江蘇省無錫市江陰四校2025屆數學高一上期末聯(lián)考模擬試題含解析

江蘇省無錫市江陰四校2025屆數學高一上期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數，若，則A. B.C. D.2．下列命題中正確的是（）A.若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合B.模相等的兩個平行向量是相等向量C.若和都是單位向量，則=D.兩個相等向量的模相等3．函數f(x)＝ln(2x)－1的零點位于區(qū)間()A.(2,3) B.(3,4)C.(0,1) D.(1,2)4．把函數的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（）A.， B.，C.， D.，5．已知函數滿足，則（）A. B.C. D.6．下列函數是偶函數且在區(qū)間(–∞,0)上為減函數的是（）A.y=2x B.y=C.y=x D.7．定義在上的偶函數在時為增函數，若實數滿足，則的取值范圍是A. B.C. D.8．已知函數（且）圖像經過定點A，且點A在角的終邊上，則（）A. B.C.7 D.9．已知水平放置的四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（）A. B.C. D.10．下列函數中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合A={2，log2m}，B={m，n}(m，n∈R)，且，則A∪B=___________.12．已知，，且，則的最小值為______13．已知函數，則無論取何值，圖象恒過的定點坐標______；若在上單調遞減，則實數的取值范圍是______14．已知函數，的值域為，則實數的取值范圍為__________.15．設點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線過P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是_____16．已知函數f（x）=1g（2x-1）的定義城為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別是棱的中點.（1）證明:平面;（2）求三棱錐的體積.18．已知命題題.若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍.19．已知函數，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個不等的實數根，求的取值范圍.20．已知函數的值域為,函數.（Ⅰ）求；（Ⅱ）當時,若函數有零點,求的取值范圍,并討論零點的個數.21．已知函數其中.（1）當a=0時，求f(x)的值域;（2）若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由的函數性質，及對四個選項進行判斷【詳解】因為，所以函數為偶函數，且在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又因為，所以，即，故選擇A【點睛】本題考查冪函數的單調性和奇偶性，要求熟記幾種類型的冪函數性質2、D【解析】考查所給的四個選項：向量是可以平移的，則若兩個向量相等,則它們的起點和終點不一定分別重合，A說法錯誤；向量相等向量模相等，且方向相同，B說法錯誤；若和都是單位向量,但是兩向量方向不一致，則不滿足，C說法錯誤；兩個相等向量的模一定相等，D說法正確.本題選擇D選項.3、D【解析】根據對數函數的性質，得到函數為單調遞增函數，再利用零點的存在性定理，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數，可得函數為單調遞增函數，且是連續(xù)函數又由f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln4－1＞0，根據函數零點的存在性定理可得，函數f(x)的零點位于區(qū)間(1,2)上故選D.【點睛】本題主要考查了函數的零點問題，其中解答中合理使用函數零點的存在性定理是解答此類問題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.4、D【解析】利用三角函數圖象變換依次列式求解作答.【詳解】函數的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，所得圖象的解析式為，把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是，.故選：D【點睛】易錯點睛：涉及三角函數圖象變換問題，當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿x軸的伸縮量是不同的5、D【解析】由已知可得出，利用弦化切可得出關于的方程，結合可求得的值.【詳解】因為，且，則，，可得，解得.故選：D6、C【解析】根據解析式判斷各個選項中函數的奇偶性和單調性可得答案.【詳解】y=2x不是偶函數；y=1y=x是偶函數，且函數在－y=-x2是二次函數，是偶函數，且在故選：C.7、C【解析】因為定義在上的偶函數，所以即又在時為增函數，則，解得故選點睛：本題考查了函數的奇偶性，單調性和運用，考查對數不等式的解法及運算能力，所求不等式中與由對數式運算法則可知互為相反數，與偶函數的性質結合可將不等式化簡，借助函數在上是增函數可確定在為減函數，利用偶函數的對稱性可得到自變量的范圍，從而求得關于的不等式，結合對數函數單調性可得到的取值范圍8、B【解析】令指數為零，即可求出函數過定點，再根據三角函數的定義求出，最后根據同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得；【詳解】解：令解得，所以，故函數（且）過定點，所以由三角函數定義得，所以，故選：B9、B【解析】根據直觀圖畫出原圖，可得原圖形為直角梯形，計算該直角梯形的面積即可.