專題08整式方程（3大考點5種題型）

專題08整式方程（3大考點+5種題型）思維導(dǎo)圖核心考點與題型分類聚焦考點一：含有字母的一元一次方程考點二：含有字母系數(shù)的一元二次方程考點三：特殊的高次方程題型一：含有字母的一元一次方程題型二：含有字母系數(shù)的一元二次方程題型三：二項方程題型四：雙二次方程題型五：特殊高次方程的解法考點一：含有字母的一元一次方程1、一元整式方程的概念方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．解一元一次方程的方法方程中未知數(shù)系數(shù)都是數(shù)字，將未知數(shù)字母系數(shù)化成1；方程中含有字母參數(shù)時，確定未知數(shù)最高次數(shù)是否為零，從而進(jìn)行分類討論，方法如下：一元一次方程當(dāng)時，方程有唯一解；當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，方程有無數(shù)解．考點二：含有字母系數(shù)的一元二次方程含有字母系數(shù)的一元二次方程的解法方程中未知數(shù)系數(shù)都是數(shù)字，用開平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程；方程中含有字母參數(shù)時，確定未知數(shù)最高次數(shù)是否為零，從而進(jìn)行分類討論．考點三：特殊的高次方程1、二項方程的概念 二項方程：一邊只含有未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是0的一元次方程；2、二項方程的解法關(guān)于的一元次二項方程的一般形式：，是正整數(shù))該方程的根的情況是：為奇數(shù)時，方程有且只有一個實數(shù)根；為偶數(shù)時，若，方程有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為相反數(shù)；若，那么方程沒有實數(shù)根．3、雙二次方程的概念雙二次方程：只含有偶數(shù)次項的一元四次方程．4、雙二次方程的解法換元法解關(guān)于x的雙二次方程： 步驟：①換元，用新未知數(shù)代替方程中的，同時用代替，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程：；解一元二次方程：；回代．5、特殊高次方程的解法 對于某些特殊的高次方程，先將方程化為一般式，可嘗試將方程左邊分解因式，轉(zhuǎn)化為一元一次方程或者一元二次方程來解．題型一：含有字母的一元一次方程【例1】．（2022下·八年級單元測試）如果關(guān)于的方程無解，那么滿足（

）.A． B． C． D．任意實數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)ax=b中當(dāng)a=0,b≠0方程無解可知當(dāng)m1=0時關(guān)于的方程無解．【詳解】解：由題意得當(dāng)m1=0時關(guān)于的方程無解解得m=1，故選B．【點睛】本題考查了解一元一次方程無解的情況，根據(jù)題意得出關(guān)于m1=0是解題關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程的解是．【答案】【分析】由，在方程兩邊都除以即可得到方程的解.【詳解】解：∵，∴，故答案為：【點睛】本題考查的是含參數(shù)的一元一次方程的解法，掌握解參數(shù)方程的方法是解題的關(guān)鍵.【變式2】．（2022下·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）解關(guān)于x的方程：【答案】【分析】方程兩邊都除以b，再移項即可得出答案．【詳解】解：去括號，得bx3b=4，移項，得bx=3b+4，由題意知b≠0，∴方程兩邊同除以b得，，方程的解為．【點睛】本題考查了解一元一次方程，把b看作已知數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（上海松江·八年級校聯(lián)考期中）解關(guān)于x的方程：【答案】當(dāng)時，方程的根是；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根.【分析】先解方程得到x用a表示出來，再分a=1，a≠1兩種情況討論即可.【詳解】解：，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，方程無實數(shù)解∴當(dāng)時，方程的根是；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根.【點睛】本題主要考查解方程，解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論.【變式4】關(guān)于的方程，分別求為何值時，原方程： （1）有唯一解；（2）有無數(shù)多解；（3）無解．【答案】（1），n為任意數(shù)；（2）且；（3）且．