即可；（2）夾角為銳角時(shí)數(shù)量積為正，同時(shí)注意排除夾角為0的情況即可.【詳解】（1）由，，得，則；，（2），由與的夾角為銳角，則，解得；當(dāng)時(shí)，有，有．此時(shí)．所以的取值范圍為且．高頻考點(diǎn)七：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算（已知模求數(shù)量積）典型例題1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得向量的夾角為，，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得解.【詳解】由，可得向量的夾角為，，.故選：C.2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知平面向，，，，，若，則的最大值為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意由各向量間的夾角以及模長(zhǎng)，畫(huà)出圖形利用圓心角和圓周角的關(guān)系并由向量數(shù)量積定義可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：令，，，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，則C點(diǎn)在圓E的優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，可得圓心角，其中，，，，則，所以，所以故選：B．3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）若向量，滿足，，，則.【答案】【分析】利用垂直向量的數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求得，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所以，解?故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高三上·山西·期末）已知向量和的夾角的余弦值為，，，則等于（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】先由模長(zhǎng)公式得，再結(jié)合數(shù)量積公式求即可.【詳解】由題意可得，，，可得，，解得.故選：B.2．（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與的夾角為，且，則（

）A． B．-2 C．2 D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件結(jié)合數(shù)量積的定義運(yùn)算求出，然后再根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】，解得：.因此可得：.故選：C3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）向量，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是【答案】【分析】對(duì)給定向量等式兩邊平方，借助一元二次方程有實(shí)根求出的取值范圍即得.【詳解】向量，由兩邊平方，得，整理得，依題意，關(guān)于的方程有實(shí)根，顯然，否則，則，即，解得或，由，得，因此，，所以的取值范圍是.故答案為：高頻考點(diǎn)八：向量的垂直關(guān)系典型例題1．（2024高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（

）A． B．C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，列方程求解，即可求得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以．所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，故選：B2．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知向量，若，則.【答案】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，，再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：3．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，與的夾角為．(1)求；(2)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)2；(2).【分析】（1）根據(jù)題意求得數(shù)量積，再求向量的模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合（1）中所求，即可求得參數(shù)值.【詳解】（1）根據(jù)題意，，又.（2）根據(jù)題意，，即，，解得.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）已知，，，且與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，與垂直，，解得：.故選：C.2．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為，，若與垂直，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?，的夾角為，可得，又因?yàn)榕c垂直，可得，即，解得.故答案為：.3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，且，的夾角為.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，，且，的夾角為，可得，則.（2）解：因?yàn)?，所以，即，即，可得，即，解?高頻考點(diǎn)九：向量的投影（投影向量)典型例題1．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)投影的公式計(jì)算即可.【詳解】向量在上的投影向量的模長(zhǎng)為.故選：B.2．（23-24高一下·江西宜春·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為，且，，則向量在向量上的投影數(shù)量為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由向量在向量上的投影數(shù)量為計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，所以，所以向量在向量上的投影數(shù)量為.故選：B3．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知向量、、，其中且與的夾角是與的夾角是，則在方向上的投影數(shù)量為．【答案】1【分析】先求出數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)榍遗c的夾角是與的夾角是，所以，所以在方向上的投影數(shù)量為.故答案為：1練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·山東泰安·階段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義，把在上的投影向量化簡(jiǎn)為，代入坐標(biāo)計(jì)算即得.【詳解】在上的投影向量為.故選：D.2．（23-24高三上·山東青島·期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式：計(jì)算即得.【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得:向量在向量上的投影向量為：，即，因，則，，則向量在向量上的投影向量為：.故選：D.3．（23-24高三上·上海浦東新·期末）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為．【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合投影向量公式，求得，即可求解.【詳解】由向量，，可得，可得，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.高頻考點(diǎn)十：平面向量的綜合應(yīng)用典型例題1．（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知向量(1)向量夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；(3)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積以及模的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算即可得出答案；（2）求出向量與的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，求解即可得出答案；（3）求出向量與向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，求解即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，，，所以，向量夾角的余弦值.（2）由已知可得，，.又向量與垂直，所以，，即，解得.（3）由已知可得，.又與向量平行，，所以有，整理可得，，解得.2．（23-24高一下·重慶巴南·階段練習(xí)）已知向量滿足，設(shè)與的夾角為，(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的值；(2)根據(jù)（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）把不等式兩邊平方，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，即可得解；（2）分別求出，再利用夾角公式即可得解．【詳解】（1）將不等式兩邊同時(shí)平方，得，即因?yàn)?，與的夾角為，則恒成立，所以，化簡(jiǎn)得，解得．（2）由（1）知，則，，則，則，故與夾角的余弦值為.3．（23-24高一下·江蘇·階段練習(xí)）如圖所示，平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且．

(1)以，為基底表示向量與；(2)若，，與的夾角為，求．(3)設(shè)線段AM、FM的交點(diǎn)為，在（2）的條件下，求的余弦值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算及向量的中點(diǎn)表示即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；（3）利用（1）（2）及向量的數(shù)量積運(yùn)算律，結(jié)合向量的模公式及向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，．，.（2）由（1）知，，，，，與的夾角為，,.（3）由（1）（2）知，，，，，，，，，，因?yàn)榫€段AM、FM的交點(diǎn)為，所以就是向量與的夾角，所以.故的余弦值為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，設(shè)點(diǎn)D為線段OA（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若，向量，，求式的最小值及對(duì)應(yīng)的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時(shí)，最小0.【分析】（1）求出，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為用表示，然后代入的值計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算模的最小值；（3）計(jì)算化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則；（2）因?yàn)?，且，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，最小，且最小為；（3）由已知點(diǎn)，則，又，所以，因?yàn)?，所以，則當(dāng)，即時(shí)，取最小值，且最小值為.2．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且.(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角θ的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求解即得.【詳解】（1）向量，由，得，即，所以.（2）由（1）知，，而，則，，因此，而，所以所求夾角.3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)的三個(gè)向量，，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，，再利用共線的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得．?）由（1）知，又，因?yàn)椋?，得到，解得．高頻考點(diǎn)十一：最值范圍問(wèn)題典型例題1．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足，，則的最大值等于（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由，即得到點(diǎn)共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以點(diǎn)共圓，要使的最大，即為直徑，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點(diǎn)共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)向量模長(zhǎng)和垂直條件，考慮運(yùn)用幾何法求解，由想到構(gòu)造矩形，運(yùn)用極化恒等式推導(dǎo)出結(jié)論，求得,最后用三角形三邊關(guān)系定理得到的范圍，轉(zhuǎn)化即得.【詳解】如圖，設(shè)，，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則，，由可得：，作矩形,則.下證：.設(shè)交于點(diǎn)，連接,因則，同理可得：，兩式左右分別相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故選:C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，屬于較難題.處理平面向量的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過(guò)選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長(zhǎng)定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）鍵線式可以簡(jiǎn)潔直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中極其重要．有機(jī)物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點(diǎn)為該圖形邊界（包括頂點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，由圖形可知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上，連接，則，同理，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，，所以，，則、、三點(diǎn)共線，則，即，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，在逐漸增大，同理可知，，當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)到的過(guò)程中，在逐漸增大，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)在折線段上運(yùn)動(dòng)，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，則；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，則，所以，；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故.綜上所述，的最大值為，故，故的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)