專題16直角三角形（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題1.6直角三角形（分層練習(xí)）單選題1．（2023下·寧夏固原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）明明在玩擺木棒游戲，幫他看一看哪一組長(zhǎng)度的木棒可以構(gòu)成直角三角形（

）A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，7，11 D．5，12，132．（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩個(gè)同樣大小的直角三角板按如圖所示擺放，其中兩條一樣長(zhǎng)的直角邊交于點(diǎn)，另一直角邊，分別落在的邊和上，且，連接，則在說明為的平分線的過程中，理由正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2023上·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是，根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡作出的，能夠用于說明“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2023下·河南焦作·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，小明從文具店買了一把直尺，他突發(fā)奇想，想驗(yàn)證一下這把尺子的對(duì)邊是否平行，于是他把直尺與一塊三角板如圖放置，用量角器測(cè)量和的度數(shù)，請(qǐng)問下列哪個(gè)關(guān)系可以說明直尺的對(duì)邊平行（）

A． B． C． D．5．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）小明制作簡(jiǎn)易工具來測(cè)量物體表面的傾斜程度，方法如下：將刻度重新設(shè)計(jì)的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度線與三角板的底邊平行．將用細(xì)線和鉛錘做成的重錘線頂端固定在量角器中心點(diǎn)O處，現(xiàn)將三角板底邊緊貼被測(cè)物體表面，如圖所示，此時(shí)重錘線在量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為，那么被測(cè)物體表面的傾斜角為（

）A． B． C． D．6．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，平分交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，與度數(shù)之比為k、若為直角三角形，且，則k的值為（

）A．1 B． C．或1 D．1或7．（2022上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．8．（2023上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，則不能確定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．9．（2023上·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，于R，于S，則三個(gè)結(jié)論①；②；③中（）A．全部正確 B．僅①和②正確C．僅①正確 D．僅①和③正確10．（2022上·北京西城·八年級(jí)北京八中?？计谥校┤鐖D，若點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，的平分線交外角的平分線于點(diǎn)C，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．11．（2023下·廣東深圳·七年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，O是外一點(diǎn)，O到三邊的垂線段分別為，，，且，則的長(zhǎng)度為（

）

A．7 B．5 C． D．12．（2023下·安徽合肥·八年級(jí)中國(guó)科技大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），則的最小值是（

）A． B．3 C．1 D．13．（2022上·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，．則為（

）

A． B． C． D．14．（2022·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．15．（2022下·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確的有（）①△BPQ是等邊三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④解答題16．（2021上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，D是上一點(diǎn)，E在的延長(zhǎng)線上，且，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)F．試通過觀察、測(cè)量、猜想等方法來探索與有何特殊的位置關(guān)系，并證明你的猜想．

17．（2022上·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，于D，平分分別與交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：是等邊三角形；（2）若，求的長(zhǎng)．18．（2022上·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，是高，且．（1）試判斷的形狀，并說明理由；（2）若是的角平分線，相交于點(diǎn)F．試說明：．19．（2019上·江西南昌·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，分別連接，．以為邊作等邊三角形，連接．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．20．（2023上·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，于點(diǎn)于點(diǎn)與交于點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）若，則的周長(zhǎng)為________．（3）若點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且在直線的上方，，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，連接，請(qǐng)直接寫線段的長(zhǎng)．21．（2023上·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）中，，，點(diǎn)在射線上（不與，重合），連接，過點(diǎn)作，垂足為．（1）如圖1，點(diǎn)在線段上，若恰好平分，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且平分，探究、、之問的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且平分，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形，判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，說明理由；如果不成立，直接寫出正確的結(jié)論．填空題22．（2022下·八年級(jí)單元測(cè)試）若，，之間滿足的等量關(guān)系是，則邊長(zhǎng)為，，的三角形是．23．（2023上·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，幼兒園的滑梯中有兩個(gè)長(zhǎng)度相等的梯子，且，已知，，則．24．（2023下·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊三角形的空地，三邊長(zhǎng)分別是，，，為了美化校園環(huán)境，學(xué)校決定對(duì)這塊空地進(jìn)行綠化，綠化費(fèi)用為50元/，綠化這塊空地需要元．25．（2023上·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，在方格圖中．

26．（2022上·湖北武漢·八年級(jí)校考期末）如圖，為測(cè)量一斜坡的坡角的大小，將一塊等腰直角三角板的斜邊置于斜坡上，把下端掛有鉛錘的細(xì)繩的上端拴在直角頂點(diǎn)C處，量得，則坡角．27．（2023下·云南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直角三角形中，有一個(gè)銳角是另外一個(gè)銳角的5倍，則這個(gè)銳角的度數(shù)為度．28．（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，線段，點(diǎn)、分別在線段和與垂直的射線上移動(dòng)，當(dāng)時(shí)，和全等．

