2力矩與平面力偶系

山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學第二章平面力系的合成與平衡第二節(jié)力矩與平面力偶系一、力矩1.力矩的概念力不僅能使物體移動，還能使物體轉(zhuǎn)動。例如用手推門、用扳手擰緊螺母等，都是力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應的實例。那么，力對物體轉(zhuǎn)動效應與哪些因素有關呢？FdOMO(F)在右圖中，力F使扳手繞螺母中心O轉(zhuǎn)動的效應，不僅與力F的大小成正比，而且還與螺母中心O到該力作用線的垂直距離d成正比。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學FdOMO(F)當改變力F的指向，扳手的轉(zhuǎn)向也會隨之改變。因此，力F對扳手的轉(zhuǎn)動效應，可用兩者的乘積Fd再加上表示轉(zhuǎn)向的正負號來量度，稱為力F對O點的矩，簡稱力矩。用符號MO(F)表示。即MO(F)=±Fd轉(zhuǎn)動中心O，稱為矩心;矩心O到力F作用線的垂直距離d，稱為力臂;通常規(guī)定：使物體逆時針轉(zhuǎn)動的力矩為正，反之為負。在平面問題中，力矩為代數(shù)量。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學FdABOM在圖中，A、B為力的起點和終點，力F對點O的矩的大小等于三角形AOB面積的兩倍，即MO(F)=±Fd=±2△AOB力矩的單位是牛頓?米(N?m)或千牛頓?米(kN?m)。由力矩的定義可知：(1)當力臂等于零，即力的作用線通過矩心時，力矩等于零；(2)當力沿其作用線移動時，不會改變力對某點的矩。這是因為F和d均未改變。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學一、力矩1.力矩的概念2.合力矩定理dyOF1F2FRAcbBCDMO(FR)=±2△AOBMO(F1)=±2△AOCMO(F2)=±2△AOD=Ob·OA=Oc

·OA=Od

·OA根據(jù)合力投影定理有：YR

·OA·OA·OA

=

Y1

+

Y2

ObOcOd即

MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)上述表明：合力對平面內(nèi)任一點的矩，等于兩分力對同一點之矩的代數(shù)和。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學以上結(jié)論也可擴展到多個平面匯交力的情況，即MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+……+MO(Fn)=∑MO(F)由此可見：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點的力矩，等于力系中各分力對同一點的力矩的代數(shù)和。這就是平面匯交力系的合力矩定理。應用合力矩定理可以簡化力矩的計算。在力矩計算時，若力臂d難以確定，就可以將力分解為比較容易找到力臂的兩個分力。計算出分力矩再代數(shù)求和，便得到原力的矩了。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學圖中的每1m長的擋土墻，所受土壓力的合力F=100kN，方向如圖所示。試求土壓力F使墻傾覆的力矩。例2-1030oAF2m2md土壓力F可能使擋土墻繞A點轉(zhuǎn)動，從而發(fā)生傾覆。故所求傾覆的力矩就是力F對A點的矩。而直接找到F的力臂d有困難。解根據(jù)合力矩定理，可將力F分解為兩個分力Fx和Fy，兩分力的力臂是已知的。FxFyMA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=100×0.866×2-100×0.5×2=73.2kN?m山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學放在地面上的板條箱如圖所示，受到F=100N的力作用。試求該力對A點的矩。例2-11解A2m1.5mFBBd(1)力臂d容易求得：d=1.2m。所以MA(F)=100×1.2=120N?m(2)也可將力F分解為兩個分力Fx和Fy，利用合力矩定理計算：FxFyMA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=100×0.8×1.5+0=120N?m山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、力偶1.力偶的概念在日常生活和生產(chǎn)實踐中，經(jīng)常見到由大小相等、方向相反、作用線平行的兩個力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動的例子。例如汽車司機用雙手轉(zhuǎn)動方向盤，人們用兩手指擰開瓶蓋，旋轉(zhuǎn)鑰匙開鎖等。第二節(jié)力矩與平面力偶系一、力矩這種由大小相等、方向相反、作用線平行且不共線的兩個力組成的力系，稱為力偶。用符號(F，F(xiàn)’)表示。F’Fd山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學實踐證明：力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應，不僅與組成力偶的力的大小成正比，而且與力偶臂的大小也成正比。F’Fd另外，當力偶的兩個力大小和作用線不變，而只是同時改變指向，力偶的轉(zhuǎn)向也就相反了。因此，力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應，可用力與力偶臂的乘積Fd再加上表示轉(zhuǎn)向的正負號來量度，稱為力偶矩。用符號M(F，F(xiàn)’)表示，可簡記為M。即M=±

