數(shù)學教學設計：二項式定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教學設計1．3二項式定理eq\o(\s\up7(），\s\do5(整體設計))教材分析《二項式定理》是多項式運算的推廣．在多項式的運算中，把二項式展開成單項式之和的形式，即二項式定理有著非常重要的地位，它是帶領我們進入微分學領域大門的一把金鑰匙,只是在中學階段還沒有顯示的機會．將本小節(jié)內(nèi)容安排在計數(shù)原理之后來學習，一方面是因為二項式定理的證明要用到計數(shù)原理,可以把它作為計數(shù)原理的一個應用，另一方面也為學習隨機變量及其分布做準備．另外,由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù),由二項式定理可導出一些組合數(shù)的恒等式,這對深化組合數(shù)的性質有很大好處．總之,二項式定理是綜合性較強的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識．二項式定理的學習過程是應用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思想是“先猜后證”．與以往教科書比較,猜想不是通過對n取1、2、3、4的展開式的形式特征的分析而歸納得出，而是直接應用兩個計數(shù)原理對(a＋b）2展開式的項的特征進行分析．這個分析過程不僅使學生對二項式的展開式與兩個計數(shù)原理之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得認識的基礎，而且也是為證明猜想提供了基本思路．課時分配3課時1．3。1二項式定理教學目標知識與技能1．能用計數(shù)原理證明二項式定理;2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．過程與方法1．運用歸納的方法,經(jīng)歷多項式的展開由2到n的過程；2．引導學生借助計數(shù)原理與組合知識證明二項式定理．情感、態(tài)度與價值觀1．培養(yǎng)學生的歸納思想、化歸思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學應用能力；2．培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力以及分析問題與解決問題的能力；3．培養(yǎng)學生的自主探究意識、合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,體會數(shù)學語言的簡潔和嚴謹．培養(yǎng)學生從特殊到一般、從一般到特殊的認知能力．重點難點教學重點：用計數(shù)原理分析(a＋b)2的展開式，得到二項式定理．教學難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開過程,發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（教學過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新課）)我們已學過計數(shù)原理、排列、組合的有關概念和公式,請同學們回顧：(1)兩個計數(shù)原理的內(nèi)容是什么？（2）排列的定義與排列數(shù)公式是什么?(3)組合的定義與組合數(shù)公式是什么?活動設計：學生先獨立回憶,必要時可以看書，也可以求助同學．活動結果：(板書)(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法；分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．（2)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．Aeq\o\al(m，n)＝n（n－1)（n－2)…(n－m＋1）＝eq\f(n！,(n－m）！）。（3）一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)（n－2）…(n－m＋1），m！)＝eq\f（n！，m?。╪－m）?。?設計意圖：復習已經(jīng)學過的計數(shù)原理、排列、組合的有關知識，讓學生回顧認知基礎,形成認知環(huán)境，為二項式定理的引入打下基礎．提出問題:如何利用兩個計數(shù)原理得到(a＋b）1，(a＋b)2，（a＋b)3的展開式？活動設計：教師提出問題,引導學生關注展開的兩個步驟:（1)用乘法法則展開;（2）合并同類項．學生先獨立思考，允許小組合作．活動成果：(a＋b)1＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝(a＋b)2(a＋b）＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3設計意圖:引導學生將（a＋b)2與(a＋b）3的展開式與兩個計數(shù)原理聯(lián)系起來,教師提醒學生，用計數(shù)原理分析展開式的項數(shù),應當分析項中的字母是如何選取的，并引導學生分析同類項的個數(shù)，得到展開式的系數(shù)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知）)（a＋b）4＝(a＋b）(a＋b）（a＋b）（a＋b）的展開式各項都是4次式，即展開式的各項應該具有如下形式：a4,a3b，a2b2，ab3，b4.提出問題1：（1)以a2b2項為例，有幾種情況相乘均可得到a2b2項？這里的字母a,b各來自哪個括號？（2)既然以上字母a，b分別來自4個不同的括號，a2b2項的系數(shù)你能用組合數(shù)來表示嗎？(3）你能將問題(2）所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？活動設計：學生自由發(fā)言．活動成果：有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是a、一個是b。每個括號只能取一個字母，任取兩個a、兩個b，然后相乘．設計意圖：幫助學生找到求出展開式系數(shù)的基本方法．提出問題2：請用類比的方法,求出二項展開式中的其他各項系數(shù)，并將式子：(a＋b)4＝（a＋b）（a＋b）(a＋b）（a＋b）＝()a4＋()a3b＋（)a2b2＋（）ab3＋(）b4括號中的系數(shù)全部用組合數(shù)的形式進行填寫．活動設計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，教師巡視指導，并注意與學生交流．活動成果:展開式各項的系數(shù)：上面4個括號中，每個都不取b的情況有1種，即Ceq\o\al(0,4)種,a4的系數(shù)是Ceq\o\al（0，4）；恰有1個取b的情況有Ceq\o\al（1,4)種，a3b的系數(shù)是Ceq\o\al(1,4),恰有2個取b的情況有Ceq\o\al(2,4）種,a2b2的系數(shù)是Ceq\o\al（2,4)，恰有3個取b的情況有Ceq\o\al(3，4)種，ab3的系數(shù)是Ceq\o\al(3，4）,有4個都取b的情況有Ceq\o\al(4,4）種，b4的系數(shù)是Ceq\o\al(4,4)，∴（a＋b）4＝Ceq\o\al（0,4）a4＋Ceq\o\al(1，4)a3b＋Ceq\o\al(2,4）a2b2＋Ceq\o\al（3,4)a3b＋Ceq\o\al(4,4)b4。設計意圖:鞏固已有的思想方法，建立猜想與證明二項式定理的認知基礎與理論依據(jù)．提出問題3：根據(jù)以上展開式，你能猜想一下（a＋b）n的展開式是什么嗎？活動設計：學生獨立思考，自由發(fā)言，可以小組討論．活動成果：學生可能猜出正確的展開式，但是不一定按照正確的順序寫出來,也不一定了解其中的規(guī)律，我們應該將問題進一步具體化,學生可能更容易發(fā)現(xiàn)新知．