黑龍江省哈爾濱市第三2024-2025學(xué)年高三10月月考試卷數(shù)學(xué)（含答案）

哈三中2024—2025學(xué)年度上學(xué)期高三學(xué)年十月月考數(shù)學(xué)試卷考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘.1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整，字跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第I卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.2.已知是關(guān)于的方程的一個根，則（）A.20 B.22 C.30 D.323.已知，，，則的最小值為（）A.2 B. C. D.44.數(shù)列中，若，，，則數(shù)列的前項和（）A. B. C. D.5.在中，為中點，，，若，則（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，點在棱上，且，點為中點，點在棱上，若平面，則（）A.2 B.3 C.4 D.57.已知偶函數(shù)定義域為，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點的和為（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（）A. B.0 C.1 D.2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)最大值為B.是函數(shù)圖象的一個對稱中心C.是函數(shù)圖象的一個對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，即可得到函數(shù)的圖象10.在正方形中，，為中點，將沿直線翻折至位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若點在線段上，則的最小值為B.三棱錐的體積為C.異面直線、所成的角為D.三棱錐外接球的表面積為11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)有兩個零點B.恒成立C.若方程有兩個不等實根，則的范圍是D.直線與函數(shù)圖象有兩個交點第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.12.等差數(shù)列中，是其前項和.若，，則______.13.在中，，的平分線與交于點，且，，則的面積為______.14.已知三棱錐中，平面，，，，，、分別為該三棱錐內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在三棱柱中，，，，，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.17.已知在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，.（1）求；（2）若，為中點，，求；（3）若，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.18.某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如圖所示.（1）求的值，并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；（2）以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在內(nèi)的天數(shù)為，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長為2的正三角形，，現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個分別貼在、兩個頂點，記頂點、上的數(shù)字分別為和，若為側(cè)棱上一個動點，滿足，當(dāng)“二面角大于”即為中獎，求中獎的概率.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，是中點，平面，.（1）求四棱錐體積最大值；（2）設(shè)，為線段上的動點.①求平面與平面的夾角余弦值的取值范圍；②四棱錐外接球記為球，當(dāng)為線段中點時，求平面截球所得的截面面積.

數(shù)學(xué)試卷考試說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘.1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整，字跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第I卷（選擇題，共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出集合，，再根據(jù)交集的定義求.【詳解】對集合：因為，所以，即；對集合：因為恒成立，所以.所以.故選：B2.已知是關(guān)于的方程的一個根，則（）A.20 B.22 C.30 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)虛根成對原理可知方程的另一個虛根為，再由韋達(dá)定理計算可得.【詳解】因為是關(guān)于的方程的一個根，所以方程的另一個虛根為，所以，解得，所以.故選：D.3.已知，，，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：D.4.數(shù)列中，若，，，則數(shù)列的前項和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合遞推關(guān)系利用分組求和法求.【詳解】因為，，所以，，，，，又，，，所以.故選：C.5.在中，為中點，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】選擇為平面向量的一組基底，表示出，再根據(jù)表示的唯一性，可求的值.【詳解】選擇為平面向量的一組基底.因為為中點，所以；又.由.故選：C6.在三棱柱中，點在棱上，且，點為中點，點在棱上，若平面，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及線面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示設(shè)為的中點，因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，連接，又因為平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故選：B.7.已知偶函數(shù)定義域為，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點的和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上的零點的集合等于函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點橫坐標(biāo)的集合，分析函數(shù)的圖象特征，作出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)，的零點的集合與方程在區(qū)間上的解集相等，又方程可化為，所以函數(shù)，的零點的集合與函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的交點橫坐標(biāo)的集合相等，因為函數(shù)為定義域為的偶函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，因為，取可得，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又當(dāng)時，，作出函數(shù)，的區(qū)間上的圖象如下：觀察圖象可得函數(shù)，的圖象在區(qū)間上有個交點，將這個交點的橫坐標(biāo)按從小到大依次記為，則，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點的和為.故選：A.8.已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可設(shè)，，，由得到滿足的關(guān)系，再求的最小值.【詳解】可設(shè)，，，則.可設(shè)：，則.故選：B【點睛】方法點睛：由題意可知：，都是單位向量，且夾角確定，所以可先固定，，這樣就只有發(fā)生變化，求最值就簡單了一些.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.是函數(shù)圖象的一個對稱中心C.是函數(shù)圖象的一個對稱軸D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，即可得到函數(shù)的圖象【答案】ACD【解析】【分析】先利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式，把函數(shù)化成的形式，再對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，判斷各選項是否正確.【詳解】因為.所以，故A正確；函數(shù)對稱中心的縱坐標(biāo)必為，故B錯誤；由，得函數(shù)的對稱軸方程為：，.令，得是函數(shù)的一條對稱軸.故C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得，即將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得到函數(shù)的圖象.故D正確.故選：ACD10.在正方形中，，為中點，將沿直線翻折至位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若點在線段上，則的最小值為B.三棱錐的體積為C.異面直線、所成角為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】AC【解析】【分析】對于A，的最小值為可判斷A；對于B，過作于，求得，可求三棱錐的體積判斷B；對于C；取的中點，則，取的中點，連接，求得，由余弦定理可求異面直線、所成的角判斷C；對于D，取的中點，過點在平面內(nèi)作的垂線交于，求得外接球的半徑，進(jìn)而可求表面積判斷D.