29．（2020·八年級(jí)單元測(cè)試）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，且，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為.30．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在的網(wǎng)格中，．31．（2020下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，則∠ABD=．32．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點(diǎn)放在邊上移動(dòng)，直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)，斜邊與交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為．

33．（2023上·山東日照·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在等腰中，，是的中點(diǎn)，于，交于．則．34．（2023上·四川成都·八年級(jí)樹德中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿翻折得到，交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，若，，則．

35．（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接．四邊形的面積為12，，則的長(zhǎng)是．

36．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，，為的中點(diǎn)，，且，與的交于點(diǎn)，則．參考答案：1．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．解：A、∵，∴，∴不能組成直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴，∴不能組成直角三角形，故B不符合題意；C、∵，，∴，∴不能組成直角三角形，故C不符合題意；D、∵，，∴，∴能組成直角三角形，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及角平分線的定義即可得結(jié)論，從而作出判斷．解：根據(jù)題意可得：，∴和都是直角三角形，在和中，∴，∴，∴為的平分線，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的判定和全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．3．B【分析】根據(jù)證明即可得解．解：選項(xiàng)B滿足題意；由作圖知，斜邊，，，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．4．C【分析】如圖，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角即可得到，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷．解：如圖，

，，，，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，即，∴當(dāng)時(shí)，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定和直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】如解析圖所示，中，，，由此利用直角三角形兩銳角互余即可求出答案．解：如圖所示，在中，，，∴，∴，∴被測(cè)物體表面的傾斜角為，故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由判斷出的取值范圍，得到為直角．設(shè)，則，根據(jù)題意求得，根據(jù)，結(jié)合等腰三角形等角對(duì)等邊及三角形外角的性質(zhì)易知，推出，求出x的值，即可得出結(jié)果．解：解析：設(shè)，則．∵平分．∴．∵．∴，∵，結(jié)合等腰三角形等角對(duì)等邊及三角形外角的性質(zhì)易知．即，∴．∵為直角三角形，∴，∴，即，解得，∴，故選：B．7．A【分析】由圖示可知為公共邊，若想用判定證明和全等，必須添加．解：∵，，∴，.，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；.，不符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、分別根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理可以判斷出結(jié)果，熟練運(yùn)用三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：A、設(shè)，則，，，∵，∴是直角三角形，能確定，該選項(xiàng)不符合題意；B、∵，，，∴是直角三角形，能確定，該選項(xiàng)不符合題意；C、設(shè)，則，，∵，即，解得，則，∴是直角三角形，能確定，該選項(xiàng)不符合題意；D、∵，，∴即，此時(shí)不能確定或是否為，∴不確定是直角三角形，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．9．B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等邊對(duì)等角．熟練掌握了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．證明，則，可判斷①的正誤；等邊對(duì)等角，可得，則，進(jìn)而可判斷②的正誤；題干條件無法判斷，進(jìn)而可判斷③的正誤．解：由題意知，∵，，∴，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，∴，②正確，故符合要求；由題意無法判斷，③錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：B．10．B【分析】如下圖所示，根據(jù)三角形角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，得出，然后再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出．解：如圖所示，的平分線交外角的平分線于點(diǎn)C，，，，，，，；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形的角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余與三角形外角的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．11．D【分析】連接，，，由，設(shè)，，，證明，得到為的角平分線，再根據(jù)，得到，根據(jù)三線合一及勾股定理求出，再根據(jù)，得到方程求解即可．解：連接，，，如圖，

由，設(shè)，，，∵，，，，∴，即，∴為的角平分線，又∵，∴，∴為的中線，∵，∴、、三點(diǎn)共線，∴，在中，，∴∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟知等腰三角形的三線合一、角平分線的判定及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．12．A【分析】以A為頂點(diǎn)，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此時(shí)B、P、D共線，且，的最小值即是的長(zhǎng)，根據(jù)，，可得，即可得答案．解：以A為頂點(diǎn)，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，如圖：由作圖可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此時(shí)B、P、D共線，且，的最小值即是的長(zhǎng)，∵，，∴，∴，∴，，∴的最小值是．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查三角形中的最小路徑，解題的關(guān)鍵是作輔助線，把的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值．13．B【分析】可過C作于E，因?yàn)?，則可得，可過C作于E，依據(jù)題意可得，進(jìn)而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．解：如圖，可過C作于E，可過C作于E．