設計意圖：通過學生對（a＋b）n展開式的猜想,提高學生的歸納問題的能力，使學生體會新知，發(fā)現(xiàn)新知，理解新知，在獲得新知的過程中體會數(shù)學的樂趣，從而提高學生學習數(shù)學的興趣．提出問題4:請同學們根據(jù)猜想完成下式,并對所給答案給出說明：（a＋b）n＝（_)an＋(_)an－1b＋(_)an－2b2＋…＋(_）an－rbr＋…＋（_)bn（n∈N*）活動設計：先由學生獨立完成，然后組織全班討論，在討論過程中要明確每一項的形式及其相應的個數(shù),學生之間可以相互求助、辯論．活動成果：(1)（a＋b）n的展開式的各項都是n次式,即展開式應有下面形式的各項：an，an－1b，…,an－rbr,…,bn.（2)展開式各項的系數(shù)：每個都不取b的情況有1種,即Ceq\o\al(0,n)種，an的系數(shù)是Ceq\o\al（0,n)；恰有1個取b的情況有Ceq\o\al(1,n）種，an－1b的系數(shù)是Ceq\o\al(1，n），…，恰有r個取b的情況有Ceq\o\al(r,n）種,an－rbr的系數(shù)是Ceq\o\al（r，n）,…,有n個都取b的情況有Ceq\o\al(n,n）種，bn的系數(shù)是Ceq\o\al(n,n),∴（a＋b)n＝Ceq\o\al（0，n）an＋Ceq\o\al（1,n)anb＋…＋Ceq\o\al（r，n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n，n)bn（n∈N），這個公式叫二項式定理,右邊的多項式叫(a＋b）n的二項展開式．呈現(xiàn)二項式定理——（a＋b)n＝Ceq\o\al(0，n）an＋Ceq\o\al(1，n)an－1b＋Ceq\o\al（2，n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r，n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n，n）bn（n∈N)設計意圖：得出二項式定理，體會二項式定理的形成過程，理解二項式定理是由兩個計數(shù)原理以及組合數(shù)公式得到的．由于這是本大節(jié)的起始課,按照學習從問題開始、從學生的原有知識結構開始，通過這樣的原則與模式進行設計，而且這種意識要貫穿于整個課堂教學的始終,使學生從整體上把握本節(jié)要研究的主要問題、主要脈絡是什么樣的,這樣就會使學生清楚本節(jié)的學習目標和路線圖，是學有目標，研有方向，胸懷全局,先見森林再見樹木的學習,其學習效果是不言而喻的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(理解新知)）提出問題1：二項式定理展開式的系數(shù)、指數(shù)、項數(shù)的特點是什么？活動設計：學生自由發(fā)言，教師根據(jù)前面總結證明的二項展開式進行引導．活動成果：(1）它有n＋1項，各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n）（k＝0,1,…n)叫二項式系數(shù)；（2)各項的次數(shù)都等于二項式的次數(shù)n。設計意圖：加深對二項式定理、二項展開式等概念、公式的理解．提出問題2：二項式定理展開式的結構特征是什么？哪一項最具有代表性？活動設計：學生自由發(fā)言,可以相互討論，教師進行引導．活動成果:(板書）（1)字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0，字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n;（2)Ceq\o\al（k，n）an－kbk叫二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k，n)an－kbk；(3）字母a，b可以是數(shù)，式子或其他．設計意圖:由此，學生得出二項式定理、二項展開式、二項式系數(shù)、項的系數(shù)、二項展開式的通項等概念，這是本課的重點．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運用新知）)1展開（1＋eq\f（1，x))4.解法一：（1＋eq\f(1,x））4＝1＋Ceq\o\al(1，4）(eq\f(1，x））＋Ceq\o\al（2,4）（eq\f(1,x）)2＋Ceq\o\al（3，4)(eq\f（1，x））3＋(eq\f（1，x））4＝1＋eq\f(4，x)＋eq\f(6,x2)＋eq\f（4，x3）＋eq\f（1，x4）.解法二:（1＋eq\f（1,x))4＝（eq\f(1，x))4（x＋1）4＝(eq\f(1,x)）4[x4＋Ceq\o\al（1,4）x3＋Ceq\o\al（2，4）x2＋Ceq\o\al（3，4)x＋1]＝1＋eq\f(4,x)＋eq\f(6,x2)＋eq\f（4，x3)＋eq\f（1,x4）。點評：比較復雜的二項式，有時先化簡,再展開會更方便．【鞏固練習】求(2eq\r(x)－eq\f（1,\r（x）))6的展開式．解:先將原式化簡,再展開，得（2eq\r(x）－eq\f(1,\r（x）)）6＝（eq\f（2x－1，\r（x)））6＝eq\f(1,x3）（2x－1）6＝eq\f(1,x3)[（2x）6－Ceq\o\al(1，6）(2x）5＋Ceq\o\al（2，6)（2x）4－Ceq\o\al(3，6）（2x）3＋Ceq\o\al（4,6)(2x）2－Ceq\o\al（5,6)（2x）1＋Ceq\o\al(6,6)］＝64x3－192x2＋240x－160＋eq\f（60,x）－eq\f(12,x2)＋eq\f（1,x3)。2求（1＋2x)7的展開式的第4項的二項式系數(shù)、項的系數(shù)．思路分析：先把通項寫出,分清什么是二項式系數(shù)，什么是系數(shù)．解：(1＋2x)7的展開式的第4項是T3＋1＝Ceq\o\al（3,7)×17－3×(2x)3＝Ceq\o\al(3，7）×23×x3＝35×8x3＝280x3.所以展開式的第4項的二項式系數(shù)是35,系數(shù)是280.點評：①要注意展開式的第r＋1項,對應于二項式系數(shù)Ceq\o\al(r,n)；②要注意一個二項展開式的某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)是兩個不同的概念．有時相等，有時不相等，它們之間沒什么必然的聯(lián)系．【鞏固練習】求(x－eq\f（1，x））9的展開式中x3的系數(shù)．解：(x－eq\f（1，x））9的展開式的通項是Ceq\o\al(r,9）x9－r(－eq\f（1,x）)r＝(－1）rCeq\o\al（r，9)x9－2r。根據(jù)題意，得9－2r＝3,r＝3。因此，x3的系數(shù)是(－1）3Ceq\o\al(3，9)＝－84?！咀兙氀菥帯?．(1＋2x）7的展開式的第幾項的二項式系數(shù)等于35？2．（x－eq\f（1,x))9的展開式中，含有x6項嗎？若有，系數(shù)為多少？含有x5項嗎?若有,系數(shù)為多少？請將你所能想到的所有答案都一一列舉出來．1．解：Ceq\o\al（3,7)＝Ceq\o\al(4，7）＝35,所以第4項與第5項的二項式系數(shù)等于35。2．解：根據(jù)通項（－1）rCeq\o\al(r，9)x9－2r,當9－2r＝6時，r無整數(shù)解;當9－2r＝5時，解得r＝2,所以系數(shù)為36.所以展開式中，不含x6項，含有x5項，系數(shù)為36。設計意圖：兩個題的設計不僅是為了訓練學生根據(jù)解題需要能熟練地將一個二項式展開，而且可以培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力,并且可以考查學生對知識、問題理解的深刻性和思維的深刻性、全面性．題型的新穎性、開放性更是不言而喻,學生的興趣會更濃，思維也會更積極．【達標檢測】1．求(2a＋3b)6的展開式中的第3項．2．求（3b＋2a）6的展開式中的第3項的系數(shù)．3．求（1＋2i)5的展開式．1．