2025屆廣東省東莞市南開實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆廣東省東莞市南開實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．全稱量詞命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，2．若，，則等于（）A. B.C. D.3．下列集合與集合相等的是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.-18 B.-12C.-8 D.-65．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.6．設(shè)，若，則的最小值為A. B.C. D.7．若，是第二象限的角，則的值等于（）A. B.7C. D.-78．下列向量的運(yùn)算中，正確的是A. B.C. D.9．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．下列命題正確的是A.在空間中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行B.一條直線與一個(gè)平面可能有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)C.經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面D.若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．為了實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展，避免用電浪費(fèi)，某城市對(duì)居民生活用電實(shí)行“階梯電價(jià)”．計(jì)費(fèi)方法如表所示，若某戶居民某月交納電費(fèi)227元，則該月用電量為_______度．每戶每月用電量電價(jià)不超過(guò)210度的部分0.5元/度超過(guò)210度但不超過(guò)400度的部分0.6元/度超過(guò)400度的部分0.8元/度12．如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長(zhǎng)SA為4，若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲爬行的最短距離為________13．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.14．若函數(shù)，則________15．已知，則_______.16．已知球有個(gè)內(nèi)接正方體，且球的表面積為，則正方體的邊長(zhǎng)為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE;18．已知，，且函數(shù)有奇偶性，求a，b的值19．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍：（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值20．已知函數(shù)，其中向量，，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.21．某班級(jí)欲在半徑為1米的圓形展板上做班級(jí)宣傳，設(shè)計(jì)方案如下：用四根不計(jì)寬度的銅條將圓形展板分成如圖所示的形狀，其中正方形ABCD的中心在展板圓心，正方形內(nèi)部用宣傳畫裝飾，若銅條價(jià)格為10元/米，宣傳畫價(jià)格為20元/平方米，展板所需總費(fèi)用為銅條的費(fèi)用與宣傳畫的費(fèi)用之和（1）設(shè)，將展板所需總費(fèi)用表示成的函數(shù)；（2）若班級(jí)預(yù)算為100元，試問(wèn)上述設(shè)計(jì)方案是否會(huì)超出班級(jí)預(yù)算？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由命題的否定的概念判斷．否定結(jié)論，存在量詞與全稱量詞互換．【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可得命題“”的否定是“”故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值.【詳解】∵，，，，，.故選：D.3、C【解析】根據(jù)各選項(xiàng)對(duì)于的集合的代表元素，一一判斷即可；【詳解】解：集合，表示含有兩個(gè)元素、的集合，對(duì)于A：，表示含有一個(gè)點(diǎn)的集合，故不相等；對(duì)于B：，表示的是點(diǎn)集，故不相等；對(duì)于C：，表示方程的解集，因?yàn)榈慕鉃?，或，所以?duì)于D：，故不相等故選：C4、D【解析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的奇偶性求解即可.【詳解】由題知：，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.故選：D5、B【解析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性和單調(diào)性逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意.故選：B.6、D【解析】依題意，，根據(jù)基本不等式，有.7、B【解析】先由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，再利用兩角差的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋堑诙笙薜慕?，所以，所?所以.故選：B8、C【解析】利用平面向量的三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，即可得解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)，要注意向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).9、B【解析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.10、B【解析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系，逐一判定，即可得到答案【詳解】由題意，對(duì)于A中，在空間中兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行或異面，所以不正確；對(duì)于B中，當(dāng)一條直線在平面內(nèi)時(shí)，此時(shí)直線與平面可能有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，所以是正確的；對(duì)于C中，經(jīng)過(guò)空間不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于D中，若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，所以不正確，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系，其中解答中熟記平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、410【解析】由題意列出電費(fèi)（元）關(guān)于用電量（度）的函數(shù)，令，代入運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，電費(fèi)（元）關(guān)于用電量（度）的函數(shù)為：，即，當(dāng)時(shí)，，若，，則，解得.故答案為：410.12、2.【解析】分析：要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果詳解：由題意知底面圓的直徑AB＝2，故底面周長(zhǎng)等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)得2π＝，解得n＝90，所以展開圖中∠PSC＝90°，根據(jù)勾股定理求得PC＝2，所以小蟲爬行的最短距離為2.故答案為2點(diǎn)睛：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決三、13、（0，1]【解析】先作出函數(shù)f（x）圖象，根據(jù)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如下：因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程f（x）﹣a＝0有三個(gè)不等實(shí)根；即函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象可得：0＜a≤1故答案為：（0，1]【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是求解的關(guān)鍵14、0【解析】令x=1代入即可求出結(jié)果.【詳解】令，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】將條件平方可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以故答案為?6、【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，則=36π，解得x=故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.因?yàn)镋F∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF∥EG.因?yàn)镋G?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.因?yàn)镋F∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四邊形CEFG為菱形.所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD⊥AC.又因平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.18、為奇函數(shù)，，【解析】由函數(shù)奇偶性的定義列方程求解即可【詳解】若為奇函數(shù)，則，所以恒成立，即，所以恒成立，所以，解得，所以當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，若為偶函數(shù)，則，所以恒成立，得，得，不合題意，所以不可能是偶函數(shù)，綜上，為奇函數(shù)，，19、（1）（2）【解析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象，分四種情況進(jìn)行討論，求出a的取值范圍；（2）對(duì)對(duì)稱軸分類討論，表達(dá)出不同范圍下的最大值，列出方程，求出a的值.【小問(wèn)1詳解】①，解得：，此時(shí)，零點(diǎn)為，0，不合題意；②，解得：，此時(shí)，的零點(diǎn)為，1，不合題意；③，解得：，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為，不合題意；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)為，不合題意；④，解得：，綜上：a的取值范圍是【小問(wèn)2詳解】對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，舍去；當(dāng)，即時(shí)，，解得：或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍去）；綜上：20、見(jiàn)解析【解析】【試題分析】（1）利用向量的運(yùn)算，求出的表達(dá)式并利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由此求得函數(shù)的最大值.（2）將（1）中求得的角代入正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，解出的取值范圍，即為函數(shù)的遞增區(qū)間.【試題解析】(Ⅰ),當(dāng)時(shí)，有最大值.(Ⅱ)令,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角函數(shù)輔助角公式，考查三角函數(shù)最大最小值的求法，考查三角函數(shù)單調(diào)性即三角函數(shù)圖像與性質(zhì).首先根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，化簡(jiǎn)函數(shù)，這是題目中向量坐標(biāo)運(yùn)算的運(yùn)用，化簡(jiǎn)三角函數(shù)要為次數(shù)是一次的形如的形式.21、（1