2023版新高考新教材高考總復(fù)習(xí) 第11章 計數(shù)原理 真題及答案

第十一章計數(shù)原理

11.1排列、組合

三年模擬

一、選擇題

1.（2022西安二模,5）現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理各1本書，把這4本書分別放入3個不

同的抽屜里，要求每個抽屜至少放一本書且語文和數(shù)學(xué)不在同一個抽屜里，則放法種數(shù)為

（）

A.18B.24C.30D.36

答案C①將4本書分為3組.語文和數(shù)學(xué)不在同一個組.有C-l=5種分組方法,②將分

好的3組放到3個抽屜里.有用=6種安排方法，則有5x6=30種放法，故選C.

2.（2022湘豫名校聯(lián)考,6）由數(shù)字123組成六位數(shù)（數(shù)字可以不完全使用），若每個數(shù)字最多

出現(xiàn)三次，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（）

A.420B.450C.510D.520

答案C所求的六位數(shù)分三類，第一類:一個數(shù)字出現(xiàn)0次,另外兩個數(shù)字各出現(xiàn)3次，有

QC=60個;第二類:一個數(shù)字出現(xiàn)1次,一個數(shù)字出現(xiàn)2次,一個數(shù)字出現(xiàn)3次，有

6=360個;第三類:每個數(shù)字出現(xiàn)2次，有C峭=90個.所以共有60+360+90=510

個滿足題意的六位數(shù).故選C.

3.（2022河南調(diào)研,6）為推動就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動、人才供需有效對接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更

加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實施供需對接就業(yè)育人項目，現(xiàn)安排甲、乙兩所高

校與三家用人單位開展項目對接.若每所高校至少對接兩家用人單位，則不同的對接方案

共有（）

A.15種B.16種C.17種D.I8種

答案B每所高校至少對接兩家用人單位有4種情況:甲對接2家,乙對接2家;甲對接2

家,乙對接3家;甲對接3家,乙對接2家:甲對接3家,乙對接3家.共有

種情況.故選B.

4.（2022陜西榆林二模,11）為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播途徑，構(gòu)筑好免疫屏障，從2022年

1月13日開始，某市啟動新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民、要求盡

快接種，該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫

苗接種工作,每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者則不同的安排方法共有（）

A.2940種B.3000種

C.3600種D.5880種

答案A根據(jù)題意，這8名志愿者人數(shù)分配方案共有兩類:第一類，人數(shù)分別為2,24第二

類，人數(shù)分別為3,3,2.故不同的安排方法共有',飛2940種.

5.（2022河南調(diào)研,6）為推動就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動、人才供需有效對接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更

加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教育部今年首次實施供需對接就業(yè)育人項目，現(xiàn)安排甲、乙兩所高

校與三家用人單位開展項目對接,若每所高校至少對接兩家用人單位.則不同的對接方案

共有（）

A.15種B.16種C.17種D.I8種

答案B每所高校至少對接兩家用人單位有4種情況:甲對接2家,乙對接2家;甲對接2

家,乙對接3家;甲對接3家,乙對接2家;甲對接3家,乙對接3家.共有Q喙2UC+C已16

種情況.故選B.

6.（2022陜西榆林二模.11）為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播途徑，構(gòu)筑好免疫屏障.從2022年

1月13日開始，某市啟動新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針條件的市民,要求盡

快接種，該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院,現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫

苗接種工作,每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2940種B.3000種

C.3600種D.5880種

答案A根據(jù)題意，這8名志愿者人數(shù)分配方案共有兩類:第一類，人數(shù)分別為2,24第二

類，人數(shù)分別為3,3,2.故不同的安排方法共有I.\'》=2940種.

7.（多選）（2021江蘇啟東中學(xué)檢測,9）在100件產(chǎn)品中，有98件合格品,2件不合格品.從這

100件產(chǎn)品中任意抽出3件則下列結(jié)論正確的有（）

A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有QI種

B.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有G4種

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（CW+QQi）種

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（&?-￡）種

答案ACD若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品.即抽出的3件產(chǎn)品中有2件合

格品」件不合格品,則合格品的抽法有％也不合格品的抽法有G種,則恰好有1件是不

合格品的抽法有弓%K則A正確.B錯誤.

抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2種情況：

抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品J件不合格品，有G&種抽法;抽出的3件產(chǎn)品中有1件

合格品,2件不合格品，有抽法，則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有

（CWi+QQa）種,C正確：

使用間接法:在100件產(chǎn)品中任選3件，有We種抽法，其中全部為合格品的抽法有*種，

則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(UmU)種,D正確.故選ACD.

二、填空題

8.(2022天津七中線上測試,14)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則不同的選法共有_

種,2人所選課程至少有一門相同的概率為.

5

答案36，

解析由分步乘法計數(shù)原理得.不同的選法共有W%36種.

V2人所選課程至少有一門相同.有

6Q=30種隊,2人Sf選課程至少有一門相同的梃率為署=：

9.(2022天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(10),11)學(xué)校分配甲、乙、丙三人到7個不同的社區(qū)參加社會

實踐活動，每個社區(qū)最多分配2人，則有種不同的分配方案(用數(shù)字作答).

答案336

解析由題意分成兩類：

第一類，這7個社區(qū)中恰有3個社區(qū)各有一人參加社會實踐活動，相應(yīng)的分配方案有

C空=210種：

第二類，這7個社區(qū)中有1個社區(qū)有兩人參加社會實踐活動,另一個社區(qū)有一人參加社會

實踐活動，相應(yīng)的分配方案有UG?碌126種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理.分配方案共有210+126=336種.

一題多解根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，甲、乙、丙三人到7個不同的社區(qū)參加社會實踐活動

總分配方案共有73=343種，其中三人分配到同一社區(qū)的分配方案有7種，故滿足題意的分

配方案有343-7=336種.

10.（2022紅橋一模.14）從8名老師和6名學(xué)生中選出5名代表、要求老師和學(xué)生各至少一

名，則不同的選法共有和.

答案1940

C5C5

解析不加限制選這5名代表洪有14種選法，其中5名代表全是老師的選法有1種,5名

q

代表全是學(xué)生的選法有々種,???5名代表中老師和學(xué)生各至少有一名的不同的選法有

14-‘1940種.

解后反思正難則反，如果直接分類種數(shù)較多廁用補(bǔ)集的思想，用總的選法種數(shù)減去不合

要求的選法種數(shù).

11.（2022四川診斷性測試,16）電影院一排有八個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約一起

觀影,他們要求坐在同一排，則恰有兩個連續(xù)的空座位的情況有種.

答案720

解析先將4位同學(xué)全排列，有

種方法,4位同學(xué)形戌5個空潛兩個座好相障喟成一個整體，與其余兩佰座曲入空中而于其余兩個空，

磋

4

種放法，則總的坐法有A：.卷720種.

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第十一章計數(shù)原理

H.1排列、組合

五年高考

考點兩個計數(shù)原理、排列與組合

1.（2022新高考11,5,5分，應(yīng)用性）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，

若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

答案B

2.（2021全國乙理,6,5分，應(yīng)用性）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、

冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn).每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志

愿者則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

答案C

3.（2020新高考H,6,5分,應(yīng)用性）3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)

生只去1個村,每個村至少去1人，則不同的分配方案共有（）

A.4種B.5種C.6種D.8種

答案C

4.（2020新高考1,3,5分,應(yīng)用性）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者.每名同學(xué)只去

1個場館.甲場館安排I名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

答案C

5.（2020課標(biāo)II理,14,5分,應(yīng)用性）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只

去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

答案36

6.（2018課標(biāo)I理,15,5分，應(yīng)用性）從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽.且至少有1

位女生入選,則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）

答案16

7.（2018浙江,16,4分，應(yīng)用性）從1,3,579中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共

可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）

答案1260

8.（2017天津理,14,5分，應(yīng)用性）用數(shù)字1,2,3,4,5,678,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個

數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù).這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）

答案1080三年模擬

A組考點基礎(chǔ)題組

考點兩個計數(shù)原理、排列與組合

1.（2022福建4月百校聯(lián)合測評,5）共有5名同學(xué)參加演講比賽,在安排出場順序時，甲、乙

排在一起，且丙與甲、乙都不相鄰的概率為（）

、51065

答案A

2.（2022遼寧名校聯(lián)盟二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）,4）從3名高一學(xué)生,3名高二學(xué)生中選出3人，分

