廣東省揭陽市產業(yè)園2025屆高二上數學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

廣東省揭陽市產業(yè)園2025屆高二上數學期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列2，0，2，0，…的通項公式可以為（）A. B.C. D.2．已知橢圓的一個焦點坐標是，則（）A.5 B.2C.1 D.3．在正方體中，AC與BD的交點為M.設則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.4．數學家歐拉在1765年發(fā)現，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為（）A. B.C. D.5．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個6．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數m的取值范圍為（）A. B.C. D.且7．數列，則是這個數列的第（）A.項 B.項C.項 D.項8．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.9．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.10．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.11．設R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知各項均為正數的等比數列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線與A，C，B，D四點，則四邊形ABCD面積的最小值為___________14．=______.15．已知直線，，若，則實數______16．已知圓，以點為中點的弦所在的直線的方程是___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）公差不為0的等差數列中，，且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前n項和為．若，求的取值范圍18．（12分）某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；（2）怎樣設計水池能使總造價最低?最低造價是多少?19．（12分）已知在等差數列中，，（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和20．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，兩點，的中點坐標為.（1）求直線l的方程；（2）求的面積.21．（12分）設數列是公比為q的等比數列，其前n項和為（1）若，，求數列的前n項和；（2）若，，成等差數列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數m，n，p，使得，，成等差數列；（3）若存在正整數，使得數列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數列是等差數列，求所有數對所構成的集合，22．（10分）已知數列的前n項和，滿足，.（1）求證：數列是等差數列；（2）令，求數列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.2、C【解析】根據題意橢圓焦點在軸上，且，將橢圓方程化為標準形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點坐標是，則橢圓焦點在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點坐標是，則，解得故選：C3、C【解析】根據空間向量的運算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.4、A【解析】設，計算出重心坐標后代入歐拉方程，再求出外心坐標，根據外心的性質列出關于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設，由重心坐標公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當，時，重合，舍去頂點的坐標是故選：A【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵一是求出外心，二是根據外心的性質列方程.5、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因為，所以.因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數，所以，（由條件，所以等號不成立），所以④正確.故選：C.6、A【解析】根據雙曲線定義，且焦點在y軸上，則可直接列出相關不等式.【詳解】若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：7、A【解析】根據數列的規(guī)律，求出通項公式，進而求出是這個數列的第幾項【詳解】數列為，故通項公式為，是這個數列的第項.故選：A.8、A【解析】設雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.9、C【解析】根據給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構成三角形，當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C10、C【解析】根據導數的概念可得，再利用導數的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C11、A【解析】根據不等式性質判斷即可.【詳解】若“”，則成立；反之，若，當，時，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要條件.故答案為：A.【點睛】本題考查充分條件、必要調價的判斷，考查不等式與不等關系，屬于基礎題.12、A【解析】由等比數列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數列的性質、指數冪的運算、根式與指數式的互化等知識，轉化與化歸的數學思想二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、512【解析】設出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結合拋物線的定義、一元二次方程根與系數的關系進行求解即可.【詳解】拋物線焦點的坐標為，由題意可知：直線存在斜率且不為零，所以設直線的斜率為，所以直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得：，設，所以，由拋物線的定義可知：，因為直線互相垂直，所以直線的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當且僅當時取等號，即當時取等號，故答案為：51214、【解析】根據被積函數（）表示一個半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，在用該方法求解時需注意被積函數的在給定區(qū)間內的函數值符號，本題屬于中檔題.15、【解析】由直線垂直可得到關于實數a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：16、【解析】設，利用以為中點的弦所在的直線即為經過點且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點斜式可求得直線方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為設，則以為中點的弦所在的直線即為經過點且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即故答案為：【點睛】本題考查圓的幾何性質，考查直線方程求解，是基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用等比數列的定義以及等差數列的性質，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通項，再利用的單調性即可得到的最小值，從而求得的取值范圍【小問1詳解】依題意，，，所以，設等差數列的公差為，則，解得，所以【小問2詳解】，則數列是遞增數列，，所以，若，則.18、（1)1600,（平方米）；（2）池底設計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】（1）根據題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎題.19、（1）（2）【解析】（1）設的公差為，由等差數列的通項公式結合條件可得答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法可得答案.【小問1詳解】設的公差為，由已知得且，解得，，所以的通項公式為【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，兩式相減得：，所以，所以20、（1）（2）【解析】（1）設，根據AB的中點坐標可得，再利用點差法求得直線的斜率，即可求出直線方程；（2）易得直線過左焦點，聯(lián)立直線和橢圓方程，消，利用韋達定理求得，再根據即可得出答案.【小問1詳解】解：設，因為的中點坐標為，所以，則，兩式相減得，即，即，所以直線l的斜率為1，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】在直線中，當時，，由橢圓：，得，則直線過點，聯(lián)立，消整理得，則，.21、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數列為首項為公差為的等差數列，利用等差數列的求和公式即可得出結果；（2），，成等差數列，則+=2，根據等比數列求和公式計算可解得，進而計算可得，即可判斷結果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，解方程組可得無解，則所有數對所構成的集合為.【小問1詳解】，，數列是公比為q的等比數列，，數列為，數列為首項為公差為的等差數列，數列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數列，+=2，當時,+=,2,不符題意舍去，當時