3.4 質(zhì)數(shù)與合數(shù)（學(xué)霸課堂筆記）-2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)五年級下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.4質(zhì)數(shù)與合數(shù)第一部分第一部分學(xué)問清單一個數(shù)，假如只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。如2、3、5都是質(zhì)數(shù)。一個數(shù)，假如除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。如4、6、9都是合數(shù)。1的因數(shù)只有1個。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。質(zhì)數(shù)與合數(shù)的個數(shù)都是無限的，沒有最大的質(zhì)數(shù)或合數(shù)。最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。其中，2是唯一一個既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)。自然數(shù)（不包括0）可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1三大類。其次部分其次部分典型例題例1：將分別標有1、2、3、4、5的五張卡片放在一個口袋里，從口袋里任意摸出一張，摸后放回，下面（

）說法是正確的。A．摸到奇數(shù)的可能性比偶數(shù)的大 B．摸到偶數(shù)的可能性最大C．摸到質(zhì)數(shù)的可能性最小 D．摸到合數(shù)的可能性最大答案：A分析：找出1、2、3、4、5中奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)，再依據(jù)數(shù)量的多少進行比較，數(shù)量最多的，摸到的可能性最大，數(shù)量最少的，摸到的可能性最小，數(shù)量相等的，摸到的可能性一樣。詳解：五張卡片中奇數(shù)有1、3、5共3個；偶數(shù)有2、4共2個；質(zhì)數(shù)有2、3、5共3個；合數(shù)只有4共1個。3＝3＞2＞1所以摸到奇數(shù)、質(zhì)數(shù)的可能性相等，摸到偶數(shù)的可能性居中，摸到合數(shù)的可能性最小。故答案為：A點睛：本題主要考查可能性的大小，找格外數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)是解題的關(guān)鍵。例2：甲數(shù)是一個質(zhì)數(shù)，乙數(shù)是一個合數(shù)，它們的和是11，甲、乙兩數(shù)相乘的積最小是()，把這個乘積分解質(zhì)因數(shù)是()。答案：1818＝2×3×3分析：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。一個數(shù)除了1和它本身兩個因數(shù)，還有其他的因數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。先把11拆分兩個數(shù)相加，找出符合題意的全部狀況，再找出最小的積即可；分解質(zhì)因數(shù)是將合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來。據(jù)此解答。詳解：11＝1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6符合題意的只有2＋9、3＋8、4＋7、5＋6；2×9＝183×8＝244×7＝285×6＝3018＜24＜28＜3018＝2×3×3甲數(shù)是一個質(zhì)數(shù)，乙數(shù)是一個合數(shù)，它們的和是11，甲、乙兩數(shù)相乘的積最小是18，把這個乘積分解質(zhì)因數(shù)是18＝2×3×3。點睛：本題主要考查了質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及分解質(zhì)因數(shù)的生疏和應(yīng)用，要嫻熟把握每個學(xué)問點。例3：兩個質(zhì)數(shù)的和不肯定是合數(shù)。()答案：√分析：在自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)，比如3，只有1和它本身這兩個因數(shù)，所以3是質(zhì)數(shù)；一個大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，還能整除其他自然數(shù)的數(shù)，即除了1和它本身以外還有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)，通過對質(zhì)數(shù)和合數(shù)的生疏解題即可。詳解：由分析可得：比如質(zhì)數(shù)2和3，它們的和為：2＋3＝55，只有1和它本身兩個因數(shù)，所以5也是質(zhì)數(shù)，由此可見，兩個質(zhì)數(shù)的和不肯定是合數(shù)。故答案為：√點睛：本題考查的是質(zhì)數(shù)和合數(shù)的有關(guān)學(xué)問，需要嫻熟把握概念，同時不能光死記硬背概念，而是要把對概念的理解，嫻熟的運用到題目中來。例4：哥哥和妹妹的年齡是兩個質(zhì)數(shù)，已知這兩個質(zhì)數(shù)的積是85，則哥哥和妹妹分別是多少歲？答案：哥哥17歲：妹妹5歲分析：把85寫成兩個質(zhì)數(shù)相乘，其中較大的數(shù)是哥哥的年齡，較小的數(shù)是妹妹的年齡。詳解：85＝17×5，所以哥哥17歲，妹妹5歲。答：哥哥17歲，妹妹5歲。點睛：解答此題的關(guān)鍵在于知道85是兩個質(zhì)數(shù)17和5的積。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．假如a、b為非0自然數(shù)，那么3a＋3b的結(jié)果肯定是（