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，且∴，∴，且∴，且，∴，∴，∴∴故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行解題是關(guān)鍵．14．C【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°150°60°∠QPC=150°∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．15．A【分析】①根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據(jù)△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷①；②根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷得出②；③根據(jù)△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷；④求出∠APC=150°∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷④．解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等邊三角形，所以①正確；∴PQ=PB=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正確；∵△BPQ是等邊三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正確；∠APC=360°150°60°∠QPC=150°∠QPC，∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④錯(cuò)誤．所以正確的有①②③．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上知識(shí)．16．，證明見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和．先由，得，結(jié)合，，則證明，故，結(jié)合三角形內(nèi)角和以及對(duì)頂角相等，即可作答．解：∵∴∵，，∴∴∵∴即故17．（1）見分析；（2）4【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）由可得，根據(jù)平分得，根據(jù)，，得，即可得是等邊三角形；（2）可得，則，由（1）知是等邊三角形，得，由此可得的長(zhǎng)．解：（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵，∴，∴，由（1）知是等邊三角形，，∴，∴，∴，，，．18．（1）是直角三角形，理由見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)在中，是高得到，再利用等角的余角相等得到即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，再利用等角的余角相等即可解答．（1）解：是直角三角形．理由如下：∵在中，是高，∴，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形．（2）證明：∵是的角平分線，∴，∵是高，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了等角的余角相等，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，直角三角形的判定，掌握等角的余角相等是解題的關(guān)鍵．19．（1）見分析；（2）．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．（1）利用可證得，從而證得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合勾股定理的逆定理可證得為直角三角形，從而可求得答案．解：（1）證明：∵、都是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，而，∵，，∴，∴為直角三角形，且，∴．20．（1），證明見分析；（2）；（3））5或或【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出結(jié)論；（2）根據(jù)得到，根據(jù)勾股定理求出，即可進(jìn)求出的周長(zhǎng)；（3）分點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、當(dāng)為直角頂點(diǎn)三種情況分類討論，畫出圖形，添加輔助線，由等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理可得出答案．（1）解：．證明：∵，，，∵，，，，在和中，，，，∵，，，即，；（2）解：∵，，在中，，的周長(zhǎng)為．故答案為：；（3）解：的長(zhǎng)為5或或．如圖1，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∵，，，，，，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得，，，，；如圖2，當(dāng)為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，同理可得出，，，，，，，．綜上所述，的長(zhǎng)為5或或．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，第（3）步要注意分類討論．21．（1），理由見分析；（2），理由見分析；（3），理由見分析【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由（1）可知，，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．（3）同（1）可知，，得出，，則可得出結(jié)論．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）解：（1）．理由：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，平分，，又，，，，，，，，，，，；（2），理由：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由（1）可知，，，，；（3）如圖，．理由：同（1）可知，，，，．22．直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．解：因?yàn)椋赃呴L(zhǎng)為6，8，10的三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．23．【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，利用證明得到，則．解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．24．3000【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出這塊空地是直角邊為和的直角三角形，求出這塊空地的面積，然后再計(jì)算需要的費(fèi)用即可．解：∵，∴這塊空地是直角邊為和的直角三角形，∴這塊空地的面積為，∴綠化這塊空地需要的費(fèi)用為元，故答案為：3000．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形．25．/45度【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可．解：連接，

∵，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得出是等腰直角三角形．26．/30度【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，延長(zhǎng)交地面于E，由余角的性質(zhì)可得答案．解：∵是等腰直角三角形，為斜邊，∴，∵，延長(zhǎng)交地面于E，則與地面垂直，∴，∵地面，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查的是等腰直角三角形，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．27．/15度【分析】設(shè)較小的銳角是x度，則另一角是度．再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)角互余列方程求解即可．解：設(shè)較小的銳角是x度，則另一角是度．則，解得：．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，掌握直角三角形的兩銳角互余是解答本題的關(guān)鍵．28．或【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的判定方法可知，分兩種情況：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與重合時(shí)，，分別進(jìn)行求解即可，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．解：，根據(jù)三角形全等的判定方法可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與重合時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，或時(shí)，和全等，故答案為：或．29．或【分析】設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，從而可以求出t的值.解：設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)題意得，即.所以3t=12或3t=12．∴t=9或t=15.故答案為或.【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離為AB＝．30．45【分析】連接，根據(jù)網(wǎng)格判定為等腰直角三角形，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)即可求出結(jié)果．解：連接，如圖所示：∵，，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴．故答案為：45．【點(diǎn)撥】本題主要考查了網(wǎng)格與勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明為等腰直角三角形．31．90°/90度【分析】由∠C=90°可知為直角三角形，通過勾股定理求得BD；再通過計(jì)算得，證明為直角三角形，從而得到答案．解：∵∠C=90°∴為直角三角形∵BC=3，CD=4∴∵AB=12，AD=13∴∴為直角三角形，故答案為：90°．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形勾股定理和勾股定理的逆定理，求解的關(guān)鍵是熟練掌握三角形勾股定理和勾股定理的逆定理的性質(zhì)．32．或或2【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，根