別負(fù)責(zé)三項不同的任務(wù).若這3人中至少有一名高二學(xué)生，則不同的選派方案共有（）

A.54種B.108種C.114種D.120種

答案C

3.（2022山東煙臺、德州一模,7）“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個人等在一定時間內(nèi)直接或間

接產(chǎn)生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式,以抵消自身產(chǎn)

生的二氧化碳排放量.實現(xiàn)二氧化碳"零排放'.某“碳中和”研究中心計劃派5名專家分別到

A,B,C三地指導(dǎo)“碳中和”工作.每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派

方法的種數(shù)為（）

A.90B.150C.180D.300

答案B

4.（2022廣東湛江、肇慶三模,6）為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀教師到甲、

乙、丙三地進(jìn)行為期一年的支教活動,每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選

派方案共有（）

A.18種B.12種C.72種D.36種

答案D

5.（2022河北衡水中學(xué)六調(diào),7）數(shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)

學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).特開設(shè)了“古

今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程,要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)

每學(xué)年至多選3門，大一至大三3學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修

方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

答案B

6.（2021上海楊浦一模［5）從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點,可得到四面體的個數(shù)

為（）

A.U-12B.C-8C.4-6D.C-4

答案A

B組綜合應(yīng)用題組

時間:25分鐘分值40分

一、單項選擇題（每小題5分.共30分）

1.（2022遼寧鞍山一中4月線上模擬,6）為有效阻斷新冠肺炎疫情傳播途徑.構(gòu)筑好免疫屏

障.從2022年1月13日開始，某市啟動新冠病毒疫苗加強(qiáng)針接種工作，凡符合接種第三針

條件的市民,要求盡快接種.該市有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3

個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作,每個醫(yī)院至少2名至多4名志愿者.則不同的安排方法共

有（）

A.2940種B.3000種C.3600種D.588。種

答案A

2.（2022遼寧名校聯(lián)盟3月聯(lián)考,3）已知甲、乙、丙、丁4名志愿者參加2022年冬奧會的

3個項目的培訓(xùn)，每名志愿者只能參加I個項目的培訓(xùn)，則甲、乙參加同1個項目培訓(xùn)的概

率為（）

I嗎"Dl

/>>

答案B

3.（2022福州一模.6）從集合｛1,2,3｝的非空子集中任取兩個不同的集合A和B,若AnB*o,

則不同的取法共有（）

A.42種B.36種C.30種D.15種

答案C

4.（2022湖南邵陽一模,6）國慶長假過后學(xué)生返校，某學(xué)校為了做好防疫工作組織了6個志

愿服務(wù)小組,分配到4個大門進(jìn)行行李搬運志愿服務(wù),若每個大門至少分配1個志愿服務(wù)

小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個大門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.65B.125C.780D.I560

答案D

5.（2022重慶巴蜀中學(xué)3月適應(yīng)性月考（八）,7）從編號分別為I、2、3、4、5、6、7的七個

大小完全相同的小球中，隨機(jī)取出三個小球，則至少有兩個小球編號相鄰的概率為（）

-R-C-D.-

A7553

答案A

6.（2020山東濰坊臨胸模擬,8）現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求

有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（）

A.24種B.30種C.36種D.48種

答案D

二、多項選擇題（共5分）

7.（2022山東濱州鄒平一中3月月考,9）如圖,在某城市中,M,N兩地之間有整齊的方格形道

路網(wǎng)，其中Ai,Az,A，A是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交會處.今在道路網(wǎng)M,N處的

甲、乙兩人分別要到N,M處,他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同

時出發(fā)，直到到達(dá)N,M處為止，則下列說法正確的有（）

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過A3到達(dá)N處的方法有9種

C.甲、乙兩人在A3處相遇的概率為言

41

D.甲、乙兩人相遇的概率為近

答案BD

三、填空題（共5分）

8.（2022八省八校聯(lián)考二/5）某學(xué)校為落實“雙減”政策.在課后服務(wù)時間開展了豐富多彩的

興趣拓展活動.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、籃球、足球、羽毛球、網(wǎng)球五項活動,

由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的從中選擇一項活動則四人中恰有兩人參

加同一活動的概率為.