）。A．奇數(shù) B．偶數(shù) C．質(zhì)數(shù) D．合數(shù)2．學(xué)校階段學(xué)了很多數(shù)學(xué)學(xué)問，它們之間有親密的聯(lián)系。下列不能正確表示它們之間關(guān)系的是（

）。A． B． C．3．有名的“哥德巴赫猜想”被喻為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)之和。下列3個算式中，符合這個猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．40＝23＋17 C．20＝9＋114．將分別標有數(shù)字2、3、4、5、6、7的六個同樣小球放在一個不透亮?????的袋子里，從袋子里任意摸出一個球，摸到標有（

）的球可能性最小。A．奇數(shù) B．偶數(shù) C．質(zhì)數(shù) D．合數(shù)5．哥德巴赫猜想被譽為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和，下面的式子中反映這個猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝7＋47二、填空題6．在括號里填不同的質(zhì)數(shù)。20＝()＋()

20＝()＋()7．已知，均為質(zhì)數(shù)，且＝32，那么與的乘積最小是()，最大是()。8．一個四位數(shù)，它個位上的數(shù)是最大的一位數(shù)，十位上的數(shù)是最小的合數(shù)，百位上的數(shù)是合數(shù)且是奇數(shù)，千位上最小的質(zhì)數(shù)，這個四位數(shù)是()。9．在1，2，17，27，49，70，87，97中，質(zhì)數(shù)有()個，把70分解質(zhì)因數(shù)是()。10．“哥德巴赫猜想”被喻為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”。該猜想認為：任何大于4的偶數(shù)都是兩個奇質(zhì)數(shù)之和。依據(jù)這個猜想，16＝()＋()＝()＋()。11．端午節(jié)期間，小明和爸爸去大洋灣觀看龍舟賽。入住酒店后，小明問爸爸：“我們的房間號是多少？”爸爸說：“房間號由三個數(shù)字組成，第一個數(shù)字代表樓層，它既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)；后面兩個數(shù)字代表房間挨次，它是20以內(nèi)最大的奇數(shù)?！毙∶骱桶职值姆块g號是()。三、推斷題12．一個自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。()13．若正方形的邊長是質(zhì)數(shù)，則它的面積是合數(shù)。()14．最小的合數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)的2倍。()15．質(zhì)數(shù)加上1就可以變成合數(shù)。()16．哥德巴赫猜想是任何一個數(shù)都可以拆成兩個質(zhì)數(shù)相加。()：培優(yōu)提升練四、解答題17．下面括號中被除數(shù)是大于6的質(zhì)數(shù)。（1）試舉例，并算出商和余數(shù)。（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（2）發(fā)覺：上面（

）÷6的余數(shù)是哪些數(shù)？（

）（3）用所學(xué)學(xué)問解釋說明為什么余數(shù)不行能是其他的數(shù)？18．五（1）的同學(xué)在學(xué)習(xí)《蒜葉的生長》時，栽種了幾行大蒜，每行的棵數(shù)一樣多，四位同學(xué)一起數(shù)大蒜的棵數(shù)，只有一個人數(shù)對了，你知道是誰嗎？你是怎樣想的？請加以說明。姓名佳峰宇陽言麗玉梁棵數(shù)4143454719．按要求填一填。(1)德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出猜想：“全部大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和”。該猜想成為數(shù)學(xué)中的一個有名的難題，被稱為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”。下面符合這個猜想的是（

）。A．20＝2＋18 B．20＝3＋17C．20＝5＋15 D．20＝11＋9(2)請你仿照上面正確的例子填寫：30＝()＋()，40＝()＋()。(3)從這個猜想又可推出：任意一個大于5的奇數(shù)都可以寫成三個質(zhì)數(shù)之和，如：11＝3＋3＋5，21＝3＋5＋13。請你再寫三個符合猜想的算式。()＝()＋()＋()()＝()＋()＋()20．下面的數(shù)，哪些是質(zhì)數(shù)，哪些是合數(shù)？21