【解析】方程整理成一般形式即為，由此進(jìn)行分類討論：當(dāng)，即時，方程有唯一解；當(dāng)且，即且時，方程有無數(shù)解；當(dāng)且，即且時，方程無解．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意分類討論．【變式5】已知無論k取何值，x=2總是關(guān)于x的方程的解，求a、b的值．【答案】，【解析】總是方程的解，即滿足方程，代入可得，化作關(guān)于的方程可整理得，無論取何值，式子都成立，可視作這個關(guān)于的方程有無數(shù)解，由此可得且，得，．【總結(jié)】考查恒成立問題，可視作相應(yīng)方程有無數(shù)解．【變式6】關(guān)于的方程：． 【解析】整理方程得，由題意可得，由此進(jìn)行分類討論：當(dāng)時，必有，即時，方程無解；當(dāng)，即且時，方程解為．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元一次方程，注意分類討論．【變式7】當(dāng)a，b滿足什么條件時，關(guān)于x、y的方程組，有唯一解?無數(shù)解?【答案】當(dāng)時方程組有唯一解，且時方程組有無數(shù)解．【解析】=1\*GB3①=2\*GB3②，得，由此進(jìn)行分類討論：當(dāng)，即時，有唯一解，則方程組有唯一解；當(dāng)且，即且時，有無數(shù)解，即方程組有無數(shù)解．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的二元一次方程組，化作一元一次方程進(jìn)行分類討論．題型二：含有字母系數(shù)的一元二次方程【例2】已知（是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（）． A． B． C．且 D．一切實數(shù)【答案】C 【解析】方程是一元二次方程，則必有，得且，故選C．【總結(jié)】考查一元二次方程的定義，二次項系數(shù)不能為0．【變式1】若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】且．【解析】方程有兩個實數(shù)根，方程為一元二次方程，則有二次項系數(shù)，且有方程根的判別式，即得且．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式，注意二次項系數(shù)不能為0的前提條件．【變式2】已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值并解這個方程．【答案】，方程解為．【解析】方程有兩個相等的實數(shù)根，方程為一元二次方程，則有二次項系數(shù)，且有方程根的判別式，即得，此時方程即為，整理得：，解得：．【總結(jié)】考查一元二次方程根的判別式的運用，注意二次項系數(shù)不能為0的前提條件．【變式3】若關(guān)于的方程有實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】．【解析】當(dāng)，即時，方程為一元一次方程，必有實數(shù)根；當(dāng)，即時，方程為一元二次方程，方程有實數(shù)根，則有，即，得且；綜上所述，的取值范圍為．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的方程與一元二次方程根的判別式的結(jié)合應(yīng)用，由于本題中并未說明是什么方程，因此要對二次項系數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式4】求為什么實數(shù)時，方程①有實數(shù)根；②沒有實數(shù)根．【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②．【解析】=1\*GB3①當(dāng)，即時，方程為一元一次方程，必有實數(shù)根；當(dāng)，即時，方程為一元二次方程，方程有實數(shù)根，則有，得且；綜上，的取值范圍為；=2\*GB3②方程沒有實數(shù)根，則有，得．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的方程與一元二次方程根的判別式的結(jié)合應(yīng)用，由于本題中并未說明是什么方程，因此要對二次項系數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式5】解關(guān)于的方程： （1）； （2）； （3）．【解析】（1）時，方程無解；時，得，得：，；直接開平方法得，解得：，；當(dāng)，即時，必有，方程有無數(shù)解；當(dāng)，即時，方程有唯一解．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元二次方程根的求解，注意分類討論．【變式6】解關(guān)于的方程：（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）當(dāng)，即時，原方程即為，解得：；當(dāng)，即時，方程為一元二次方程，分解因式得，解得：，；配方法得，即，由，得，則有，解得：，；整理方程得，由此可得，即時，方程無解；當(dāng)，即時，則有，解得：，．