2025屆安徽師范大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆安徽師范大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的三個(gè)內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.4．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.415．已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.6．已知x是上的一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.7．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B.2C.3 D.9．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫出（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.6410．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.11．下列橢圓中，焦點(diǎn)坐標(biāo)是的是（）A. B.C. D.12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A. B.C.16 D.32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式的解集為R，則的取值范圍是______.14．若數(shù)列滿足，，則__________15．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為____.16．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)F和的直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn).若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，在處有極值.（1）求、的值；（2）若，有個(gè)不同實(shí)根，求的范圍.18．（12分）如圖1，已知矩形ABCD，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將ABCD卷成一個(gè)圓柱，使得BC與AD重合（如圖2），MNGH為圓柱的軸截面，且平面平面MNGH，NG與曲線DE交于點(diǎn)P（1）證明：平面平面MNGH；（2）判斷平面PAE與平面PDH夾角與的大小，并說明理由19．（12分）已知三個(gè)條件①圓心在直線上；②圓的半徑為2；③圓過點(diǎn)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）已知圓過點(diǎn)且圓心在軸上，且滿足條件________，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，直線與圓交于、兩點(diǎn)，求弦長的最小值及相應(yīng)的值20．（12分）年月日，中國選手楊倩在東京奧運(yùn)會女子米氣步槍決賽由本得冠軍，為中國代表團(tuán)攬入本屆奧運(yùn)會第一枚金牌.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織名射擊愛好者進(jìn)行一系列的測試，并記錄他們的射擊得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若采用分層抽樣的方法，從得分高于分的射擊愛好者中隨機(jī)抽取人調(diào)查射擊技能情況，再從這人中隨機(jī)選取人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，求這人中至少有人的分?jǐn)?shù)高于分的概率.21．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）某工廠修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．設(shè)池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先求動點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.2、B【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，，且，，，所以，，，因?yàn)?，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.3、B【解析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)所求直線的方程為，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.4、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時(shí)，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當(dāng)軸時(shí),周長最小值為故選：C6、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.7、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D8、D【解析】由求出，從而可以求，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因?yàn)閷愠闪?，?dāng)時(shí)，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D9、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來全排列，共可寫出個(gè)三位數(shù).故選：A10、C【解析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計(jì)算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)中的橢圓焦點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】對于A，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，B是；對于C，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點(diǎn)在y軸上，半焦距，其焦點(diǎn)為，D不是.故選：B12、C【解析】求的最大值即求的最大值，根據(jù)約束條件畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)，將目標(biāo)與直線的截距建立聯(lián)系，然后得到何時(shí)目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而求得的最大值，最后求出的最大值.【詳解】要求的最大值即求的最大值.根據(jù)實(shí)數(shù)，滿足的條件作出可行域，如圖.將目標(biāo)函數(shù)化為.則表示直線在軸上的截距的相反數(shù).要求的最大值，即求直線在軸上的截距最小值.如圖當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小值.由，解得所以的最大值為，則的最大值為16.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分為和考慮，當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)?shù)茫?，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要想保證關(guān)于的不等式的解集為R，則要滿足：，解得：，綜上：的取值范圍為故答案為：14、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：715、或【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,即反射光線過點(diǎn),分別討論反射光線的斜率存在與不存在的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,（1）設(shè)反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線方程為:；（2）當(dāng)不存在時(shí),反射光線,此時(shí),也與圓相切,故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查直線在光學(xué)中的應(yīng)用,考查圓的切線方程16、9【解析】根據(jù)拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，求得拋物線方程.再由和，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】由拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以拋物線方程為.因?yàn)?，，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，代入拋物線方程，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)，則，故直線l的方程為，將其代入得.可得，故.故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得，由此可解得與的值（2）依題意可知直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在處有極值，所以，即，解得，.【小問2詳解】由（1）知，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，，若有3個(gè)不同實(shí)根，則，所以的取值范圍為.18、（1）證明見解析（2）平面PAE與平面PDH夾角大于，理由見解析【解析】（1）由面面垂直證明，然后得證平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求出二面角的余弦可得結(jié)論【小問1詳解】如圖O，為圓柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因?yàn)槠矫鍼AE，所以平面平面MNGH；【小問2詳解】因?yàn)?，所以得，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，,所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則可知，，，，，則，，，，設(shè)平面AEP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面DHP的法向量為，則，即令，得，，設(shè)平面PAE與平面PDH夾角為，則，，因?yàn)?，即，所以平面PAE與平面PDH夾角大于19、（1）條件選擇見解析，圓的方程為（2）的最小值為，相應(yīng)【解析】（1）選擇條件①或②或③，求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.（2）首先求得直線過定點(diǎn)，根據(jù)求得最短弦長以及此時(shí)的值.【小問1詳解】若選條件①，由題意知，圓心是方程的解，解得，所以，設(shè)半徑為，則．則圓的方程為：若選條件②，設(shè)圓心，由題意知，所以圓心，半徑為，所以圓的方程為：若選條件③，設(shè)圓心，由題意知，即有，解得，圓心為，且半徑為，所以圓的方程為：【小問2詳解】由（1）圓的方程為：，圓心為，半徑.直線過定點(diǎn)，要使弦長最短，，，，，直線的斜率，也即直線的斜率為，所以.，，所以弦長最小值為20、（1），平均分為；（2）.【解析】（1）利用頻率直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全部相加可得平均成績；（2）分析可知所抽取的人中，成績在內(nèi)的有人，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有人，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得到，解得.這組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為.【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得到，分?jǐn)?shù)在、內(nèi)的頻率分別為、，所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的人，成績在內(nèi)的有人，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有人，分別記為、，記“人中至少有人的分?jǐn)?shù)高于分”為事件.則所有的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共種.事件包含的基本事件有、、、、、、、、，共種，所以.21、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以，，而，因?yàn)?，所以，而平面，所以平面；【小?詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，于是有：，則平面的法向量