【詳解】過點作，垂足為則由已知可得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，根據直觀圖畫出原圖如下：可得原圖形為直角梯形，，且，可得原四邊形的面積為故選：B.10、B【解析】根據正弦、余弦、正切函數的周期性和單調性逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對于A，函數的最小正周期為，不符合題意；對于B，函數的最小正周期為，且在區(qū)間上單調遞減，符合題意；對于C，函數的最小正周期為，且在區(qū)間上單調遞增，不符合題意；對于D，函數的最小正周期為，不符合題意.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據條件得到，解出，進而得到.【詳解】因為，所以且，所以，解得：，則，，所以.故答案為：12、6【解析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故結合，求出的最小值即可求解.【詳解】由，，得（當且僅當時，等號成立），又因，得，即，由，，解得，即，故.因此當時，取最小值6.故答案為：6.13、①.②.【解析】計算的值，可得出定點坐標；分析可知，對任意的，，利用參變量分離法可求得，分、、三種情況討論，分析函數在上的單調性，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】因為，故函數圖象恒過的定點坐標為；由題意可知，對任意的，，則，因為函數在上單調遞增，且當時，，所以，.當時，在上為減函數，函數為增函數，所以，函數、在上均為減函數，此時，函數在上為減函數，合乎題意；當且時，，不合乎題意；當時，在上為增函數，函數為增函數，函數、在上均為增函數，此時，函數在上為增函數，不合乎題意.綜上所述，若在上單調遞減，.故答案為：；.14、##【解析】由題意，可令，將原函數變?yōu)槎魏瘮?，通過配方，得到對稱軸，再根據函數的定義域和值域確定實數需要滿足的關系，列式即可求解.【詳解】設，則，∵，∴必須取到，∴，又時，，，∴，∴.故答案為：15、k≥或k≤－4【解析】算出直線PA、PB的斜率，并根據斜率變化的過程中求得斜率的取值范圍詳解】直線PA的斜率為，同理可得PB的斜率為直線過點且與AB相交直線的斜率取值范圍是k≥或k≤－4故答案為k≥或k≤－416、【解析】根據對數函數定義得2x﹣1＞0，求出解集即可.【詳解】∵f（x）＝lg（2x﹣1），根據對數函數定義得2x﹣1＞0，解得：x＞0，故答案為（0，+∞）.【點睛】考查具體函數的定義域的求解，考查了指數不等式的解法，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接,設,連接EF,EO,利用中位線和正方體的性質證明四邊形是平行四邊形,進而可證平面；（2）由平面可得點F,到平面的距離相等,則,進而求得三棱錐的體積即可【詳解】（1）證明：連接,設,連接EF,EO,因為E,F分別是棱的中點,所以,,因為正方體,所以,,所以,,所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,平面,所以平面（2）由（1）可得點F,到平面的距離相等,所以,又三棱錐的高為棱長,即,,所以.所以【點睛】本題考查線面平行的證明,考查三棱錐的體積,考查轉化思想18、【解析】設命題對應的集合為，命題對應的集合為，由是，由，得，即是使，對分類討論可得.【詳解】解:由，得，設命題對應的集合為設命題對應的集合為，是由，得，若時，，，則顯然成立；若時，，則，綜上：.【點睛】本題考查根據充分條件求參數的取值范圍，不等式的解法，屬于基礎題.19、（1）函數的最小正周期為，最大值為；（2）；（3）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期，利用正弦函數的有界性可求得函數的最大值；（2）求出的取值范圍，由可得出，可得出，進而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，問題轉化為直線與函數在上的圖象有兩個交點，數形結合可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】（1），所以，函數的最小正周期為，最大值為；（2），則，，可得，，解得；（3）當時，，令，則.由可得，即，即，所以，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，如下圖所示：由上圖可知，當時，即當時，直線與曲線在上的圖象有兩個交點，因此，實數的取值范圍是.【點睛】通過求所求角的某種三角函數值來求角，關鍵點在選取函數，常遵照以下原則：①已知正切函數值，選正切函數；②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好20、（Ⅰ);(Ⅱ)答案見詳解.【解析】(Ⅰ)對分段函數求值域,分別求出每一段函數的值域,再求其并集即可;(Ⅱ)函數有零點,即表示方程有根,與函數圖像有交點,因而將換元,利用二次函數性質求出其值域,再數形結合討論零點個數即可.【詳解】(Ⅰ)如下圖所示:當時,;當時,,所以函數的值域為;(Ⅱ)若函數有零點,即方程有根,即與函數圖像有交點,令,,當時,,此時,即函數值域為,故而:當時,函數有零點,且當或時,函數有一個零點;當時,函數有兩個零點.【點睛】(1)對分段函數求值域,先求出每一段函數的值域,再求其并集即可,也可利用函數圖像去求;(2)函數零點問題一般可