【總結(jié)】考查含有字母系數(shù)的一元二次方程形式的方程與方程根的判別式的結(jié)合應(yīng)用，注意對二次項系數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式7】用適當(dāng)?shù)姆椒ń怅P(guān)于的方程：．【答案】， ．【解析】對該方程用分解因式可得，則有或，由且，由此即可解得方程的根為：，．【總結(jié)】考查用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，本題注意觀察各項系數(shù)之間的關(guān)系，即可得分解因式進(jìn)行求解．題型三：二項方程【例3】．（2022下·上?！ぐ四昙壭？计谥校┫铝蟹匠讨校椃匠淌牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如果一元n（n是正整數(shù)）次方程的一邊只含有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是0，這樣的方程就叫做二項方程，根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：A．有三項，不符合二項方程定義，故選項不合題意；B．不是二項方程，故選項不符合題意；C．可變?yōu)?，符合二項方程定義．故選項符合題意；D．是分式方程，故選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查二項方程的定義，掌握二項方程的定義是求解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022下·上海普陀·八年級?？计谥校┰谙铝嘘P(guān)于的方程中，不是二項方程的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二項方程的定義逐個判斷得結(jié)論．【詳解】解：把各方程移項，使等號右邊為，滿足二項方程的是A、B、C，由于方程D移項后左邊是三項，故選項D不是二項方程．故選：D．【點睛】本題考查了二項方程的定義，二項方程的左邊只有兩項，其中一項含未知數(shù)，這項的次數(shù)就是方程的次數(shù)；另一項是常數(shù)項；方程的右邊是．【變式2】．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）關(guān)于方程，下列說法正確的是（

）A．它是二項方程 B．它的解是 C．它是高次方程 D．都是它的解【答案】C【分析】由于方程，所以方程的未知數(shù)是一個，次數(shù)是3次，由此即可確定選擇項．【詳解】解：A、二項方程應(yīng)該是為正整數(shù)，故本選項不符合題意；B、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本選項不符合題意；C、它是高次方程，故本選項符合題意；D、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了高次方程的定義，二項方程的定義，解高次方程，解題的關(guān)鍵是抓住高次方程是整式方程，同時要抓住未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)才能正確解決問題．【變式3】．（2023下·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)校考階段練習(xí)）方程組的實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】把代入原方程，再化簡成，解方程即可求解．【詳解】解：或或或或故選C【點睛】本題考查了因式分解解方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和解方程．【變式4】．（2023下·上海閔行·八年級統(tǒng)考期末）方程的解是．（保留三位小數(shù)）．【答案】【分析】先求出，再利用計算器求出即可．【詳解】解：，，，故答案為：．【點睛】本題考查了解高次方程和近似數(shù)和有效數(shù)字，能求出是解此題的關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才中學(xué)北校校考階段練習(xí)）請你設(shè)計一個關(guān)于的二項方程，使其同時滿足以下條件：①該方程為6次方程；②最高次項的系數(shù)為5；③在實數(shù)范圍內(nèi)有解，則這個方程可以是．（只需寫出一個）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，寫出方程，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：這個方程可以是．故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了二項方程，根據(jù)題意，寫出方程是解題的關(guān)鍵．