72

答案125

一年創(chuàng)新

（多選）（202253原創(chuàng)題）免費師范生政策從2007年實施起,惠及了不少高考學(xué)子，同時也讓

他們的就業(yè)有了更好的保障.現(xiàn)有某省4名免費師范畢業(yè)生畢業(yè)要回本省的甲、乙、丙三

所學(xué)校任教，則下列結(jié)論正確的是（）

A.所有不同分配方案共4?種

B.若丙學(xué)校最多需1名免費師范生.則所有不同分配方案共48種

C.若每所學(xué)校至少分配1名免費師范生，則所有不同分配方案共36種

D.若每所學(xué)校至少分配1名免費師范生，且免費師范生A必須到甲學(xué)校，則所有不同分配

方案共12種

答案BCD

[]

第十一章計數(shù)原理

11.1排列、組合

考點兩個計數(shù)原理、排列與組合

1.（2016四川理45分）用數(shù)字123,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.72

答案D奇數(shù)的個數(shù)為K=72.

2.（2015四川理65分）用數(shù)字0,1,23,4.5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有（）

A.144個B.120個C.96個D.72個

答案B數(shù)字0,12345中僅有0,2,4三個偶數(shù).比40000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4

開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾.有2=48個洞理，以5開頭的有3r=72個于是共有48+72=120個，

故選B.

評析本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的知識.

考有學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

3.（2014大綱全國理55分）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.

則不同的選法共有（）

A.60種B.70種C.75種D.150種

答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有fd種選法，從5名女醫(yī)生中選出I名有dr種選法向分步乘法計數(shù)原理

得不同的選法共有4-4=75種.故選C.

4.（2014遼寧理,6,5分）6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.I44B.120C.72D.24

答案D先把三把椅子隔開擺好，它們之間和兩端有4個位置.再把三人帶椅子插放在四個位置.共有個=24

種放法，故選D.

評析本小題主要考查排列組合的應(yīng)用及邏輯思維能力.解決不相鄰問題常采用插空法.

5.（2014四川理65分）六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙、最右端不能排甲，則不同的排法共有

（）

A.192種B.216種C.240種D.288種

答案B若最左端排甲，其他位置共有.=120種排法:若最左端排乙.最右端共有4種排法，其余4個位置有

「=24種排法，所以共有120+4x24=216種排法.

6.（2014重慶理,9,5分）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，

則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有F『=144種，再剔除小品類節(jié)

目相鄰的情況.共有『?'?"=24種,于是符合題意的排法共有144-24=120種.

7.（2013山東理.10,5分）用0J…9十個數(shù)字.可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.243B.252C.261D.279

答案B由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,…,9十個數(shù)字組成三位數(shù)（可有重復(fù)數(shù)字）的個數(shù)為9X10X10=900.

蛆成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9x9x8=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252.故選B.

評析本題考查分步乘法計數(shù)原理、考查學(xué)生的推理運算能力.

8.（2012課標(biāo)理25分）將2名教師,4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動.每個小

組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

答案A2名教師各在I個小組,給其中I名教師選2名學(xué)生，有巧種選法，另2名學(xué)生分配給另I名教師，

然后將2個小組安排到甲、乙兩地、有,種方案.故不同的安排方案共有電利選A.

評析本題考查了排列組合的實際應(yīng)用.考查了先分組再分配的方法.

9.（2012遼寧理55分）一排9個座位坐了3個三口之家.若每家人坐在一起廁不同的坐法種數(shù)為（）

A.3x3!B.3X（3!）3

C.（3!）4D.9!

答案C第1步:3個家庭的全排列，方法數(shù)為3!;

第2步:家庭內(nèi)部3個人全排列，方法數(shù)為3!洪3個家庭，方法數(shù)為（3!））?.總數(shù)為（3!a（3!）3=（3!尸,故選C.

評析本題主要考查計數(shù)原理的基礎(chǔ)知識.考查學(xué)生分析、解決問題的能力.

10.（2012安徽理.10,5分）6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進(jìn)行紀(jì)念品的交換.任意兩位同學(xué)之間最多交換一次.進(jìn)

行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為

（）

A.I或3B.1或4C.2或3D.2或4

答案D由題意及F15知只需少交換2次.記6位同學(xué)為Ai、A2、A3、As、As、A6,不妨討論①少交

換2次.如Ai未與Az、A3交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)僅為A2、A32人;②AI、A2各少交換1次，如AI與

A3未交換,A2與A4未交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)有4人，為Ai、A。、A3、4.故選D.

