2025屆福建省廈門市英才學校高二數學第一學期期末考試模擬試題含解析

2025屆福建省廈門市英才學校高二數學第一學期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，橢圓C上有一點P，則的周長為（）A.8 B.10C. D.122．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.13．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.44．把直線繞原點逆時針轉動，使它與圓相切，則直線轉動的最小正角度A. B.C. D.5．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.6．已知的周長等于10，，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點的軌跡方程可以是（）A. B.C. D.7．某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查，現從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45]歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲8．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（）A. B.C. D.9．某次射擊比賽中,某選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是,連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是,已知某次擊中10環(huán),則隨后一次擊中10環(huán)的概率是A. B.C. D.10．在等差數列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.111．曲線y=x3+11在點P（1，12）處的切線與y軸交點的縱坐標是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.1512．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調查.已知高二被抽取的人數為人，那么高三被抽取的人數為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則__________14．已知向量，，不共線，點在平面內，若存在實數，，，使得，那么的值為________.15．若拋物線經過點，則__________.16．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是公比不為1的等比數列，，且為的等差中項.（1）求的公比；（2）求的通項公式及前n項和.18．（12分）已知直線經過點，，直線經過點，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設直線與直線的交點為，求外接圓的方程.19．（12分）為深入學習貫徹總書記在黨史學習教育動員大會上的重要講話精神和中共中央有關決策部署，推動教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學在校師生理想信念教育，引導師生學史明理、學史增信、學史崇德、學史力行，以昂揚的狀態(tài)迎接中國共產黨建黨周年，哈工大附中高二年級組織本年級同學開展了一場黨史知識競賽．為了解本次知識競賽的整體情況，隨機抽取了名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識競賽成績的第50百分位數（精確到0.1）；（2）已知該樣本分數在的學生中，男生占，女生占現從該樣本分數在的學生中隨機抽出人，求至少有人是女生的概率.20．（12分）已知等比數列的前項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面22．（10分）在①成等差數列；②成等比數列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數列的前項和，，且___________.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據橢圓的定義可得：，所以的周長等于【詳解】因為，，所以，故的周長為故選：B2、D【解析】由雙曲線的性質，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質，意在考查數形結合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.3、B【解析】首先分別設，，再根據橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B4、B【解析】根據直線過原點且與圓相切，求出直線的斜率，再數形結合計算最小旋轉角【詳解】解析：由題意，設切線為，∴.∴或.∴時轉動最小∴最小正角為.故選B.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題5、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因為、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為，故選：D6、A【解析】根據橢圓的定義進行求解即可.【詳解】因為的周長等于10，，所以，因此點的軌跡是以為焦點的橢圓，且不在直線上，因此有，所以頂點的軌跡方程可以是，故選：A7、C【解析】先根據頻率分布直方圖中頻率之和為計算出數據位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數的原則求出中位數【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數據位于的頻率為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，中位數位于區(qū)間，設中位數為，則有，解得（歲），故選C【點睛】本題考查頻率分布直方圖的性質和頻率分布直方圖中中位數的計算，計算時要充分利用頻率分布直方圖中中位數的計算原理來計算，考查計算能力，屬于中等題8、B【解析】模擬程序運行后,可得到輸出結果,利用裂項相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運行過程如下:0),判斷為否,進入循環(huán)結構,1),判斷為否,進入循環(huán)結構,2),判斷為否,進入循環(huán)結構,3),判斷為否,進入循環(huán)結構,……9),判斷為否,進入循環(huán)結構,10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結果時,常模擬程序運行以得到結論.9、B【解析】根據條件概率的計算公式,得所求概率為，故選B.10、A【解析】直接由等差中項得到結果.詳解】由得.故選：A.11、C【解析】y′＝3x2，則y′|x＝1＝3，所以曲線在P點處的切線方程為y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y軸上的截距為9.12、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進而可求得高三被抽取的人數.【詳解】由分層抽樣可得，可得，設高三所抽取的人數為，則，解得.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別令和，再將兩個等式相加可求得的值.【詳解】令，則；令，則.上述兩式相加得故答案為：.【點睛】本題考查偶數項系數和的計算，一般令和，通過對等式相加減求得，考查計算能力，屬于中等題.14、1【解析】通過平面向量基本定理推導出空間向量基本定理得推論.【詳解】因為點在平面內，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：115、2【解析】將點代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因為拋物線經過點，所以，即.故答案為：2.16、【解析】設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）設數列公比為，根據列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比數列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設數列公比為，因為為的等差中項，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比數列的公比為.【小問2詳解】解：由（1）知且，可得，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據兩點式即可求出直線l1的方程，根據直線垂直的關系即可求l2的方程；（2）先求出C點坐標，通過三角形的長度關系知道三角形是以AC為斜邊長的直角三角形，故AC的中點即為外心，AC即為直徑.解析：(1)∵直線經過點，，∴，設直線的方程為，∴，∴.(2)，即：，∴，的中點為，∴的外接圓的圓心為，半徑為，∴外接圓的方程為：.點睛：這個題目考查的是已知兩直線位置關系求參的問題，還考查了三角形外接圓的問題．對于三角形為外接圓，圓心就是各個邊的中垂線的交點，鈍角三角形外心在三角形外側，銳角三角形圓心在三角形內部，直角三角形圓心在直角三角形斜邊的中點19、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數的定義求出知識競賽成績的第50百分位數；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數，利用古典概型求概率.【小問1詳解】，由，解得設該次知識競賽成績的第50百分位數為x，則，解得：.即該次知識競賽成績的第50百分位數為【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：分數在）的人數有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為20、（1）（2）【解析】（1）根據得到，再結合為等比數列求出首項，進而求得數列的通項公式；（2）由（1）求得數列的通項公式，進而利用公式法即可求出【小問1詳解】解：（1），，當時，，即，又，為等比數列，所以，，數列的通項公式為【小問2詳解】（2）由（1）知，則，數列的前項和21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）取中點，結合三角形中位線性質可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結論；（2）利用菱形特點和線面垂直的性質可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結論.【詳解】（1）取中點，連接，分別為中點，，四邊形為菱形，為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點