解：T2＋1＝Ceq\o\al(2,6）（2a）4（3b)2＝2160a4b2；2．解：T2＋1＝Ceq\o\al（2，6）(3b）4(2a)2＝4860b4a2.所以,（3b＋2a）6的展開式中的第3項的系數(shù)為4860.3．解：因為a＝1，b＝2i,n＝5，由二項式定理,得（1＋2i)5＝Ceq\o\al(0,5）＋Ceq\o\al(1，5)2i＋Ceq\o\al(2,5）(2i)2＋Ceq\o\al（3,5）(2i)3＋Ceq\o\al（4,5)(2i)4＋Ceq\o\al（5,5)（2i）5＝1＋10i－40－80i＋80＋32i＝41－38ieq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結)）1．知識收獲:二項式定理；二項式定理的表達式以及展開式的通項、二項式系數(shù)與系數(shù)的概念．2．方法收獲：正確區(qū)別“項的系數(shù)”和“二項式系數(shù)"．3．思維收獲：類比思想、化歸-歸納—猜想—證明思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補充練習)）【基礎練習】1．已知（1＋x）n的展開式中，x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍,求n的值．2．已知（ax＋1)7(a≠0)的展開式中,x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項,求a的值．【答案或解答】1．依題意Ceq\o\al（3，n)＝7Ceq\o\al（1，n)，即eq\f（n（n－1）（n－2),6）＝7n，由于n∈N,整理得n2－3n－40＝0，解得n＝8。2．依題意Ceq\o\al(5,7）a2＋Ceq\o\al(3，7)a4＝2Ceq\o\al(4，7)a3.由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±eq\f（\r（10),5）?！就卣咕毩暋?．計算：(eq\r(a）＋1）5－(eq\r（a）－1）5。4．求證:32n＋Ceq\o\al（1,n)·32n－2＋Ceq\o\al（2，n）·32n－4＋…＋Ceq\o\al(n－1，n)·32＋1＝10n.答案：3.解：（eq\r（a）＋1）5－(eq\r(a）－1)5＝[(eq\r（a))5＋Ceq\o\al(1,5）（eq\r(a））4＋Ceq\o\al（2，5）（eq\r（a)）3＋Ceq\o\al（3，5）(eq\r(a）)2＋Ceq\o\al（4,5)eq\r(a）＋1]－［(eq\r（a)）5－Ceq\o\al（1,5)(eq\r（a））4＋Ceq\o\al(2，5）(eq\r(a）)3－Ceq\o\al（3,5)(eq\r（a）)2＋Ceq\o\al（4,5)eq\r(a）－1]＝2［Ceq\o\al(1,5)（eq\r（a))4＋Ceq\o\al(3，5)(eq\r（a））2＋2］＝10a2＋20a＋4。4．證明：右邊＝10n＝（9＋1)n＝(32＋1)n＝32n＋Ceq\o\al（1，n)·32(n－1)＋Ceq\o\al（2,n）·32（n－2)＋…＋Ceq\o\al（n－1,n）·32＋1＝32n＋Ceq\o\al(1,n)·32n－2＋Ceq\o\al（2，n）·32n－4＋…＋Ceq\o\al（n－1，n）·32＋1＝左邊,故原式得證．eq\o(\s\up7（），\s\do5(設計說明））二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學習概率的重要基礎．本節(jié)課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程"，在教學中,采用“問題——探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結規(guī)律、應用規(guī)律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力,體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程．本節(jié)課的難點是用計數(shù)原理分析二項式的展開過程,發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律．在教學中，設置了對多項式乘法的再認識,引導學生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題,明確每一項的特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．再以（a＋b)4為對象進行探究，引導學生用計數(shù)原理進行再思考，分析各項以及項的個數(shù)，這也為推導（a＋b）n的展開式提供了一種方法,使學生在后續(xù)的學習過程中有“法”可依．總之，本節(jié)課遵循學生的認識規(guī)律,由特殊到一般，由感性到理性．重視學生的參與過程，問題引導，師生互動．重在培養(yǎng)學生觀察問題,發(fā)現(xiàn)問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣．eq\o（\s\up7(），\s\do5（備課資料)）二項式定理的妙用在數(shù)學中，有許多美妙的命名和定理．二項式定理就是其中之一．首先，看一看我們的二項式定理：（a＋b）n＝Ceq\o\al(0,n）an＋Ceq\o\al(1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n,n)bn(n∈N*）．這個公式所表示的定理就是二項式定理．Tr＋1＝Ceq\o\al(r，n）an－rbr叫做二項展開式的通項公式，在這里r＋1才是項數(shù)，第一個位置的a按降冪排列,次數(shù)由n次降到0次，第二個位置的b按升冪排列，次數(shù)由0次升到n次,a、b可以是任意實數(shù)，也可以是任意式子,能深刻理解二項式定理的結構特征、通項公式，就有許多美妙的用處．其次，談談二項式定理的妙用：1)若在二項式定理中,令a＝1、b＝1，就能得到Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(1，n）＋Ceq\o\al(2,n）＋…＋Ceq\o\al(n,n）＝2n，即各二項式系數(shù)之和等于2n,也是含n個元素的集合的所有子集有2n個，其中非空子集、真子集都有（2n－1）個,非空真子集有（2n－2）個．2)若令a＝1、b＝－1，則可得Ceq\o\al(0，n）－Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al(2,n)－Ceq\o\al（3，n)＋…＋（－1）nCeq\o\al（n,n）＝(1－1)n＝0，即Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al(2，n)＋…＝Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al(3,n）＋…＝2n－1,也就是在(a＋b)n的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和且等于2n－1。3）在二項式定理中，若令a＝1、b＝x，則得到公式(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al（1,n)x＋Ceq\o\al（2，n）x2＋…＋Ceq\o\al（r,n）xr＋…＋Ceq\o\al（n，n)xn，其有鮮明的形式特征，可快速準確地展開類似的二項式．4）充分利用二項式的通項公式可以求出我們所要的任意一項．5)在二項式定理中,若令未知數(shù)的系數(shù)等于1，就可以得到二項展開式中各項系數(shù)之和．