【變式6】解關(guān)于的方程： （1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4）．【解析】（1）開平方得，即可解得：，；（2）開平方得，則有，即可解得：，；（3）開平方得，則有，即可解得，；（4），即可得，解得．【總結(jié)】考查形如二項方程形式的高次方程的求解．題型四：雙二次方程【例4】下列方程中，①；②；③；，是雙二次方程的是____________．【答案】=1\*GB3① 【解析】根據(jù)定義，只含有偶次項的一元四次方程是雙二次方程，可知=1\*GB3①是雙二次方程，②中沒有常數(shù)項，不是；=3\*GB3③是含有奇次項的二次方程，不是；=4\*GB3④是二次方程，不是．【總結(jié)】考查雙二次方程的判斷，根據(jù)定義把握相關(guān)要點．【變式1】解關(guān)于的方程： （1）； （2）．【答案】（1），；（2），，．【解析】（1）令，原方程即為，因式分解法解得，，由，即得，解得：，；（2）令，原方程即為，因式分解法解得：，，則有或，解得：，，．【總結(jié)】考查解高次方程中“換元”思想的應(yīng)用．【變式2】解下列關(guān)于x的方程： （1）； （2）．【答案】（1），，，； （2），．【解析】（1）令，原方程即為，因式分解法解得，，即得或，解得：，，，；（2）令，原方程即為，因式分解法解得，，由，則有，解得：，．【總結(jié)】考查解高次方程中“換元”思想的應(yīng)用．【變式3】已知實數(shù)滿足，求代數(shù)式的值．【答案】6． 【解析】令，原方程即為，因式分解法解得，，但若，此時方程無實數(shù)根，應(yīng)舍去，即得．【總結(jié)】考查解高次方程中“換元”思想的應(yīng)用，注意相應(yīng)的取值范圍．題型五：特殊高次方程的解法【例5】解關(guān)于的方程： （1）； （2）．【答案】（1），，；（2），，．【解析】（1）移項分解因式得，解得：，，；（2）多項式展開即為，分解因式得，解得：，，．【總結(jié)】考查用因式分解法解簡單的高次方程．【變式1】解關(guān)于的方程．【解析】移項整理得：，由此分類討論：=1\*GB3①當(dāng)且，即且時，方程有無數(shù)解；=2\*GB3②當(dāng)且，即且時，方程無解；=3\*GB3③當(dāng)時，則有，則當(dāng)為奇數(shù)時，方程解為；=4\*GB3④當(dāng)為偶數(shù)且時，方程解為，；=5\*GB3⑤當(dāng)為偶數(shù)且時，方程無解．【總結(jié)】考查一般形式的高次方程的根，注意分類討論思想的應(yīng)用．【變式2】解方程：．【答案】，．【解析】第一個與第四個相乘，第二個與第三個相乘，則有，整理得，即為，得，解得:，．【總結(jié)】考查解較復(fù)雜高次方程中整體思想的應(yīng)用，通過整式乘法構(gòu)造相同的項，再利用換元法通過降次進(jìn)行求解．一．選擇題（共6小題）1．（2022秋?黃埔區(qū)校級期中）若、是有理數(shù)，關(guān)于的方程有至少兩個不同的解，則另一個關(guān)于的方程的解的情況是A．有至少兩個不同的解 B．有無限多個解 C．只有一個解 D．無解【分析】首先解方程，可得：，再根據(jù)方程有兩個解的條件可得到，的值，然后代入方程中即可知道其解的情況．【解答】解：解方程可得：有至少兩個不同的解，，即，，把，代入中得：，方程無解．故選：．【點評】此題主要考查了解含字母系數(shù)的一元一次方程，關(guān)鍵是根據(jù)解的情況判斷字母系數(shù)的值．2．（2022春?普陀區(qū)校級期中）在下列關(guān)于的方程中，不是二項方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二項方程的定義逐個判斷得結(jié)論．【解答】解：把各方程移項，使等號右邊為0，滿足二項方程的是、、，由于方程移項后左邊是三項，故選項不是二項方程．故選：．【點評】本題考查了二項方程的定義，二項方程的左邊只有兩項，其中一項含未知數(shù)，這項的次數(shù)就是方程的次數(shù)；另一項是常數(shù)項；方程的右邊是0．3．（2022春?青浦區(qū)校級期中）在實數(shù)范圍內(nèi)，方程的實數(shù)根的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先移項得出，再根據(jù)四次方根的定義求出方程的解即可．【解答】解：，，，即方程的實數(shù)根的個數(shù)是2，故選：．【點評】本題考查了解高次方程，能求出是解此題的關(guān)鍵．4．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列方程中，是二項方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二項方程的定義判斷即可．【解答】解：方程的右邊不是零，該方程不是二項方程．不合題意．的左邊沒有非零常數(shù)項，該方程不是二項方程．不合題意．方程的左邊沒有非零的常數(shù)項，該方程不是二項方程，不合題意．