2025屆湖南省株洲市醴陵四中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆湖南省株洲市醴陵四中高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面的一個法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.2．某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1133．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.4．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.5．設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，有恒成立.則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.是函數(shù)的極小值點D.是函數(shù)的極大值點7．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有8．直線的傾斜角為A. B.C. D.9．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.610．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.11．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.12．圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關聯(lián)，蘊含著中華文化的豐富內涵．在某次國際圍棋比賽中，規(guī)定甲與乙對陣，丙與丁對陣，兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據(jù)以往戰(zhàn)績，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.36二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，，若，，共面，則實數(shù)___________.14．已知函數(shù)，___________.15．已知雙曲線左、右焦點分別為，，點P是雙曲線左支上一點且，則______16．數(shù)列滿足，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線過點.（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側，且，求證：過定點.18．（12分）已知點和直線.（1）求以為圓心，且與直線相切的圓的方程；（2）過直線上一點作圓的切線，其中為切點，求四邊形PAMB的面積的最小值.19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點，使MN//平面PAB？說明理由20．（12分）已知函數(shù)在時有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為3，直線與拋物線交于，兩點，為坐標原點(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.22．（10分）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，若為等邊三角形，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設x軸與平面所成角為，則，因為，所以，故選：C2、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.3、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結果【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B4、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D5、B【解析】根據(jù)當時，可知在上單調遞減，結合可確定在上的解集；根據(jù)奇偶性可確定在上的解集；由此可確定結果.【詳解】，當時，，在上單調遞減，，，在上的解集為，即在上的解集為；又為上的奇函數(shù)，，為上的偶函數(shù)，在上的解集為，即在上的解集為；當時，，不合題意；綜上所述：的解集為.故選：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，關鍵是能夠通過構造函數(shù)的方式，確定所構造函數(shù)的單調性和奇偶性，進而根據(jù)零點確定不等式的解集.6、A【解析】根據(jù)圖象，結合導函數(shù)的正負性、極值的定義逐一判斷即可.【詳解】由圖象可知，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，可知B錯誤，A正確；是極大值點，沒有極小值，和不是函數(shù)的極值點，可知C，D錯誤故選：A7、B【解析】由含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B8、B【解析】分析出直線與軸垂直，據(jù)此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.故選：B.【點睛】本題考查直線的傾斜角，關鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎題9、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.10、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D11、D【解析】根據(jù)空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.12、B【解析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結果.【詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】根據(jù)向量共面，可設，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因為，，共面且，不共線，所以可設，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.14、【解析】直接利用分段函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：-115、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計算可得；【詳解】解：因為雙曲線為，所以、，因為點P是雙曲線左支上一點且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：16、【解析】根據(jù)遞推關系依次求得的值.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運用代入法直接求解即可；（2）設出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結合一元二次方程根與系數(shù)關系、平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設，，∴OA→?因為直線與拋物線交于兩點兩點在軸的兩側，所以，即過定點.【點睛】關鍵點睛：運用一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.18、（1）（2）【解析】（1）利用到直線的距離求得半徑，由此求得圓的方程.（2）結合到直線的距離來求得四邊形面積的最小值.【小問1詳解】圓的半徑，圓的方程為.【小問2詳解】由四邊形的面積知，當時，面積最小.此時...19、（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）為中點，連接，由中位線、線面平行的性質可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證結論；（2）取中點N，連接，，根據(jù)線面、面面平行的性質定理和判斷定理即可判斷存在性【小問1詳解】如下圖，若為中點，連接，由E是PD的中點，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.小問2詳解】取中點N，連接，，∵E，N分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，線段存在點N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的動點，平面，∴平面PAB，∴線段存在點N，使得MN∥平面20、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在時有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當時，，函數(shù)在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當或時，當時，，的遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間為，當有極大值，當有極小值，要使函數(shù)有三個零點，則須滿足，解得.21、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關系和弦長公式，算出|AB|；利用點到直線的距離公式算出點O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且過一點P（2，m），可設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點的距離為3，即有P到準線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標準方程為y2＝4x；（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設交點為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點睛】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線定義的應用，考查待定系數(shù)法的運用，考查求焦點弦AB與原點構成的△AOB面積，屬于中檔題22、（1）2（2）【解析】（1）根據(jù)題意表示出的面積，即可求得結果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據(jù)是等邊三角形，得到，聯(lián)立直線和橢圓方程，用點的