f(x)＝（px＋q）n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，則有a0＋a1＋a2＋……＋an＝f(1），a0－a1＋a2－a3＋……＋(－1）nan＝f（－1），a0＋a2＋a4＋……＝eq\f（1,2)［f(1)＋f（－1）］，a1＋a3＋a5＋……＝eq\f（1,2）［f（1）－f(－1)]．6）用二項式定理可以很好地解決整除問題．例如①求證32n＋2－8n－9能被64整除．②求證5151－1能被7整除等．7)在二項式系數(shù)表中，淋漓盡致地體現(xiàn)了組合數(shù)的兩個重要性質：①Ceq\o\al（r,n)＝Ceq\o\al(n－r，n)，②Ceq\o\al（r，n＋1）＝Ceq\o\al(r－1，n）＋Ceq\o\al（r，n）。8)二項式系數(shù)Ceq\o\al(r，n）（r＝0、1、2…、n)中，當n為偶數(shù)時,中間一項Ceq\f(n,2)n取得最大值,當n為奇數(shù)時，中間兩項Ceq\f（n－1，2）n，Ceq\f(n＋1，2)n相等且同時取得最大值，且分別是第eq\f(n,2）＋1項與第eq\f（n－1,2）＋1項和第eq\f（n＋1，2）＋1項．9)在二項式定理中，使用遞推法，即Tr,Tr＋1,Tr＋2系數(shù)間的關系可以解決系數(shù)最值問題．10)利用二項式定理可以解決近似計算問題．11)理解透徹二項式定理的結構關系,能應用它求解、證明許多式子．例如：1＋2Ceq\o\al（1，n）＋4Ceq\o\al(2,n）＋…＋2n－1Ceq\o\al(n－1，n)＋2nCeq\o\al(n，n）＝3n；2n－Ceq\o\al(1，n）2n－1＋Ceq\o\al(2,n)2n－2＋…＋（－1）n－1Ceq\o\al（n－1,n）2＋(－1)n＝1;Ceq\o\al(1,n）＋2Ceq\o\al（2，n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al（n,n)＝？在（2－x）n中若xn項的系數(shù)為an（n＝2，3,4,…）則eq\f(22,a2）＋eq\f（23，a3)＋eq\f（24,a4）＋…＋eq\f（2n,an）＝？…總之，巧妙地應用二項式定理可以解決許多有趣實用的問題．希望大家都能喜歡數(shù)學,學習數(shù)學，應用數(shù)學．(設計者：畢曉巖)1．3。2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質教學目標知識與技能1．利用二項式定理得出二項式系數(shù)的一些性質；2．能運用二項式系數(shù)的性質解決一些簡單問題．過程與方法1．熟知二項式系數(shù)的對稱性、單調(diào)性、最大項及所有二項式系數(shù)之和等結論;2．熟練運用賦值法求一些代數(shù)式的值．情感、態(tài)度與價值觀1．培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力以及分析問題與解決問題的能力．2．通過學習“楊輝三角”的有關知識，了解我們國家悠久的文化傳統(tǒng),陶冶學生的愛國主義情操,進一步提升學生學好數(shù)學用好數(shù)學的決心和勇氣，提升學生學習數(shù)學的興趣．重點難點教學重點：了解“楊輝三角”的結構與規(guī)律，掌握二項式系數(shù)的一些性質，掌握賦值法．教學難點:二項式系數(shù)性質的得到和證明,利用二項式系數(shù)的性質解決有關問題．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學過程））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新課）)前面我們學習了二項式定理，請回顧：(1)（a＋b）n＝__________________（n∈N＊），這個公式表示的定理叫做二項式定理,公式右邊的多項式叫做(a＋b)n的__________________,其中Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2,…，n）叫做____________，通項是指展開式的第________________項，展開式共有______________項．(2）什么是二項式系數(shù)?什么是系數(shù)？活動設計：學生先獨立回憶，然后獨立發(fā)言，其他同學進行補充，必要時可以看書．活動結果：(答案展示）（1）(a＋b）n＝Ceq\o\al（0,n)an＋Ceq\o\al（1，n）an－1b＋Ceq\o\al（2，n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r，n）an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n，n)bn(n∈N）、展開式、二項式系數(shù)、r＋1、n＋1。（2）二項式系數(shù)是Ceq\o\al(r,n），系數(shù)是變量前的常數(shù)．設計意圖：通過復習二項式定理的有關知識，為發(fā)現(xiàn)楊輝三角的有關性質打下基礎，形成知識儲備，引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容．提出問題：計算（a＋b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表n展開式的二項式系數(shù)1234567活動設計:通過學案或者投影展示表格，學生填空，學生之間可以交流，教師指導．

活動成果：n展開式的二項式系數(shù)11121213133141464151510105161615201561設計意圖：當二項式的次數(shù)不大時,可借助它直接寫出各項的二項式系數(shù)．通過計算填表，讓學生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知））提出問題：當表示形式為“三角形"時，該表格有什么規(guī)律?活動設計：學生自主解決，自由發(fā)言，自主探究．活動成果:(這個表在我國南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中就出現(xiàn)了，稱為楊輝三角．但是在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表稱為帕斯卡三角．這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右,由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的)設計意圖：為了使學生建立“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質之間關系的直覺,要求學生填表，觀察表格，探索規(guī)律，體會“表示形式的變化有時能幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律”這句話的深刻哲理與方法，由學生自己說說其中的規(guī)律．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知））提出問題1：觀察楊輝三角的每一行，正數(shù)第1個數(shù)與倒數(shù)第1個數(shù)，正數(shù)第2個數(shù)與倒數(shù)第2個數(shù)，正數(shù)第3個數(shù)與倒數(shù)第3個數(shù)，…它們有什么樣的等量關系？你能把你的想法概括成一句話嗎?活動設計：通過展示表格與楊輝三角，讓學生自己觀察，發(fā)現(xiàn)結論，踴躍發(fā)言，勇于探索．活動成果：正數(shù)第1個數(shù)與倒數(shù)第1個數(shù)相等,正數(shù)第2個數(shù)與倒數(shù)第2個數(shù)相等,正數(shù)第3個數(shù)與倒數(shù)第3個數(shù)相等，…(板書）二項式系數(shù)的性質（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距”的兩項的二項式系數(shù)相等,即Ceq\o\al（m，n）＝Ceq\o\al(n－m，n）.