計算方法公式總結

計算方法公式總結緒論絕對誤差,為準確值,為近似值。絕對誤差限，ε為正數(shù),稱為絕對誤差限相對誤差通常用表示相對誤差相對誤差限或有效數(shù)字一元函數(shù)y=f（x)絕對誤差相對誤差二元函數(shù)y=f(x1，x2）絕對誤差相對誤差機器數(shù)系注：1.β≥2，且通常取2、4、6、82。n為計算機字長3。指數(shù)p稱為階碼（指數(shù)）,有固定上下限L、U4.尾數(shù)部,定位部5.機器數(shù)個數(shù)機器數(shù)誤差限舍入絕對截斷絕對舍入相對截斷相對秦九韶算法方程求根，,為f（x）=0的m重根。二分法迭代法k=0、1、2……為迭代序列，為迭代函數(shù)，局部收斂注:如果知道近似值,可以用近似值代替根應用定理3判斷是否局部收斂牛頓迭代法注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。牛頓迭代法對初值要求很高,要保證初值在較大范圍內也收斂,加如下四個條件注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構造一個區(qū)間[ε，M(ε）]，其中,在這個區(qū)間內驗證這四個條件。如果知道根的位置，構造［ε，M（ε）］時應該包括根,即ε+常數(shù)線性方程組求解有兩種方法：消去法和迭代法高斯消去法利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉化為等價上三角矩陣。注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對角占優(yōu)矩陣則稱A為按行嚴格對角占優(yōu)矩陣則稱A為按列嚴格對角占優(yōu)矩陣則稱A是對稱正定的.當A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時,不用換行.追趕法是高斯消元法的一種特例列主元高斯消元法當，即第k次消元把k~n行第k列絕對值最大的行（s行)調到第k行，再進行高斯消元。迭代序列構造第三個等式為迭代序列,B為迭代矩陣.迭代收斂判別充分條件：迭代矩陣范數(shù)小于1，結論:Ax=b有唯一解x*充要條件:迭代矩陣譜半徑小于1,Jacobi迭代法其中（low）為下三角，為上三角,為對角線元素迭代格式：迭代矩陣收斂性判據(jù)：求出最大值小于1(J的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.Gauss—Seidel迭代法迭代格式迭代矩陣：常數(shù)矩陣：收斂性判據(jù)：求出最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結論：當A是嚴格對角占優(yōu)的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的插值法用插值多項式p(x）代替被插函數(shù)f(x)插值多項式：，n+1個點插值區(qū)間：，插值點滿足求插值多項式P（x），即求多項式系數(shù)的過程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點行列式為范德蒙行列式,不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應的不超過n次的插值函數(shù)P（x）只有一個。一次線性插值Lagrange插值多項式插值余項非插值節(jié)點上Lagrange插值多項式為被插函數(shù)f（x)的近似值帶導數(shù)插值條件的余項估計注：推導過程用羅爾中值定理構造輔助函數(shù)第二條性質用于可以證明階數(shù)不大于n的f（x）的插值余項為0.差商和Newton插值法記憶方法:先記分母，最后一個減去第一個，對應的分子第一項是最后一個臨近k元素的差商，第二項是第一個臨近k個元素的差商。牛頓插值多項式通常記作Nn（x）分段樣條插值分段二次樣條插值討論n為奇偶情況時的三個點余項估計式三次樣條插值函數(shù)第一類邊界條件（端點一階導數(shù)已知）D0等于第一個式子,dn等于第二個式子自然邊界條件（端點二階導數(shù)已知二階導數(shù)和M0，Mn=0）曲線擬合最小二乘原理函數(shù)關于n個點線性無關注：線性無關的函數(shù)為才是最小二乘多項式注:記住公式即可.數(shù)值積分和數(shù)值微分為求積節(jié)點,為求積系數(shù)。插值求積公式梯形公式Simpson公式Cotes公式截斷誤差代數(shù)精度當f(x)為不超過m次多項式時上式成立,f（x）為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積公式有m次代數(shù)精度。梯形公式代數(shù)精度為1，Simpson公式代數(shù)精度為3,Cotes公式代數(shù)精度為5截斷誤差梯形公式Simpson公式Cotes公式Gauss求積公式求積公式代數(shù)精度為2n+1［—1，1］上的兩點Gauss公式(3次代數(shù)精度）［-1,1]上的三點Gauss公式（5次代數(shù)精度）記住,的關系，查表即可復化梯形公式2階，復化Simpson公式4階，復化Cote公式6階計算機通過不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可給定精度ε，時因而可以取為的近似值.梯形Simpson數(shù)值微分數(shù)值微分截斷誤差中點公式:常微分方程數(shù)值解法Euler方法歐拉公式(單步顯式公式)求出