2025屆安徽省合肥一中八中、六中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆安徽省合肥一中，八中、六中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.42．圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.43．下列直線中，傾斜角最大的為（）A. B.C. D.4．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或216．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則直線的斜率為A. B.C. D.7．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.48．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9．下列四個(gè)命題中為真命題的是（）A.設(shè)p：1＜x＜2，q：2x＞1，則p是q的必要不充分條件B.命題“”的否定是“”C.函數(shù)的最小值是4D.與的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱10．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.11．以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或12．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線與直線平行，則a值為_(kāi)_____.14．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________15．已知等差數(shù)列滿足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的通項(xiàng)公式______16．雙曲線上的一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和18．（12分）已知圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，已知（1）求角B的大??；（2）求三角形ABC的面積.20．（12分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值21．（12分）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn).若M為的中點(diǎn)，過(guò)M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）新冠疫情下，有一學(xué)校推出了食堂監(jiān)管力度的評(píng)價(jià)與食品質(zhì)量的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，每項(xiàng)評(píng)價(jià)只有合格和不合格兩個(gè)選項(xiàng)，師生可以隨時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià)，某工作人員利用隨機(jī)抽樣的方法抽取了200位師生的信息，發(fā)現(xiàn)對(duì)監(jiān)管力度滿意的占75%，對(duì)食品質(zhì)量滿意的占60%，其中對(duì)監(jiān)管力度和食品質(zhì)量都滿意的有80人.（1）完成列聯(lián)表，試問(wèn)：是否有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)？監(jiān)督力度情況食品質(zhì)量情況對(duì)監(jiān)督力度滿意對(duì)監(jiān)督力度不滿意總計(jì)對(duì)食品質(zhì)量滿意80對(duì)食品質(zhì)量不滿意總計(jì)200（2）為了改進(jìn)工作作風(fēng)，針對(duì)抽取的200位師生，對(duì)監(jiān)管力度不滿意的人抽取3位征求意見(jiàn)，用X表示3人中對(duì)監(jiān)管力度與食品質(zhì)量都不滿意的人數(shù)，求X的分布列與均值.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：①當(dāng)時(shí)，有90%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián)；②當(dāng)時(shí)，有95%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián)；③當(dāng)時(shí)，有99%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B2、D【解析】公切線條數(shù)與圓與圓的位置關(guān)系是相關(guān)的，所以第一步需要判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以兩圓的心心距為，所以兩圓相離，公切線有4條.故選：D.3、D【解析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.直線的斜率；B.直線的斜率；C.直線的斜率；D.直線的斜率，因?yàn)?，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可知直線的傾斜角最大.故選：D4、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以，化簡(jiǎn)得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D5、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.6、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，求得p的值，即可得拋物線，的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)后，再根據(jù)斜率公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以直線的斜率為．故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及了直線的斜率公式；拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離；解題過(guò)程中注意焦點(diǎn)的位置.7、D【解析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)特點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D8、A【解析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得均大于，因?yàn)?，所以，所以，且，令，，?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，由，，所以，所以，綜上所述，.故選：A9、D【解析】根據(jù)推出關(guān)系和集合的包含關(guān)系判斷A，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷B，根據(jù)對(duì)鉤函數(shù)性質(zhì)即三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)反函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷D.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：是的真子集，所以命題p是q的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：命題“”的否定是“”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故D正確.10、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以又，所?故選：D.11、C【解析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C12、A【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.14、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，15、3（答案不唯一）【解析】由已知條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，從而可寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，當(dāng)公差為0時(shí)，；公差為1時(shí)，；…故答案為：3（答案為唯一）16、【解析】首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，即可求出點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17.考點(diǎn)：雙曲線的定義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用求得遞推關(guān)系得等比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的基本時(shí)法求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求得，然后分組求和法求得和【小問(wèn)1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，即是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為，小問(wèn)2詳解】由18、（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設(shè)，，依題意得.代入圓M的方程可得點(diǎn)P的軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，依題意得，得.點(diǎn)為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得P的軌跡方程為.19、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系先求，由正弦定理可求值，從而可求的值；（2）先求得的值，代入三角函數(shù)面積公式即可得結(jié)果.詳解：(1)由正弦定理又∴B為銳角sinA=,由正弦定理B=300(2),∴.點(diǎn)睛：以三角形和為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問(wèn)題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，因?yàn)?，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，，因?yàn)槠矫妫?，所以，得，且，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為21、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時(shí)，易得λ的值；斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯(lián)立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】若直線的斜率不存在時(shí)，，∴；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長(zhǎng)之積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理求解.22、（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）X的分布列見(jiàn)解析，X的期望為【解析】(1)根據(jù)給定條件完善列聯(lián)表，再計(jì)算的觀測(cè)值并結(jié)合給定數(shù)據(jù)即可作答.(2)求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率列出X的分布列