設計意圖：引導學生猜想，猜想是發(fā)現(xiàn)的開始．通過楊輝三角得到“對稱性”，進一步加深學生對二項式系數(shù)性質的掌握，這條性質實際上是組合數(shù)的一個性質．提出問題2：觀察楊輝三角的相鄰兩行，看看下一行中除了“1”之外的數(shù)與上一行中的數(shù)有什么關系?活動設計：學生獨立思考，自由發(fā)言，可以小組討論．活動成果：表中任一不為1的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和，即（板書）(2)Ceq\o\al(r,n＋1)＝Ceq\o\al（r－1,n）＋Ceq\o\al（r,n)。設計意圖：通過新發(fā)現(xiàn)（楊輝三角）,重新驗證舊知識，能夠提升學生對此公式的理解與掌握，加深學生對二項式系數(shù)性質的理解，能夠在最大程度上提升學生的認知水平，這條性質實際上是組合數(shù)的另外一個性質．提出問題3：觀察每一行中的二項式系數(shù)的大小變化情況，有單調(diào)性嗎？有最值嗎？活動設計：學生未必一下能說清楚,盡量鼓勵學生說，讓他們積極參與．教師始終是引導者，學生始終是課堂的主體．引導學生從多個方面分析二項式系數(shù)的大小關系,如利用特殊值法觀察歸納、利用函數(shù)圖象畫圖觀察等等．先由學生獨立完成，然后組織全班討論，學生之間可以相互求助．活動成果:因為Ceq\o\al（k,n)＝eq\f（n(n－1)（n－2）…(n－k＋1)，（k－1）!k)＝Ceq\o\al（k－1，n）eq\f（n－k＋1，k），所以Ceq\o\al(k,n)相對于Ceq\o\al(k－1，n）的增減情況由eq\f(n－k＋1，k）決定．由eq\f（n－k＋1,k）〉1k<eq\f(n＋1,2)可知，當k〈eq\f(n＋1,2）時,二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值．當n是偶數(shù)時,中間的一項取得最大值，即Ceq\f(n，2)n最大；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值,即Ceq\f(n－1,2)n＝Ceq\f（n＋1，2）n，即Ceq\f（n－1,2)n，Ceq\f（n＋1，2)n最大．（板書)(3）增減性與最大值:二項式系數(shù)由兩邊向中間增大，并且在中間取得最大值．當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值,即Ceq\f(n，2）n最大；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，即Ceq\f（n－1，2）n＝Ceq\f(n＋1，2)n最大．設計意圖：由于二項式系數(shù)組成的數(shù)列是一個離散函數(shù)，所以我們應該引導學生從函數(shù)的角度或從特殊值的角度研究二項式系數(shù)的性質．這樣處理便于建立知識的前后聯(lián)系，使學生體會用函數(shù)知識研究問題的方法，體會由特殊到一般的化歸思想．難點是需要根據(jù)n的奇偶性確定相應的分界點，教學時應該引導學生分析其對稱軸實際上是k＝eq\f(n,2），從而學生可以比較容易地理解并記住最值在哪一項被取到．提出問題4：計算“楊輝三角”中每一行的和，觀察其規(guī)律,并寫出其公式．活動設計:學生自主探究，歸納整理，踴躍發(fā)言，教師應該多加鼓勵,但是不能代替學生,自始至終都要保護學生的積極性，保持學生的主體性，教師僅僅是一名導演而已．活動成果：已知(1＋x)n＝Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al（1，n）x＋Ceq\o\al（2，n)x2＋…＋Ceq\o\al（r,n)xr＋…＋Ceq\o\al（n,n）xn，令x＝1，則2n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al（2，n）＋…＋Ceq\o\al(r,n）＋…＋Ceq\o\al（n，n）.即二項式系數(shù)之和等于2n.我們把這樣的方法稱為賦值法，賦值法是一類解決二項式系數(shù)的性質的優(yōu)越辦法．(板書）(4)各二項式系數(shù)的和:Ceq\o\al(0，n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r，n）＋…＋Ceq\o\al（n，n)＝2n.設計意圖：本環(huán)節(jié)的設置與本節(jié)的大環(huán)境一致,都是通過特殊的例子發(fā)現(xiàn)最一般的結論，提高學生的認知能力、觀察能力及化歸能力，加深對二項式系數(shù)性質的掌握與應用．實際上這條性質,我們在組合數(shù)或者集合的子集中遇到過，教師也可以從這方面入手進行引導，能夠進一步加深學生對這一部分知識的理解與掌握，讓學生體會到數(shù)學知識的前后聯(lián)系,能夠最大限度地達到教學目標．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(運用新知))例1下面的二項展開式中，哪些項的二項式系數(shù)最大？是多少？填在相應的橫線上．（1）（a＋b）20第________________項的二項式系數(shù)最大，是______________________；（2）(a＋b)19第________________項的二項式系數(shù)最大，是______________________．思路分析：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(3)即可解決，但要分清n的奇偶性．解：（1）若n＝20，則當r＝10時，二項式系數(shù)最大，所以第11項的二項式系數(shù)最大,是Ceq\o\al（10,20）.(2)若n＝19，則當r＝9或10時,二項式系數(shù)最大，所以第10或11項的二項式系數(shù)最大，是Ceq\o\al(9,19）＝Ceq\o\al(10，19).點評：通過n的奇偶性的不同,考查了二項式系數(shù)的性質(3），但是要注意這是二項式系數(shù)的最大值，不一定就是系數(shù)的最大值．【鞏固練習】（1＋2x）n的展開式中第5項與第8項的二項式系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項．解：由題意Ceq\o\al（4，n)＝Ceq\o\al(7,n），所以n＝4＋7＝11，從而展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間兩項，即第6項與第7項．例2證明:在（a＋b）n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．思路分析：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al（4,n）＋…,偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al（3,n）＋Ceq\o\al(5,n)＋…，由于(a＋b)n＝Ceq\o\al(0，n)an＋Ceq\o\al（1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2，n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al（n,n）bn（n∈N)中的a，b可以取任意實數(shù)，因此我們可以通過對a，b適當賦值來得到上述兩個系數(shù)和．這一點可以從性質（4)的推導來獲得．