專題71銳角三角函數(shù)（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（蘇科版）

專題7.1銳角三角函數(shù)（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】銳角三角函數(shù)正弦：sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).【知識點二】特殊三角函數(shù)度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°1【知識點三】解直角三角形的常用關系(1)三邊之間的關系：；(2)銳角之間的關系：；(3)邊角之間的關系：，，.【知識點四】解直角三角形的應用(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有.(3)方向角：平面上，通過觀察點作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角.(4)解直角三角形實際應用的一般步驟：a.弄清題中名詞、術語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學模型；b.將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；c.選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；d.得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．【考點目錄】【考點1】銳角三角函數(shù)；【考點2】特殊角三角函數(shù)值的計算；【考點3】解直角三角形；【考點4】銳角三角函數(shù)與相關知識綜合【考點5】三角函數(shù)與實際問題【考點一】銳角三角函數(shù)【例1】（2022上·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，于，．（1）求證：．（2）若，，求的面積．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念可知，，根據(jù)即可得結論；（2）由的余弦值和（1）的結論即可求得，利用勾股定理求得，即可求解．解：（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，的面積=．【點撥】本題考查了直角三角形中的有關問題，主要考查了勾股定理，三角函數(shù)的有關計算，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題關鍵．【舉一反三】【變式1】（2021上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）在中，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意即可得出，設，則，利用勾股定理可求出的長，最后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)求值即可．解：如圖，根據(jù)題意可知，故可設，則，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查銳角三角形函數(shù)和勾股定理．掌握正弦和正切的定義是解題關鍵．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長度的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如圖，作于，的延長線于，由題意知，，，由，，證明，則，則，進而結論得證；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，計算求解即可．（1）解：如圖，作于，的延長線于，

由題意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案為：；（3）解：由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，余弦，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．【考點二】特殊角三角函數(shù)值的計算【例2】（2023上·上?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考階段練習）計算【答案】【分析】根據(jù)0指數(shù)冪，二次根式的性質，負指數(shù)冪及特殊角三角函數(shù)直接求解即可得到答案；解：原式；【點撥】本題主要考查0指數(shù)冪，負指數(shù)冪及特殊角三角函數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握：，，．【舉一反三】【變式1】（2022上·河北石家莊·九年級校聯(lián)考期中）已知則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可.解：∵，∴，故選：A.【點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，比較簡單，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.【變式2】（2020·河南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）計算：．【答案】【分析】利用冪的乘方與積的乘方法則、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪分別計算各項，再作加減法即可.解：原式====故答案為：.【點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是掌握冪的乘方與積的乘方法則.【考點三】解直角三角形【例3】（2023上·江蘇泰州·九年級?？计谥校┤鐖D，是的中線，

求：（1）的長；（2）的正弦值．【答案】（1）6；（2）【分析】本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問題；（2）在中，求出，即可解決問題．（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知在平面直角坐標系中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，，以為邊向上作正方形，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的頂點C，則正方形的邊長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點C作軸于點E，證明，可得，，再根據(jù)，可得，設，，，可得，把點的坐標代入反比例函數(shù)解析式求得，再利用勾股定理進行計算即可．解：過點C作軸于點E，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即，設，則，∴，，，∴點C的坐標為：，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，∴，即（負值舍去），∴，，∴，故選：C．【點撥】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的特征、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關知識，構造全等三角形是解題的關鍵．【變式2】（2019上·山西太原·九年級太原市志達中學校?？茧A段練習）如圖，在矩形中，點是的中點，點為射線上的一個動點，沿著折疊得到，連接，分別交和于點和，已知，，若與相似，則的長是．

【答案】1或3【分析】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質及銳角三角函數(shù)，分兩種情況：當時，；當時，，分別進行計算即可，熟練掌握矩形的性質、相似三角形的判定與性質，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．解：當時，，

四邊形是矩形，，，，，，，；當時，，

；綜上所述，的長是1或3，故答案為：1或3．【考點四】銳角三角函數(shù)與相關知識綜合【例4】（2023上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，垂足為點，，.（1）求的值；（2）點在上，且，過作，垂足為點，求的長.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得出，再由勾股定理確定，利用正弦函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)題意及相似三角形的判定得出，再由其性質得出，繼續(xù)利用勾股定理求解即可（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴．（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點撥】題目主要考查等腰三角形的性質，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質，正弦函數(shù)的定義等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，等腰內(nèi)接于圓，底邊是直徑，為的中點，點在上，且，與相交于點，則的正切值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作于，交于，設，則，，利用圓周角定理得到，則根據(jù)勾股定理計算出，，再證明，利用相似比計算出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，利用可計算出，利用，，所以，接著利用勾股定理計算出，然后利用正切的定義得到的值．解：作于，交于，如圖，設，則，，為的中點，，為直徑，，在中，，在中，，，，，即，解得，，，，，，，，．故選：B．【點撥】本題考查了三角形外接圓與外心：找一個三角形的外心，就是找一個三角形的兩條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．也考查了相似三角形的判定與性質．【變式2】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D，菱形的一邊在x軸的負半軸上，O是坐標原點，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，與交于點D，若的面積為30，則k的值等于．

【答案】【分析】本題主要考查菱形的性質和解直角三角形，由題意得，，進一步有，由得，，結合菱形面積求得x，可得點F的坐標，代入反比例函數(shù)即可求得答案．解：如圖，過點D作過點C作，，設，

∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，，∴點C坐標為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，∴代入點C得：，故答案為：．【考點五】三角函數(shù)與實際問題【例5】（2023上·上?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考階段練習）八年級二班學生到某勞動教育實踐基地開展實踐活動，當天，他們先從基地門口A處向正北方向走了450米，到達菜園B處鋤草，再從B處沿正西方向到達果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達手工坊D處進行手工制作，最后從D處回到門口A處，手工坊在基地門口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜園與果園之間的距離為630米【分析】過點作，交于點，則，四邊形是矩形，在中，求得，CF=240，進而求得AE=210，在中，利用正切進行求解即可．解：如圖，過點作，交于點，則，∵∠B=90°，四邊形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=ABBE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜園與果園之間的距離630米．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】（2019上·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D所示，某人站在樓頂觀測對面的筆直的旗桿AB．已知觀測點C到旗桿的距離（CE的長度）為8m，測得旗桿的仰角∠ECA為30°，旗桿底部的俯角∠ECB為45°，那么，旗桿AB的高度是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，根據(jù)AB=AE+BE進行求解即可.解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，在△AEC中，有AE=EC×tan30°=，∴AB=BE+AE=（8+）（米），故選D.【點撥】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，借助其關系構造直角三角形并解直角三角形是解題的關鍵．【變式2】（