陜西省榆林市橫山縣第四中學2025屆數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

陜西省榆林市橫山縣第四中學2025屆數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.2．青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國瓷器的主流品種之一．如圖，是一青花瓷花瓶，其外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面．若該花瓶的瓶口直徑為瓶身最小直徑的2倍，花瓶恰好能放入與其等高的正方體包裝箱內，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.4．等差數列x，，，…的第四項為()A.5 B.6C.7 D.85．函數，則的值為（）A. B.C. D.6．已知，則的最小值是（）A.3 B.8C.12 D.207．命題“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得8．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－610．（一）單項選擇函數在處的導數等于（）A.0 B.C.1 D.e11．若直線a，b是異面直線，點O是空間中不在直線a，b上的任意一點，則（）A.不存在過點O且與直線a，b都相交的直線B.過點O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點O可以作無數多條直線與直線a，b都相交D.過點O至多可以作一條直線與直線a，b都相交12．若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設拋物線的準線方程為__________.14．已知曲線與曲線有相同的切線，則________15．記為等比數列的前n項和，若，公比，則______16．設函數，，對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數的為第一檔，高于平均數的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應該按那一檔電價收費，說明理由.18．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.19．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線的準線交于點，為坐標原點，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點，求的面積20．（12分）在數列中，，是與的等差中項，（1）求證：數列是等差數列（2）令，求數列的前項的和21．（12分）已知數列的前項和為，且滿足，，成等比數列，.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.22．（10分）圓經過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）求圓與圓的公共弦的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】建立空間直角坐標系，根據空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.2、C【解析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a，根據已知條件點（2a，2a）在雙曲線上，代入雙曲線的標準方程，結合a，b，c的關系可求得離心率e的值【詳解】由題意作出軸截面如圖：M點是雙曲線與截面正方形的交點之一，設雙曲線的方程為：最短瓶口直徑為A1A2＝2a，則由已知可得M是雙曲線上的點，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化簡后得，解得故選：C3、B【解析】根據空間向量的加減運算推出，進而得出結果.【詳解】因為，所以，故選：B4、A【解析】根據等差數列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項.【詳解】由題可知，等差數列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.5、B【解析】求出函數的導數，代入求值即可.【詳解】函數,故，所以，故選：B6、A【解析】利用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，故選：A7、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D【考點】全稱命題與特稱命題的否定【方法點睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結論加以否定8、A【解析】根據條件可知四邊形為正方形，從而根據邊長相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設在第一象限，則，根據題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：A.9、D【解析】根據向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D10、B【解析】利用導數公式求解.【詳解】因為函數，所以，所以，故選；B11、D【解析】設直線與點確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點是空間中不在直線，上的任意一點，設直線與點確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.12、D【解析】設，計算出、的值，利用平方差公式可求得結果.【詳解】設由已知可得，，因此，.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意結合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程為.故答案為【點睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準線方法，屬于基礎題.14、0【解析】設切點分別為，．利用導數的幾何意義可得，則．由，，計算可得，進而求得點坐標代入方程即可求得結果.【詳解】設切點分別為，由題意可得，則，即因為，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：015、4【解析】根據給定條件列式求出數列的首項即可計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：416、【解析】首先求得函數在區(qū)間上的最大值，然后分離參數，利用導函數求最值即可確定實數的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當時，取最大值1，∵對任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數，∵當時，，故當時，取最大值1，故，故答案為【點睛】本題考查的知識點是函數恒成立問題，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，難度中檔三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應的小矩形最高，由此能求出眾數；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點175作為眾數的估計值，所以眾數的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數的估計值為：，則月均用電量的平均數的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應該按第二檔電價收費.18、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，直線，聯(lián)立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.19、（1）（2）【解析】（1）根據題意建立關于的方程，解得的值即可.（2）聯(lián)列方程組并消元，韋達定理整體思想求的長，再求點到直線的距離，進而求面積.【小問1詳解】由題意可得，，則，因為，所以，解得，故拋物線的方程為【小問2詳解】由（1）可知，則點到直線的距離聯(lián)立，整理得設，，則，從而因為直線過拋物線的焦點，所以故的面積為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數列的定義可證得結論成立；（2）求出，可計算得出，利用并項求和法可求得數列的前項的和.小問1詳解】解：由題意知是與的等差中項，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數列是首項和公差均為的等差數列.【小問2詳解】解：由（1）可得：，，對任意的，，因此，.21、（1）；（2）.【解析】（1）由可得數列是公差為2的等差數列，再由，，成等比數列，列方程可求出，從而可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求出【詳解】解：（1）由，可