證明：在展開式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n）an＋Ceq\o\al（1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2，n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n）bn（n∈N)中,令a＝1，b＝－1，則得(1－1）n＝Ceq\o\al(0，n)－Ceq\o\al（1,n)＋Ceq\o\al(2，n）－Ceq\o\al（3，n）＋…＋(－1）nCeq\o\al（n，n），即0＝（Ceq\o\al（0，n）＋Ceq\o\al(2，n)＋…）－(Ceq\o\al（1,n）＋Ceq\o\al（3,n）＋…)，所以Ceq\o\al(0,n）＋Ceq\o\al(2，n)＋…＝Ceq\o\al(1，n)＋Ceq\o\al(3，n）＋…,即在(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．點評：賦值法是解決二項式定理與二項式系數(shù)的一種很重要的方法，凡是與二項式系數(shù)和或者系數(shù)和有關的問題,都有可能通過賦值法獲得解決．實際上我們還可以利用函數(shù)思想解決這個問題，即令f(x)＝Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al（1,n）x＋Ceq\o\al（2,n）x2＋…＋Ceq\o\al（r，n）xr＋…＋Ceq\o\al（n,n）xn,由f（－1)＝0，即可很容易地得到要證明的結果．【鞏固練習】Ceq\o\al（1,7）＋Ceq\o\al（2,7)＋Ceq\o\al（3，7）＋…＋Ceq\o\al（7，7)＝__________解：因為Ceq\o\al（0，7)＋Ceq\o\al（1，7)＋Ceq\o\al(2,7）＋Ceq\o\al(3,7)＋…＋Ceq\o\al(7,7）＝27＝128，所以Ceq\o\al（1，7)＋Ceq\o\al（2，7）＋Ceq\o\al（3，7）＋…＋Ceq\o\al(7,7）＝128－1＝127?！咀兙氀菥帯?．當Ceq\o\al（0,n）＋Ceq\o\al(1,n）＋Ceq\o\al（2,n）＋…＋Ceq\o\al(r，n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2048時，n＝________。2．當Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al（2，n）＋Ceq\o\al(4，n)＋…＝2048時，n＝________。3．當Ceq\o\al(x,n）＝Ceq\o\al（y，n)時，其中n≥x，n≥y,x，y，n∈N＊，則x,y所滿足的關系式是__________．4．當（1＋2x)n的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大時,n＝________________.請將你所能想到的所有答案都一一列舉出來．1．解:由2n＝2048＝211,得n＝11。2．解：由2n－1＝2048＝211，得n＝12。3．解：由題意x＝y(tǒng)或x＋y＝n.4．解:由性質（3)知，eq\f（n,2)＋1＝7,所以n＝12.設計意圖:本環(huán)節(jié)的設計源于一種非常好的教學方法：變練演編．這種開放性的設計，不僅有助于訓練同學們的常規(guī)思維，還能培養(yǎng)同學們的逆向思維．一堂好的數(shù)學課必須讓學生創(chuàng)新，使得學生有所收獲．通過這種方式的訓練,讓學生去創(chuàng)造題目,解決問題，增加了中學生學習數(shù)學的興趣，進一步掌握了“楊輝三角”的有關性質，能力得到了提高．【達標檢測】1．展開式1＋2Ceq\o\al（1,10)＋4Ceq\o\al（2，10）＋…＋210Ceq\o\al（10，10）＝________.2．(xeq\r(y）－eq\f(1,2)yeq\r(x))13展開式的中間項是__________．3．已知（x3＋eq\f(1，x2)）n的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，求展開式中不含x的項．1．解：在(1＋x）10＝eq\i\su（r＝0，10,）Ceq\o\al(r,10）xr中，令x＝2，得1＋2Ceq\o\al(1，10）＋4Ceq\o\al（2，10)＋…＋210Ceq\o\al（10,10)＝（1＋2)10＝310＝59049。2．解：中間項是第7、8項，即eq\f（429，16）x10yeq\f(19，2)、－eq\f（429,32）y10xeq\f（19，2)。3．解：由題意n＝10，展開式的通項為Ceq\o\al(r,10)x30－5r，所以當r＝6時，不含x的項是210.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結））活動設計:給學生2分鐘的時間,讓學生總結出本節(jié)課所學的主要知識、方法與技能，教師盡量不要代勞，能讓學生說的教師絕不可以“越俎代庖”．活動成果:(板書)1．知識收獲：楊輝三角的發(fā)現(xiàn)，二項式系數(shù)的四個主要性質．2．方法收獲：如何求二項式系數(shù)的最大值以及理解賦值法的實質及其應用．3．思維收獲：增強愛國主義情感,使學生對我們國家古代的偉大數(shù)學成就有所了解,進一步增強其民族自豪感；通過楊輝三角的發(fā)現(xiàn)，體會推理—猜想的重要性，體會函數(shù)思想、化歸思想．設計意圖:學生能自己表達的就讓他自己表達，學生能自己解決的就讓他自己解決，學生能自己總結的就讓他自己總結，通過讓學生自己總結本節(jié)課的學習內(nèi)容與方法，不但可以使學生更好地掌握本節(jié)所學，而且還能提高學生學習的主動性，提高學生學習數(shù)學的興趣，久而久之，學生的數(shù)學水平與數(shù)學素養(yǎng)必定會得到長足的提高！這樣不但能充分體現(xiàn)新課程的理念，還能充分發(fā)揮學生在課堂上的“主人翁”精神，真正體現(xiàn)了學生的主體地位．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補充練習））【基礎練習】1．Ceq\o\al（1，10)＋Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(5,10）＋Ceq\o\al（7,10）＋Ceq\o\al（9，10）＝______________.2．Ceq\o\al（1,11）＋Ceq\o\al（2，11）＋Ceq\o\al（3，11）＋Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(5,11）＝________________________.3．若(a＋b）n的展開式中，各項的二項式系數(shù)和為8192，則n的值為（）A．16B．15C．14D．134．一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一個燈泡壞了，整串燈泡就不亮,則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為()A．20B．219C．220D．220－1【答案或解答】1．5122．利用對稱性,原式為eq\f(211，2）－1＝10233．D4.D【拓展練習】5．若（eq\r(3，\f（1，x））＋eq\r（5,\f（1，x2))）n的展開式中，所有奇數(shù)項的系數(shù)之和為1024，求它的中間項．6．已知(2x＋xlgx)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的值等于1120,求x的值．答案：5。解:系數(shù)之和即為二項式系數(shù)之和，由2n－1＝1024，得n＝11,所以展開式的中間項為第6、7項，分別為462x－4、462x－eq\f(61,15）.6．解：依題意T5＝Ceq\o\al（4，8）（2x）4(xlgx)4＝1120，整理得x4(1＋lgx）＝1,兩邊取對數(shù)，得lg2x＋lgx＝0,解得lgx＝0或lgx＝－1.∴x＝1或x＝eq\f(1，10）。eq\o(\s\up7（），\s\do5（設計說明))二項式系數(shù)性質是《二項式定理》的重要內(nèi)容之一,教材從傳授知識的角度出發(fā),有它的合理性,但教學過程中不能照本宣科平鋪直敘．