專題139三角形中的邊角關(guān)系命題與證明章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（原卷版）

專題13.9三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用三角形的中線求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】 2【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】 3【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】 4【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】 6【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】 8【題型7坐標(biāo)系中的角度探究問題】 10【題型8有關(guān)三角形角度的多結(jié)論問題】 12【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG

A．60 B．56 C．70 D．48【變式11】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為【變式12】（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形BEFD

【變式13】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD①若AD是△ABC的中線，求證：S②若BD=3DC，則S【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△②若S四邊形ABCD=3，則【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點(diǎn)M在OB上，且OM=6，點(diǎn)M到射線OA的距離為a，點(diǎn)P在射線OA上，MP=x．若△

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6【變式21】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大值是【變式22】（2023秋·安徽·八年級(jí)期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【變式23】（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）設(shè)a,b,c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】【例3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：（1）OA+（2）AB+（3）若A，B，C為三個(gè)城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km【變式31】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【變式32】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D(1)試探究AB+BC+(2)試探究AB+AC與(3)如圖2，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，試探究AB+AC【變式33】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+【題型4與角平分線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)太倉市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分(1)若∠A=60°，則∠BDC(2)若∠A=α，直線MN①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問旋轉(zhuǎn)過程中∠NDC③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線MN，與線段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含【變式41】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谥校?）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠【變式42】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D(3)如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的【變式43】（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)①若∠BAO=60°，則∠D②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC【題型5與平行線有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點(diǎn)F，則（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，M，D三點(diǎn)不重合），記∠PAB=α，∠PCD=【變式51】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P在直線AB上，作∠BPM=50°，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)F是直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PF，PE⊥CD于點(diǎn)

(1)若點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)且∠PFM=32°，求(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段EM（不與點(diǎn)M，E重合）上時(shí)，設(shè)∠PFM=α°，直接寫出(3)將射線PF從（1）中的位置開始以每秒10°的速度繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△FPM【變式52】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α（2）過點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請(qǐng)直接寫出∠FEQ【變式53】（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？计谥校┮阎狹N∥PQ，點(diǎn)D是直線(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點(diǎn)A固定在直線MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點(diǎn)(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時(shí)停止，三角板按圖1擺放不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時(shí)，求t的值；(3)若將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，將三角板ABC也從圖1的位置開始以每秒4度的速度繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點(diǎn)①如圖2，當(dāng)DF∥BC時(shí)，∠②如圖3，當(dāng)DF∥BA時(shí)，∠【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一張正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一定點(diǎn)，在邊AD上取點(diǎn)F，沿著EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，在邊BC上取一點(diǎn)G，沿EG折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線A′E上時(shí)，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說明理由．(2)當(dāng)∠A′EB′=13∠B′EB時(shí)，設(shè)∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時(shí)∠FEG的度數(shù)；若不可能，請(qǐng)說明理由．【變式61】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點(diǎn)A和點(diǎn)A'重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=（3）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD②如果∠IBD=58°17【變式62】（2023秋·江西南昌·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC'=58°，則∠C=______，可以發(fā)現(xiàn)(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC'=42°(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC'的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y【變式63】（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落A'的位置，折痕為DE(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A'的位置且A'與點(diǎn)C在直線①如圖1，若∠C=90°，∠A②如圖2，請(qǐng)寫出∠1、∠2和∠A如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點(diǎn)E是AB邊上的固定點(diǎn)（AE<12AB），請(qǐng)?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點(diǎn)A落在A【題型7坐標(biāo)系中的角度探究問題】【例7】（2019春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中A(a,0)，C(0,c)且滿足（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖1，若點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)（不超過點(diǎn)O），點(diǎn)N從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向下運(yùn)動(dòng)（不超過點(diǎn)C），設(shè)M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在它們運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形MBNO的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍．（3）如圖2，E為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且∠CBE=∠CEB，F(xiàn)是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，∠ECF的平分線CD交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊稀咀兪?1】（2023春·重慶彭水·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是a,0，B的坐標(biāo)是0，b，其中a、b滿足a-12+b-3=0，將點(diǎn)B向左平移m

(1)求點(diǎn)A、(2)如圖1，若S△ABC>(3)如圖2，若m>1，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E（不與點(diǎn)A重合），射線CF交直線AB于點(diǎn)G，交射線BE于點(diǎn)M，求∠【變式72】（2023春·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B、C為平面內(nèi)兩點(diǎn)，AC⊥

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在直線MN上，點(diǎn)C在直線MN上方時(shí)，延長(zhǎng)CB交直線PQ于點(diǎn)D，則∠CAB和∠CDP之間的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線MN上且在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)B在直線MN與PQ之間時(shí)，過點(diǎn)B作BD⊥AB交直線PQ于點(diǎn)D．為探究∠ABC與∠BDP之間的數(shù)量關(guān)系，小明過點(diǎn)B作BF∥(3)如圖3，在（2）的條件下，作∠ABD的平分線交直線MN于點(diǎn)E，當(dāng)∠AEB=2∠(4)如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在直線MN上且在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)B在直線PQ下方時(shí)，過點(diǎn)B作BD⊥AB交直線PQ于點(diǎn)D．作∠ABD的平分線交直線MN于點(diǎn)E，當(dāng)∠【變式73】（2023春·四川自貢·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，平面直角坐標(biāo)系中，已知Aa,0，Bb,3，C2,0

(1)填空：a=______，b=(2)如圖1，在x軸上是否存在點(diǎn)P（P點(diǎn)不與點(diǎn)A、O、C重合），使得△ABP的面積與△ABC的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)(3)如圖2，點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn)，ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，AM交【題型8有關(guān)三角形角度的多結(jié)論問題】【例8】（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ΔABC，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結(jié)論：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C

A．1 B．2 C．3 D．4【變式81】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，與∠

①∠BOC=90°+12∠A；②∠DA．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④【變式82】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，