評析本題考查了計數(shù)原理等知識.考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識,分類討論思想、利用符號標(biāo)記具體分析是JI質(zhì)利解

題的關(guān)鍵.

11.（2016課標(biāo)11,5,5分）如圖.小明從街道的E處出發(fā).先到F處與小紅會合.再一起到位于G處的老年公寓參加

志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）

A.24B.18

答案B分兩步，第一步，從E-F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步，從F-G.有3條可以選擇的最短路徑.

由分步乘法計數(shù)原理可知有6x3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.

思路分析小明到老年公寓,需分兩步送行，先從E到F,再從F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù).再利用分步

乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.

12.（2016課標(biāo)用,12,5分）定義“規(guī)范O數(shù)列"{a"如下:共有2m項，其中m項為0,m項為L且對任意kW

2m,a1,a2,...,ak中0的個數(shù)不少于I的個數(shù).若m=4.則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）

A.I8個B.16個C.14個D.I2個

答案C當(dāng)m=4時，數(shù)列{an）共有8項，其中4項為0,4項為I,要滿足對任意kW&a?…ak中。的個數(shù)不

少于1的個數(shù)，則必有ai=0,aK=l,a2可為0,也可為1.（1）當(dāng)aa=0時,分以下3種情況:①若“3=0.則a4,a5.a6,a?中任

意一個為0均可.則有r=4種情況;②若Ml加=0,則35,36,37中任意一個為0均可，有^=3種情況;③若

（4、_

23=1,34=1.則as必為0,36田中任一個為C均可.有r=2種情況:（2）當(dāng)a2=lB寸,必有a3=0.分以下2種情況:①若

m=0,則a5.a6,a7中任一個為0均可，有33種情況:②若a?=l,則as必為。視皿中任一個為0均可、有、=2種情

況.綜上所述、不同的“規(guī)范01數(shù)列"共有4+3+2+3+2=14個.故選C.

思路分析根據(jù)題意可知ai=（U8=l.進(jìn)而對az,a3a取不同值進(jìn)行分類討論（分類要做到不重不漏）.從而利用

分類加法計數(shù)原理求出不同的"規(guī)范0：數(shù)列”的個數(shù)

13.（2018浙江,164分）從1,3,579中任取2個數(shù)字.從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有

重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）

答案1260

解析本小題考查排列、組合及其運用考查分類討論思想.

含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有中萬個=540個，不含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有

^^=720個.故一共可以組成540+723=1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

易錯警示數(shù)字排成數(shù)時.容易出錯的地方：

（1）數(shù)字是否可以重復(fù)：

（2）數(shù)字。不能排首位.

14.（2015廣東理,12,5分）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條半業(yè)留言.那么全班共寫了

條畢業(yè)留言.（用數(shù)字作答）

答案1560

解析??同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言.且全班共有40人,二全班共寫了40x39=1560條畢業(yè)留

15.（2013北京理,12,5分）將序號分別為1,2,345的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張.如果分給同一人

的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是.

答案96

解析5張參觀券分成4份,1份2張，另外3份各1張，且2張參觀券連號，則有4種分法，把這4份參觀券分

給4人則不同的分法種數(shù)是4y=96.

16.（2013大綱全國理.14,5分）6個人排成一行、其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.（用數(shù)字作

答）

答案480

解析先將除甲、乙兩人以外的4人排或一行，有婿=24種排法，再將甲、乙插入有4種，所以6人排成一

行，甲、乙不相鄰的排法共有24x20=48。種.

17.（2013浙江理,14,4分）將A,B.C,D,E,F六個字母排成一排，且A.B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有

種（用數(shù)字作答）.

答案480

解析從左往右看.若C排在第1位洪有排法醫(yī)=120種:若C排在第2位.共有排法q?'=72種:若C排在

第3位.則A、B可排C的左側(cè)或右側(cè)洪有排法?-F+F-F=48種:若C排在第4,5.6位時,其排法數(shù)與排

在第3,2,1位相同.故共有排法2*（120+72+48）=480種.