經(jīng)過認真探索,發(fā)現(xiàn)從楊輝三角去探索二項式系數(shù)性質有助于學生掌握這部分知識，提高其數(shù)學能力．同時還能發(fā)揮教材中史情內(nèi)容的教育功能,喚起民族的自尊心、自信心和愛國主義熱情,并轉化為學習數(shù)學的動力而發(fā)奮學習．這樣設計這堂課，主要有以下幾個原因：第一，二項式定理這部分內(nèi)容比較枯燥，需要記憶的知識點也比較多,要求教師不斷地挖掘規(guī)律，簡化學生的記憶負擔．即使如此,學生的學習仍處于被動狀態(tài)，所以這節(jié)課,要想充分發(fā)揮學生的積極性，化被動為主動，因此引入了楊輝三角，利用圖表的直觀性很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律,這個規(guī)律是由學生自己發(fā)現(xiàn)的，當然也就容易記憶．第二,以往我們處理二項式系數(shù)的性質這一節(jié)時，總是將性質用定論的形式直接呈現(xiàn)在學生面前，然后自己再說出證明方法，緊接著就是上例題做練習．這樣，似乎是開門見山，直截了當，節(jié)約時間，但忽視了很重要的一點．數(shù)學教學的實質是思維過程的教學，“直截了當”則掩蓋了“思維過程”，把知識和方法不是作為思維過程暴露在學生面前，而是作為結果拋給學生，這種“奉送"的做法勢必回避了數(shù)學思想的培養(yǎng)．長此以往，學生的數(shù)學素質很難得到提高．第三，教與學是一對矛盾，它是一個已知教未知和未知求新知的過程，兩者對立統(tǒng)一、辯證發(fā)展．現(xiàn)代教育學強調(diào)：“在教學過程中，應自始至終地確立學生的主體地位及教師在教學中的主導作用．”那么在“以教師為主導，學生為主體”的教學思想指導下，如何來發(fā)揮“主導與主體"作用呢？我們認為一定要突出“引”和“放"，即在教師正確引導下,放開讓學生積極參與教學，而不是簡單地接收、模仿．這里關鍵在于教師設法創(chuàng)造良好的教學環(huán)境，思路一起探索，疑難一同解決，規(guī)律共同發(fā)現(xiàn)，結論一起獲得,錯誤一起糾正，師生密切配合才能提高學生的學習效果，促進其個性健康發(fā)展．第四,要充分發(fā)揮“以教師為主導、學生為主體”的作用,首先要深入研究教材,結合教材具體內(nèi)容及學生實際情況和需求(學生感興趣),創(chuàng)設適合學生思維水平的教學環(huán)境，貫徹啟發(fā)性原則，激發(fā)學習動機，引起學習興趣，使學習成為自覺需求才能吸引學生積極參與,突出“引"與“放”．本課如果照本宣科則平淡無奇，對學生思維能力的培養(yǎng)毫無作用．上述做法使大多數(shù)學生在教師引導下“跳一跳，能摸到”，促進學生思維能力的提高．第五，引導學生積極參與的內(nèi)容要防止兩種情形．一是過易，不能充分發(fā)揮學生的主體作用．二是過難,學生摸不著頭緒就沒興趣參與．教師要在充分了解學生的原有認知結構的前提下，確立一個相對較低的起點，難度高的還要適當鋪設臺階，多層次展開問題，使每個層次的學生在我們引導下都能積極參與,做到一分耕耘一分收獲．第六，要重視并加強對學生數(shù)學思想方法的培養(yǎng),善于揭示教材的內(nèi)隱性．像楊輝三角教學中，它的德育、美育功能具有外露性，智力功能比較內(nèi)隱，如果不是精心研究，并去揭示三角數(shù)陣的結構,以及它與二項式系數(shù)性質相聯(lián)系的規(guī)律，不去展開觀察、分析、類比和歸納等思維過程，就不能夠發(fā)展學生的智能，其他功能也會受影響．只有當學生從被動上升到主動去應用這些數(shù)學思想和方法，才能形成能力,培養(yǎng)學生只學會還不夠,教師培養(yǎng)學生的目標是使之會學，那將是受益終身的財富．eq\o（\s\up7（),\s\do5（備課資料)）偉大的數(shù)學家——楊輝楊輝（約1238年~約1298年)，字謙光，錢塘(今浙江杭州）人,是中國南宋時的數(shù)學家．楊輝生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年（1298年)，是中國南宋末年的數(shù)學家、數(shù)學教育家，大約在13世紀中葉活動于蘇杭一帶．楊輝的數(shù)學著作甚多，他編著的數(shù)學書共五種二十一卷，著有《詳解九章算法》十二卷（1261年)、《日用算法》二卷（1262年)、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷(1275年）、《續(xù)古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學著作中的算題和算法．楊輝可以說是世界上第一個給出了如此豐富的縱橫圖和討論了構成規(guī)律的數(shù)學家．除此成就之外，他還有一項重大貢獻，就是“楊輝三角”．大家認識楊輝的名字，基本上都是從“楊輝三角形”上來的．其實，所謂的“楊輝三角形”，并不是楊輝首創(chuàng)，而是北宋的賈憲在他的著作《黃帝九章算經(jīng)細草》中提出的．此書成于公元1050年左右，其中的“開方做法本源圖”就是楊輝三角形的原型，所以也被稱為“賈憲三角形”．這個三角形的每一行，對應的是二項式(a＋b)n展開式的系數(shù)．楊輝的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面．楊輝對籌算乘除捷算法進行了總結和發(fā)展，有的還編成了歌訣，如“九歸”口訣．楊輝創(chuàng)“縱橫圖”之名,在《續(xù)古摘奇算法》中介紹了各種形式的縱橫圖及有關的構造方法．垛積術，是楊輝繼沈括“隙積術”之后,關于高階等差級數(shù)的研究．楊輝的“纂類”中，是將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序,重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類．楊輝是一位杰出的數(shù)學教育家,重視數(shù)學的普及，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的“習算綱目”是中國數(shù)學教育史上的一項重要文獻．另一方面，他在宋度宗咸淳年間的兩本著作里，亦有提及當時南宋的土地價格．這些資料亦對后世史學家了解南宋經(jīng)濟發(fā)展有很重要的幫助．在《乘除通變算寶》中，楊輝創(chuàng)立了“九歸"口訣,介紹了籌算乘除的各種速算法等等．在《續(xù)古摘奇算法》中,楊輝列出了各式各樣的縱橫圖（幻方)，它是宋代研究幻方和幻圓的最重要的著述．楊輝對中國古代的幻方，不僅有深刻的研究，而且還創(chuàng)造了一個名為攢九圖的四階同心幻圓和多個連環(huán)幻圓．楊輝在數(shù)學上的另一個重要的貢獻是提出了幻方的構造方法．所謂的幻方,就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然數(shù)，使每一行每一列的和都相等．三階幻方是最簡單的幻方，又叫九宮圖或者洛書,寫成數(shù)字的形式，就是：四九二三五七八一六還有一個口訣：“二四為肩、六八為足、左三右七、戴九履一、五居中央．”傳說是黃帝時代，洛水中浮起一只大龜，背上刻著這樣的圖案．洛書配上八卦，用在風水學上，被稱為洛書軌跡，用在奇門遁甲中，則形成了“休死傷杜開驚生景”八門．諸葛亮最擅長的八陣圖就是源于此．楊輝收集整理了很多不同階的幻方,稱其為“縱橫圖”，并寫到了自己的著作《續(xù)古摘奇算法》一書中，可以說是世界上第一個給出如此多的幻方并討論了它們的組成規(guī)律的數(shù)學家．幻方的構造可以按照一個固定的規(guī)律，按奇數(shù)階和偶數(shù)階的不同，構造的方法也不一樣．奇數(shù)階的構造很容易．首先從最后一行的中間開始填起,從一開始遞增,向斜下方延伸．如果超出了邊界，就從相對邊的位置繼續(xù)．如果遇上已經(jīng)填過的格子，就從填過的格子上方的格子繼續(xù)．大家可以對照三階幻方來看出這個規(guī)律．