23

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1．D分析：奇數(shù)：末尾是1、3、5、7、9的數(shù)是奇數(shù)；偶數(shù)：末尾是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)；質(zhì)數(shù)：除了1和它本身，沒有其它因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)；合數(shù)：1和它本身，還有其它因數(shù)的是數(shù)合數(shù)。據(jù)此即可逐項分析。詳解：A．當(dāng)a＝2，b＝4，則3a＋3b＝3×2＋3×4＝6＋12＝18；18是偶數(shù)，不符合；B．當(dāng)a＝1，b＝2，則3a＋3b＝3×1＋3×2＝3＋6＝9；9是奇數(shù)；不符合；C．由于3a＋3b＝3×（a＋b），那么這個數(shù)的積肯定是3的倍數(shù)，所以它不是質(zhì)數(shù)；D．3a＋3b＝3×（a＋b），這個數(shù)有因數(shù)3，它肯定是合數(shù)。故答案為：D點睛：本題主要考查奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，嫻熟把握它們的含義是解題的關(guān)鍵。2．A分析：合數(shù)：除了1和它本身，還有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)；偶數(shù)：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；等腰三角形：兩條邊相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三條邊相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知數(shù)的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，據(jù)此即可逐項分析。詳解：A．偶數(shù)和合數(shù)不是包含關(guān)系，2是偶數(shù)，但不是合數(shù)，所以選項A不能表示它們之間的關(guān)系。B．等腰三角形兩腰相等，兩個底角相等，當(dāng)三條邊都相等時，就變成了正三角形，所以B能表示它們之間的關(guān)系。C．方程是等式，是含有未知數(shù)的等式，所以選項C能表示它們之間的關(guān)系。故答案為：A點睛：解答本題需嫻熟把握分類標準，明確分類方法。3．B分析：整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)，在自然數(shù)中，除了1和它本身外，沒有別的因數(shù)的數(shù)為質(zhì)數(shù)，比如3，只有1和它本身這兩個因數(shù)，所以3是質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答即可。詳解：由分析可得：A．4＝1＋3，1不是質(zhì)數(shù)，所以不符合題意；B．40＝23＋17中，23和17都是質(zhì)數(shù)，所以符合題意；C．20＝9＋11中，9不是質(zhì)數(shù)，其有1、3、9三個因數(shù)，所以不符合題意；故答案為：B點睛：本題考查了質(zhì)數(shù)和偶數(shù)的概念，生疏概念的同時也要會結(jié)合題目機敏運用。4．D分析：在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)；一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個數(shù)除了1和它本身兩個因數(shù)，還有其他的因數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。不確定大事發(fā)生的可能性的大小與事物的數(shù)量有關(guān)，數(shù)量越多，可能性越大，反之則越小。所以合數(shù)最少，摸到標有合數(shù)的球可能性最小。詳解：奇數(shù)有3、5、7，共3個；偶數(shù)有2、4、6，共3個；質(zhì)數(shù)有2、3、5、7，共4個；合數(shù)有4、6，共2個。2＜3＜4合數(shù)最少，摸到標有合數(shù)的球可能性最小。故答案為：D點睛：本題主要考查可能性大小的推斷，理解不確定大事發(fā)生的可能性的大小與事物的數(shù)量有關(guān)。5．C分析：依據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，除了1和它本身外，沒有其它因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)；是2的倍數(shù)是數(shù)是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)是奇數(shù)，依據(jù)題意“這個猜想的內(nèi)容是任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)之和”進行推斷逐項分析即可。詳解：A．“4＝1＋3”中1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，不符合猜想；B．“13＝2＋11”中13是奇數(shù)，不是偶數(shù)，不符合猜想；C．“54＝7＋47”中54是偶數(shù)，7和47是質(zhì)數(shù)，符合猜想；故答案為：C點睛：此題考查了質(zhì)數(shù)的意義以及拓展應(yīng)用，要嫻熟把握嫻熟把握質(zhì)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵。6．317713分析：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。一個數(shù)除了1和它本身兩個因數(shù)，還有其他的因數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，據(jù)此解答。詳解：由分析可知：20＝3＋1720＝7＋13點睛：本題考查了質(zhì)數(shù)的生疏以及應(yīng)用，把握質(zhì)數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵。7．87247分析：一個數(shù)的因數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)就是質(zhì)數(shù)；找到和是32的兩個質(zhì)數(shù)，然后把它們相乘即可。詳解：32＝3＋29；32＝13＋193×29＝87；13×19＝247所以m與n的乘積最小是87，最大是247。點睛：本題考查質(zhì)數(shù)，明確質(zhì)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。8．2949分析：最大的一位數(shù)是9；依據(jù)合數(shù)的意義：在自然數(shù)中，除了1和它本身還有別的因數(shù)的數(shù)是合數(shù)；最小的合數(shù)是4；百位上的數(shù)是合數(shù)且是奇數(shù)，即百位上是9，在自然數(shù)中，除了1和它本身，沒有別的因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)，最小的質(zhì)數(shù)是2，由此即可解答。