18.（2011北京理,12,5分）用數(shù)字2,3組成四位數(shù).且數(shù)字2.3至少都出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有

個.（用數(shù)字作答）

答案14

解析解法一:數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位數(shù)有工4個:數(shù)字2出現(xiàn)兩次的四位數(shù)有5=6個:數(shù)字2出現(xiàn)三次

的四位數(shù)有r=4個.故總共有4+6+4=14個.

解法二油數(shù)字2,3組成的四位數(shù)共有2三16個,其中沒有數(shù)字2的四位數(shù)只有1個.沒有數(shù)字3的四位數(shù)也只

有I個，故符合條件的四位數(shù)共有16-2=14個.

評析本題考查排列組合的基礎(chǔ)知識.考查分類討論思想，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確分類,并注意相同元素的排列數(shù)等

于不同元素的組合數(shù).屬于中等難度題.

11.2二項式定理

三年模擬

一、選擇題

1.（2022皖北協(xié)作體聯(lián)考,7）若（2x0y2）n的二項展開式中某項為bx6y6則b=（）

A.15B.40C.60D.80

答案B（2x3+y2）n的二項展開式的第r+l項為，（2x3嚴(yán)⑺“q3n^y2［令

3n-3r=6,2r=6,得n=5,r=3,/.b=22=40,故選B.

2.(2022安徽江南十校一模.5)已知(x-m)(x+2)$=ao+aix+a2x2+...+a6x6,其中m為常數(shù)，若

a4=30,則ao=()

A.-32B.32C.64D.-64

答案A?.,(x-m)(x+2)s=ao+aix+a2x2+...+a6x6,其中m為常數(shù),「.包=-22-m-2=30,

:.m=1,

再令x=0,得刖=-32,故選A.

3.（2022陜西六模,5）在的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常

數(shù)項是（）

取

A.24W

若住一城的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則『8,則G-劫的展開

答案B

式的通項為T田=3

24-49◎。二7,故選B.

令丁=0,解得r=6,則其常數(shù)項為（?1盧

4.（2022成都二診,8）已知函數(shù)f（x）=10x+3cosx在x=0處的切線與直線nx-y=O平行，則

（l+x+x2）（l-x）n的展開式中含x2項的系數(shù)為（）

A.26B.46C.36D.56

答案Cf'(x)=10-3sinX,則「(0)=10.由題意，得n=「(0)=10,則

(1+X+X?)(1-X)n=(1+x+x?)(1-x>°=(1-x)l°+x(1-x)l0+x2(1-X)所以展開式中含X2項的系數(shù)為

4(-1)2+0"-1y+Ce(-1)°=45-10+1=36.

5.(2022西安二模,3)(真3的展開式中，第5項為常數(shù)項，則n=()

A.8B.6C.7D.10

2n

答案BT5=(Mx)^-^=16<5x2n￡由2n-12=0得n=6,故選B.

6.(2022海淀一模⑷在(5-x)4的展開式中M的系數(shù)為()

A.-lB.lC.-4D.4

2+:|&

44kkk4

答案BTk+i=)-(-x)=(-l)”工2,則k=0,故x?的系數(shù)為(-])?=],故

選B.

7.（2022東城期末,4）在二項式的展開式中，含X，項的系數(shù)為（)

A.5B.-5C.10D.-10

=(-2)kx5-2k,Sk=l時,T2=(-2)i"x3=?10x3.，含x3項的系數(shù)為

答案DTk+i

-10.故選D.

8.（2022東城二模,3）在（l?2x＞的展開式中，第4項的系數(shù)為（）

A.-80B.80C.-10D.10

q

答案AT3+I=（-2X）3=-80X）故選A.

9.（2022房山一模.4）若\"的展開式中的常數(shù)項為-20,則a=（）

A.2B.-2C.1D.-1

答案DTk+尸'x4.Q=ak'x&2k,令6-2k=0,得k=3,常數(shù)項為4+曰34=20&3=-20,

???a=-l,故選D.

的展開式中*用度的系數(shù)利為1

10.（2022人大附中統(tǒng)練一,4）若二項式匕764.則展開式

中二項式系數(shù)最大的項為（）

5，

A.-2

答案A由題意.令x=l,則‘9=*解得n=6.Tk+G-k

?（-X）卜,展開式中二項式系數(shù)

最大的項為第4項，故令k=3,則丁4=爆0.故選A.