方程的右邊為零，左邊含有非零常數(shù)項，是二項方程．符合題意．故選：．【點評】本題考查二項方程的定義，掌握二項方程的特征是求解本題的關(guān)鍵．5．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）對于二項方程，當(dāng)為偶數(shù)時，已知方程有兩個實數(shù)根，那么一定A． B． C． D．【分析】根據(jù)偶數(shù)次方的非負(fù)性求解．【解答】解：，，為偶數(shù)時，已知方程有兩個實數(shù)根，，．故選．【點評】本題考查高次方程的解，注意偶數(shù)次方的非負(fù)性是求解本題的關(guān)鍵．6．（2022秋?道里區(qū)期末）下列選項中，是方程的解是A． B． C． D．【分析】根據(jù)方程的解，將各選項依次代入計算即可判斷．【解答】解：、將代入，得：左邊，故不是方程的解，不合題意；、將代入，得：左邊，故不是方程的解，不合題意；、將代入，得：左邊，故不是方程的解，不合題意；、將代入，得：左邊，故是方程的解，符合題意；故選：．【點評】本題考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程的解意義，代入驗根．二．填空題（共9小題）7．（2022春?閔行區(qū)校級期中）關(guān)于的方程：是二項方程，0．【分析】根據(jù)二項方程的定義求．【解答】解：二項方程的左邊只有兩項，其中一項含未知數(shù)，另一項是常數(shù)項，方程的右邊是0．．故答案為：0．【點評】本題考查了二項方程，掌握二項方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）方程的根是．【分析】把方程變形為形為，利用立方根求解即可．【解答】解：（法方程可變形為，因為，所以方程的解為．故答案為：（法方程可變形為，所以．故答案為：【點評】本題考查了立方根的意義，解決本題可利用立方的辦法．9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）方程的根是或．【分析】運用直接開方法進(jìn)行解答便可．【解答】解：，，，或，故答案為：或．【點評】本題主要考查了高次方程的解法，掌握直接開方法是解題的關(guān)鍵．10．如果是方程的一個解，那么．【分析】依據(jù)方程的解概念，將方程的解代入方程進(jìn)行計算，即可得到的值．【解答】解：把方程的解代入方程，可得，，解得，故答案為：．【點評】本題考查了二元一次方程的解，方程的解就是滿足方程的未知數(shù)的值，把解代入方程即可．11．（2022春?靜安區(qū)校級期中）方程的根是，．．【分析】利用直接開方法解方程．【解答】解：，，，，．故答案為：，．【點評】本題考查了高次方程的解，類似于解一元二次方程的直接開平方法．12．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）方程的解為，．【分析】先方程兩邊都除以2，再根據(jù)四次方根的定義求出方程的解即可．【解答】解：，，，即方程的解為，，故答案為：，．【點評】本題考查了解高次方程，能根據(jù)四次方根的定義得出是解此題的關(guān)鍵．13．（2022春?閔行區(qū)校級期末）方程的根是．【分析】方程的左邊因式分解可得，由此即可解決問題．【解答】解：，，，方程的根是，故答案為．【點評】本題考查高次方程的解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會應(yīng)用因式分解法解方程，把高次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，屬于中考常考題型．14．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）方程的根是，，．【分析】先把方程的左邊分解因式，即可得出三個一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：，，，或或，解得：，，，故答案為：，，．【點評】本題考查了解高次方程，能把高次方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程或一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．15．（2023秋?湖北期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用這種思想解高次方程，它的解是0或或2．【分析】利用因式分解求解即可．【解答】解：，，，或或，，，．故答案為：0或或2．【點評】本題主要考查了解高次方程，熟練掌握整式的因式分解是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．求下列字母、的值：已知關(guān)于的方程有無限多個解．【分析】方程去括號，移項合并整理后，根據(jù)解有無限多個解確定出與的值即可．【解答】解：方程去括號得：，移項合并得：，由方程有無限多個解，得到，解得：．【點評】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)