詳解：由分析可知：這個四位數(shù)是：2949。點睛：本題主要考查質(zhì)數(shù)、合數(shù)的意義，嫻熟把握它們的意義并機敏運用。9．370＝2×5×7分析：只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，除了1和它本身還有其它因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)，據(jù)此推斷在1，2，17，27，49，70，87，97中質(zhì)數(shù)的個數(shù)；把一個合數(shù)分解成若干個質(zhì)因數(shù)的乘積的形式，即求質(zhì)因數(shù)的過程叫做分解質(zhì)因數(shù)；據(jù)此解答。詳解：在1，2，17，27，49，70，87，97中，2、17、97是質(zhì)數(shù)，所以在1，2，17，27，49，70，87，97中，質(zhì)數(shù)有3個。70＝2×5×7，所以把70分解質(zhì)因數(shù)是70＝2×5×7。點睛：本題考查質(zhì)數(shù)的生疏及合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的方法。10．313511分析：整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)；除了1和它本身之外沒有其它因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)。據(jù)此將16分成兩個奇質(zhì)數(shù)的和即可。詳解：16＝3＋13＝5＋11點睛：關(guān)鍵是理解奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分類標準。11．219分析：一個數(shù)，假如只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；一個數(shù)，假如除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)；整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。詳解：第一個數(shù)字代表樓層，它既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，即2；后面兩個數(shù)字代表房間挨次，它是20以內(nèi)最大的奇數(shù)，即19；小明和爸爸的房間號是219。點睛：本題考查質(zhì)數(shù)、偶數(shù)與奇數(shù)的意義及應(yīng)用，明確2是最小的質(zhì)數(shù)，也是偶數(shù)中唯一的質(zhì)數(shù)。12．×分析：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)。一個數(shù)的因數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)。據(jù)此推斷即可。詳解：由分析可知：1是自然數(shù)，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，原題說法錯誤。故答案為：×點睛：本題考查質(zhì)數(shù)和合數(shù)，明確質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。13．√分析：正方形面積＝邊長×邊長；除了1和本身還有別的因數(shù)的數(shù)，是合數(shù)。據(jù)此分析推斷。詳解：由于正方形面積＝邊長×邊長，所以正方形的面積至少有3個因數(shù)，分別為1、本身和邊長。所以，若正方形的邊長是質(zhì)數(shù)，則它的面積是合數(shù)。故答案為：√點睛：本題考查了質(zhì)數(shù)和合數(shù)、正方形的面積，把握面積公式、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。14．√分析：質(zhì)數(shù)：除了1和它本身，沒有其它因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)；合數(shù)：除了1和它本身，還有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)；最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，用4除以2即可推斷。詳解：由分析可知：4÷2＝2最小的合數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)的2倍，原題說法正確。故答案為：√點睛：本題主要考查質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義，嫻熟把握它的意義是解題的關(guān)鍵。15．×分析：自然數(shù)中除了1和它本身以外，不含其它因數(shù)的數(shù)是質(zhì)數(shù)；除了1和它本身外，還含有其它因數(shù)的數(shù)是合數(shù)；據(jù)此舉例，繼而得出結(jié)論。詳解：如：2是質(zhì)數(shù)，2＋1＝3，而3是質(zhì)數(shù)，所以全部的質(zhì)數(shù)加上1后都是合數(shù)說法錯誤。故答案為：×點睛：解答此題應(yīng)依據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義，并結(jié)合題意，舉例說明即可。16．×詳解：200百多年前，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫猜想發(fā)覺每一個大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和；同時，歐拉又補充指出：任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)之和；后來這兩個命題被合稱為“哥德巴赫猜想”；原說法中沒有限定“任何大于2的偶數(shù)”，所以說法錯誤。故答案為：×17．（1）7；1；111；1；513；2；117；2；519；3；123；3；5（2）大于6的質(zhì)數(shù)；1或5（3）見詳解分析：（1）一個數(shù)，只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，找出大于6的質(zhì)數(shù)，計算出商和余數(shù)；（2）依據(jù)大于6的質(zhì)數(shù)÷6，得到余數(shù)進行解答；（3）依據(jù)余數(shù)是其他數(shù)，那么被除數(shù)就不行能是質(zhì)數(shù)，據(jù)此解答。詳解：（1）試舉例，并算出商和余數(shù)。（7）÷6＝1…1

（11）÷6＝1…5（13）÷6＝2…1

（17）÷6＝2…5（19）÷6＝3…1

（23）÷6＝3…5（2）發(fā)覺：上面（大于6的質(zhì)數(shù)）÷6的余數(shù)是（1或5）。（3）大于6的質(zhì)數(shù)做被除數(shù)余數(shù)不能為2和3、4，若余數(shù)是2或4，則被除數(shù)是偶數(shù)，不是質(zhì)數(shù)；若余數(shù)為3，那么被除數(shù)肯定能整除3，也不是質(zhì)數(shù)，所以余數(shù)只能是1或5，不行能是其他數(shù)。點睛：嫻熟把握質(zhì)數(shù)的意義以及偶數(shù)