11.（2022豐臺二模⑷在的展開式中，常數(shù)項為（）

A.-240B.-60C.60D.240

答案DTk+1=%產(chǎn)（S"f（-2）kx⑵3）令i2-3k=0,得k=4,所以常數(shù)項為

TS=G-2)4=240,故選D.

12.（2022海淀二模,2）在（l-2x）3的展開式中,x的系數(shù)為（）

A.-2B.2C.-6D.6

C*C*

答案CTk+尸T(-2x)k=T(.2)kx上令k=l得T"尸4<(?2x)=6x,故選C.

13.（多選）（2021河北唐山一模）若（一,9的展開式中x3的系數(shù)是-160,則（）

AA.a=-2

B.所有項系數(shù)之和為1

C.二項式系數(shù)之和為64

D.常數(shù)項為-320

答察ABC(-9的展開式中含X3的項為C(X2)3.G)，所以

C?—3*?*「，故A正確:由A知GW=(/-3,令x=l,得所有項系數(shù)

之和為(1?2)6=1,故B正確;的展開式的二項式系數(shù)之和為26=64,故C正確:

喙(9=

的常數(shù)項為=2：C=240,故D錯誤.故選ABC.

14.(多選)(2022江蘇百校聯(lián)考,101若"一?的展開式中二項式系數(shù)之和為an,各項系數(shù)之

和為bn,各項系數(shù)的絕對值之和為Cn,則下列結(jié)論正確的是()

A.anbn=Cn

B.存在neN",使得bn+c/an

C,二的最小值為2

D.bi+2b2+3b3+...+nbn<2

匕,，G尸匕人因為a?b=2n-

答案AB依題意可得an=21b產(chǎn)n◎1?二所以A中結(jié)論正

確.

f_?■+?'fiy(^-+-

因為、一士=匕，+匕,『弘1,所以B中結(jié)論正確.

3*2嗔且―等號.所以C中結(jié)論2

b_G)\

因為Dn-，=1nN3時b+2b2+3b3+...+nbn>2,所以D中結(jié)論不正確.故選AB.

二、填空題

6322江西金太陽聯(lián)考.⑶（'-J的展開式的中間項為

20

答案-無

（/一^的展開式的中間項為CX2）3（9=~天.

解析

16.（2022安徽蚌埠質(zhì)檢,15）（X2+3X+1）$的展開式中父的系數(shù)為

答案330

XXXX<25rr3

解析(2+3+1)J[2+(3+1)]5的展開式的通項為Tr+i=?(x)(3x+l).x可由1個x\l個

3x,3個1相乘得到，即??3x3=60x3,

q

也可由3個3x,2個1相乘得到，即（3x）3=270x3,

故（x2+3x+l）s的展開式中父的系數(shù)為60+270=330,

故答案為330.

17.（2022通州一模,11）在（l-xp的展開式中父的系數(shù)是.

答案-10

pfcpfcC3

解析Tk+尸飛(-x)￡\?l)k?xk.令k=3,則T3+產(chǎn)”(-1)43=10乂3,所以x3的系數(shù)是-10.

18.(2022平谷零模,11的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

答案12

2<

解析丁卜+產(chǎn)中'產(chǎn)?=2久當(dāng)當(dāng)k=2時，常數(shù)項為T3=24=12.

19.（2022順義一模.12）（，+3展開式中,x的系數(shù)為

.（用數(shù)字作答）

答案10

解析I”展開式的通項為Tk+產(chǎn)x-k=Fxgk,令10-3k=l,解得k=3,故X的系

q

數(shù)為=10.

20.（2022石景山一模,12）在'〃的展開式中爐的系數(shù)是.

答案35

解析Tk+I=°（x3產(chǎn).?="火25,令2l-4k=5,得k=4,??.T4+尸Gx5=35..?.xS的系數(shù)是35.

21.（2022門頭溝一模,11）在（2x2-l）5的展開式中,x“的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

答案-40

qa

解析由題意得Tk+尸25*（_］加網(wǎng),令io-2k=4,得k=3.所以x4的系數(shù)為^22X（-1）3=-40.