Fd通常規(guī)定：力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動時，力偶矩為正，反之為負。在平面力系中，力偶矩為代數(shù)量。力偶矩的單位與力矩相同，也是牛頓?米(N?m)或千牛頓?米(kN?m)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、力偶1.力偶的概念F’Fd2.力偶的基本性質(zhì)(1)力偶在任一軸上的投影恒為零。力偶沒有合力，所以不能用一個力來代替。力偶中的兩個力大小相等、方向相反、作用線平行且不共線，不能合成為一個力。力偶不能用一個力來代替，也不能和一個力平衡。力偶只能和力偶平衡。力偶和力對物體作用的效應不同。一個力可以使物體移動或同時轉(zhuǎn)動，而力偶不會使物體移動，只會轉(zhuǎn)動。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學2.力偶的基本性質(zhì)(2)力偶對其作用平面內(nèi)任一點之矩都恒等于力偶矩，而與矩心位置無關。MO(F，F(xiàn)’)F’FdOx=MO(F)+MO(F’)=F(x+d)

-

F’

x=Fd=M

計算結(jié)果與x無關?？梢娊Y(jié)論成立。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學2.力偶的基本性質(zhì)(3)在同一平面內(nèi)的兩個力偶，如果它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶等效。這叫做力偶的等效性。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應，取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用平面。這又稱為力偶的三要素。力換句話說：只要兩個力偶的三要素相同，它們就是等效的。

推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動，而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應。即力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應與它在平面內(nèi)的位置無關。根據(jù)力偶的這一性質(zhì)，可以得出以下兩個推論：圖示三種情形下，力偶移動或轉(zhuǎn)動，但作用效應是相同的。F’FdF’FddF’F山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學

推論2只要力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時改變力的大小和力偶臂的長度，而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應。在研究力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應時，只需考慮力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，而不必在意力偶的位置、力的大小及力偶臂的長度。15N4m6m10N20N3m因此在工程中，力偶可用一段帶箭頭的弧線來表示，如圖所示。60Nm圖中的幾個力偶的作用效應是相同的。2.力偶的基本性質(zhì)山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學二、力偶第二節(jié)力矩與平面力偶系一、力矩三、平面力偶系在物體的某一平面上同時作用兩個以上的力偶，稱為平面力偶系。1.平面力偶系的合成力偶只能使物體轉(zhuǎn)動。因此，平面力偶系的合成，實質(zhì)上是力偶的轉(zhuǎn)動效應的合成。合成后也只能使物體轉(zhuǎn)動。于是可以得出結(jié)論：平面力偶系的合成結(jié)果為一個合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。即MR=M1+M2+……+Mn=∑M山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例2-12

某物體在平面內(nèi)受到三個力偶的作用，各力偶的力偶矩如圖所示。試求合力偶矩。15N8m4m10N50Nm30NmMR=∑M=15×4-10×8+50=30N?m合力偶矩為30N?m，逆時針轉(zhuǎn)向，與原力偶系共面。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學三、平面力偶系1.平面力偶系的合成平面力偶系可以合成為一個合力偶，當合力偶矩等于零時，則力偶系中各力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應相互抵消，物體平衡；MR=∑M2.平面力偶系的平衡條件反過來，物體處于平衡狀態(tài)，則要求合力偶矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即∑M=0上式又稱為平面力偶系的平衡方程。對于平面力偶系的平衡問題，利用這一方程可以求解一個未知量。山西建筑職業(yè)技術(shù)學院建筑工程系建筑力學教研室建筑力學例2-13

如圖所示的簡支梁AB，受一力偶的作用，其力偶矩M=20kN?m。試求A、B支座的反力。

B支座為可動鉸支座，其反力FB的方位可以確定AB4mM解取梁AB為研究對象，該梁