【詳解】對于A，將沿直線翻折至，可得的最小值為，故A正確；對于B，過作于，因為二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由題意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因為為線段的中點，所以到平面的距離為，又，所以，故B錯誤；對于C，取的中點，則，且，，所以，因為，所以是異面直線、所成的角，取的中點，連接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以異面直線、所成的角為，故C正確；對于D，取的中點，過點在平面內(nèi)作的垂線交于，易得是的垂直平分線，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因為直角三角形的外心，所以是三棱錐的外球的球心，又，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)有兩個零點B.恒成立C.若方程有兩個不等實根，則的范圍是D.直線與函數(shù)圖象有兩個交點【答案】BCD【解析】【分析】分和兩種情況探討的符號，判斷A的真假；轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最小值問題，判斷B的真假；把方程有兩個不等實根，為有兩個根的問題，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得的取值范圍，判斷C的真假；直線與函數(shù)圖象有兩個交點轉(zhuǎn)化為有兩解，分析函數(shù)的零點個數(shù)，可判斷D的真假.【詳解】對A：當(dāng)時，；當(dāng)時，；時，，所以函數(shù)只有1個零點.A錯誤；對B：欲證，須證在上恒成立.設(shè)，則，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的最小值為，因為，所以.故B正確；對C：.設(shè)，則，.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以的最大值為：，又當(dāng)時，.如圖所示：所以有兩個解時，.故C正確；對D：問題轉(zhuǎn)化為方程：有兩解，即有兩解.設(shè)，，所以.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以的最大值為.因為，，所以所以.且當(dāng)且時，；時，.所以函數(shù)的圖象如下：所以有兩解成立，所以D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)問題中，求參數(shù)的取值范圍問題，通常有如下方法：（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的值域問題求解.（2）轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的極值問題求解.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.12.等差數(shù)列中，是其前項和.若，，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，將條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為的方程，解方程求，由此可求結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，，所以，，所以，故答案為：.13.在中，，的平分線與交于點，且，，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式，余弦定理列方程求，再由三角形面積公式求結(jié)論.【詳解】因為，為的平分線，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面積.故答案為：.14.已知三棱錐中，平面，，，，，、分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段的長度的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得的中點外接球的球心，求得外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求得兩球心之間的距離，可求得線段的長度的最小值.【詳解】因為平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，結(jié)合已知可得平面，所以是直角三角形，從而可得的中點外接球的球心，故外接球的半徑為，設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，由，根據(jù)已知可得，所以，所以，解得，內(nèi)切球在平面的投影為內(nèi)切球的截面大圓，且此圓與的兩邊相切（記與的切點為），球心在平面的投影為在的角平分線上，所以，由上易知，所以，過作于，，從而，所以，所以兩球心之間的距離，因為、分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，所以線段的長度的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先確定內(nèi)外切球球心位置，進(jìn)而求兩球半徑和球心距離，再利用空間想象判斷兩球心與位置關(guān)系求最小值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在三棱柱中，，，，，為中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可證結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點，所在直線為，過作的平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，因為，為中點，所以，因為，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為，過作平行線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）的取值范圍為.【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，分別在，，，條件下研究導(dǎo)數(shù)的取值情況，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由條件可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)且時，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，方程有兩個不等實數(shù)根，設(shè)其根為，，則，，由，知，，，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，【小問2詳解】因為，，所以，不等式可化為，因為在恒成立，所以設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值為，故，所以的取值范圍為.17.已知在銳角中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，.（1）求；（2）若，為中點，，求；（3）若，求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，可求，進(jìn)而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的數(shù)量積求邊.（3）利用與正弦定理表示出，借助三角函數(shù)求的取值范圍.【小問1詳解】因為，根據(jù)正弦定理，得，所以，因為，所以，所以.【小問2詳解】因為為中點，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小問3詳解】由正弦定理：，所以，，因為，所以，所以，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則.因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，即，即內(nèi)切圓半徑的取值范圍是：.18.某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，將最近一段時間內(nèi)每日的汽車銷售情況進(jìn)行了統(tǒng)計，如圖所示.（1）求的值，并求該公司這段時間內(nèi)每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)；（2）以頻率估計概率，若在這段時間內(nèi)隨機(jī)選擇4天，設(shè)每日汽車銷售量在內(nèi)的天數(shù)為，在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：在三棱錐中，、均是邊長為2的正三角形，，現(xiàn)從寫有數(shù)字1~8的八個標(biāo)簽中隨機(jī)選擇兩個分別貼在、兩個頂點，記頂點、上的數(shù)字分別為和，若為側(cè)棱上一個動點，滿足，當(dāng)“二面角大于”即為中獎，求中獎的概率.【答案】（1），175（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可求的值，再根據(jù)百分位數(shù)的概念求第60百分位數(shù).（2）根據(jù)條件概率計算，求的分布列和期望.（3）根據(jù)二面角大于，求出可對應(yīng)的情況，再求中獎的概率.【小問1詳解】由.因為：，，所以每日汽車銷售量的第60百分位數(shù)在，且為.【小問2詳解】因為抽取的1天汽車銷售量不超過150輛的概率為，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.所以：在恰有1天的汽車銷售量不超過150輛的條件下，抽取的1天汽車銷售量在內(nèi)的概率為.由題意，的值可以為：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列為：01