22.（2022密云期末,12）設(shè)（2x+l）n的展開式的二項式系數(shù)之和為32,則n=.其展開

式的第三項為.

答案5;80x3

解析由題意得2n=32,得n=5,其展開式的第三項為F（2xpl2=80x3.

23.（2022西城二模,11）二項式（l+x）n（nwN*）的展開式中x?的系數(shù)為21,則n=.

答案7

TQ=2T網(wǎng)幻

解析Tk+尸由題意得'N=21且nwN*,可得廿7.

24.（2022昌平二模,12）在（"-君的展開式中，常數(shù)項為.（請用數(shù)字作答）

答案60

f.AY0/拉令6_?

解析Tk+尸（2x產(chǎn)=2飛_"6'2k=0.得k=4,所以常數(shù)項為

2

T4+I=2-（-1）^=60.

[]

11.2二項式定理

五年高考

考點二項式定理

1.（2020北京,3,4分.基礎(chǔ)性）在（返2/的展開式中父的系數(shù)為（）

A.-5B.5C.-10D.10

答案C

2.（2020課標(biāo)I理.8,5分，綜合性力”（x+y/的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.20

答案C

3.（2019課標(biāo)川理.4,5分,綜合性）（1+2X2）（1+X）4的展開式中x'的系數(shù)為（）

A.12B.16C.20D.24

答案A

4.（2022新高考I,13,5分，基礎(chǔ)性）\”（x+y）8的展開式中x?y6的系數(shù)為（用數(shù)字

作答）.

答案-28

5.（2022浙江,12,6分，基礎(chǔ)性）已知多項式（X+2）（X-1）4=ao+aix+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5,KO

az=,31+32+33+34+35=.

答案8;-2

6.（2020課標(biāo)IH理.14,5分,基礎(chǔ)性17的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）.

答案240

7.（2020天津,11,5分，基礎(chǔ)性）在（X+?）的展開式中*的系數(shù)是.

答案10

8.（2021浙江,13,6分，綜合性）已知（x-l）3+（x+l）4=x'+aix3+a2x2+a3x+a4廁

ai=;a2+a3+a4=.

答案5;10

9.（2019浙江,13,6分，綜合性）在（仿■xp的展開式中，常數(shù)項是，系數(shù)為有理數(shù)的項

的個數(shù)是.

答案|6卷5

10.（2020浙江,12,6分，綜合性）二項展開式（1+2x）5=ao+a?x+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5,WJ

a4=,ai+a3+a5=.

答案80:122

三年模擬

A組考點基礎(chǔ)題組

考點二項式定理

1.（2022江蘇泰州二調(diào),5）設(shè)（l+3x『=ao+aix+a2x2+…+anX”,若n=（）

A.6B.7C.10D.II

答案B

2.（2022湖北九師聯(lián)盟3月質(zhì)檢.3）若I3的展開式中第3項為常數(shù)項,則該展開式中各

項系數(shù)的和為（）

A.729B.64C.lD.-1

答案C

3.（2022遼寧名校聯(lián)盟二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）,7）已知（ax2+l）、”的展開式中各項系數(shù)的和

為-3,則該展開式中x的系數(shù)為（）

A.40B.-40C.-120D.-240

答案C

4.（2020河北邯鄲空中課堂備考檢測,6）（l-2x）6的展開式的第三項為（）

A.60B.-120C.60x2D.-120x3

答案C

5.（2021山東棗莊二模.6）若x6=&）+ai（x+l）+a2（x+l尸+…+M（X+1）6,則a3=（）

A.20B.-20C.15D.-15

答案B

6.（2022湖北十一校聯(lián)考二,14）8■除以9的余數(shù)是.

答案8

B組綜合應(yīng)用題組

時間:30分鐘分值45分

一、單項選擇題（每小題5分，共15分）

1.（2022河北九師聯(lián)盟3月質(zhì)檢聯(lián)考（一模）,4汜知（2+x）5=ao+aix+a2x2+a3x3+a4x4+a5X，,則

33=（）

A.10B.20C.40D.80

答案C

2.（2022湖北八市聯(lián)考.7）已知（2x-y）s的展開式中x2/的系數(shù)為80,貝ij