對于偶數(shù)階幻方,如果是四的倍數(shù)，很容易，只要首先把從1到N平方的數(shù)字先按照行的方向填好，變成下面的樣子:12345678910111213141516然后除了對角線上面的數(shù)字不動以外，其他的數(shù)字跟中心對稱位置的數(shù)字對調(diào)：11514412679810115133216這樣就構造好了．對于階數(shù)是4m＋2的幻方，構造的方法比較復雜．不過步驟是先構造好中心的幻方，然后在周圍加上一圈數(shù)字就可以了．由于楊輝在數(shù)學上的杰出成就，他和秦九韶,李冶，朱世杰一起被后人并稱為“宋元數(shù)學四大家”．（設計者：畢曉巖)二項式定理習題課教學目標知識與技能1．能熟練地掌握二項式定理的展開式及其有關概念．2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．3．能熟練掌握楊輝三角及二項式系數(shù)的有關性質．4．會用二項式系數(shù)的性質解決一些簡單問題，并能熟練地使用賦值法．過程與方法1．能解決二項展開式的有關概念問題:項、二項式系數(shù)、系數(shù)、有理項、無理項、常數(shù)項、整數(shù)項等．2．能用二項式定理解決諸如整除、近似值、求和等有關問題．3．能用二項式系數(shù)的有關性質，解決諸如：最值、二項式系數(shù)和、系數(shù)和等問題．情感、態(tài)度與價值觀1．培養(yǎng)學生對整個數(shù)學知識的駕馭能力,能在一定高度上進行數(shù)學知識的應用．2．培養(yǎng)學生觀察、歸納的能力以及分析問題與解決問題的能力．3．進一步提升學生學好數(shù)學用好數(shù)學的積極性，進一步提升學生學習數(shù)學的興趣．重點難點教學重點：掌握二項展開式,掌握二項式系數(shù)的有關性質，掌握解決二項式定理性質等有關問題的方法．教學難點：利用二項式定理解決有關問題,利用二項式系數(shù)的性質解決有關問題．eq\o（\s\up7（），\s\do5（教學過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(復習鞏顧)）前面我們學習了二項式定理,請回顧:1．(a＋b)n＝________________（n∈N＊）,這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做（a＋b）n的______________,其中Ceq\o\al（r,n）(r＝0，1，2，…，n)叫做______________，通項是指展開式的第__________________項，共有____________項．其中二項式系數(shù)是____________，系數(shù)是____________．2．二項式系數(shù)的四個性質(楊輝三角的規(guī)律）(1）對稱性：____________________。(2)性質2：______________________。(3)二項式系數(shù)的最大值________________________．(4）二項式系數(shù)之和____________________，所用方法是____________________．答案：1．(a＋b)n＝Ceq\o\al（0，n）an＋Ceq\o\al（1,n）an－1b＋Ceq\o\al(2,n）an－2b2＋…＋Ceq\o\al（r，n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N)、展開式、二項式系數(shù)、r＋1、n＋1、Ceq\o\al(r，n）、變量前的常數(shù)2．(1）Ceq\o\al(m,n)＝Cn－mn（2)Ceq\o\al（r,n＋1)＝Ceq\o\al(r－1，n)＋Ceq\o\al(r,n)（3）當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，即Ceq\f(n,2）n最大；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等,且同時取得最大值，即Ceq\f（n－1,2）n＝Ceq\f(n＋1，2）n最大（4)Ceq\o\al（0,n)＋Ceq\o\al（1，n)＋Ceq\o\al(2，n）＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n）＝2n賦值法eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(典型示例))類型一：二項展開式的有關概念例1試求：(1）(x3－eq\f（2，x2)）5的展開式中x5的系數(shù);（2)（2x2－eq\f（1,x））6的展開式中的常數(shù)項；(3)在（eq\r（3)x＋eq\r（3，2))100的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)．思路分析：理解二項展開式的有關概念，什么是二項式系數(shù),什么是系數(shù)，什么是項，什么是常數(shù)項、有理項、無理項等，其實都是由通項入手,根據(jù)變量的系數(shù)、指數(shù)進行判斷，當指數(shù)為0時是常數(shù)項，當指數(shù)是整數(shù)時是有理項，當指數(shù)是分數(shù)時是無理項．解:（1）Tr＋1＝Ceq\o\al(r，5）（x3)5－r（－eq\f（2,x2))r＝(－2）rCeq\o\al(r，5)x15－5r，依題意15－5r＝5,解得r＝2.故（－2)2Ceq\o\al(2,5)＝40為所求x5的系數(shù)．（2）Tr＋1＝Ceq\o\al（r,6）(2x2)6－r(－eq\f（1,x）)r＝（－1)r·26－r·Ceq\o\al（r，6）x12－3r，依題意12－3r＝0，解得r＝4.故（－1)4·22Ceq\o\al（2,6）＝60為所求的常數(shù)項．（3)Tr＋1＝Ceq\o\al（r，100）(eq\r(3)x)100－r（eq\r(3,2））r＝Ceq\o\al(r，100）·350－eq\f（r，2）·2eq\f(r，3)x100－r,要使x的系數(shù)為有理數(shù)，指數(shù)50－eq\f（r，2)與eq\f(r，3）都必須是整數(shù)，因此r應是6的倍數(shù)，即r＝6k(k∈Z），又0≤6k≤100，解得0≤k≤16eq\f（2,3)(k∈Z），∴x的系數(shù)為有理數(shù)的項共有17項．點評:求二項展開式中具有某特定性質的項，關鍵是確定r的值或取值范圍．應當注意的是二項式系數(shù)與二項展開式中各項的系數(shù)不是同一概念，要加以區(qū)分．【鞏固練習】試求：（1)（x＋2）10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)；(2)(|x｜＋eq\f(1，｜x|）－2)3的展開式中的常數(shù)項．解：(1)∵（x＋2）10＝x10＋20x9＋180x8＋…,∴（x＋2）10（x2－1)的展開式中x10的系數(shù)是－1＋180＝179.(2）∵（|x|＋eq\f(1，｜x|）－2）3＝（eq\r（|x｜）－eq\f（1,\r(|x｜）））6,∴所求展開式中的常數(shù)項是－Ceq\o\al（3,6）＝－20。類型二：二項展開式的有關應用——簡單應用例2求（x－1）－（x－1)2＋（x－1）3－（x－1）4＋（x－1)5的展開式中x2的系數(shù)．解:∵(x－1)－(x－1)2＋(x－1）3－(x－1）4＋（x－1）5＝eq\f（x－1{1－[－x－1］5},1－[－x－1］）＝eq\f(x－1＋x－16,x）,∴所求展開式中x2的系數(shù)就是(x－1)6的展開式中x3的系數(shù)－Ceq\o\al（3，6）＝－20.點評：這是一組將一個二項式擴展為若干個二項式相乘或相加，或擴展為簡單的三項展開式的問題,求解的關鍵在于轉化為二項展開式的問題，轉化時要注意分析題目中式子的結構特征．能夠最大限度地考查學生對知識的把握程度．【鞏固練習】(1－x）5＋(1－x）6＋(1－x)7＋（1－x）8的展開式中x3項的系數(shù)是（）A．74B．121C．－74D．－121解析：先求和:（1－x)5＋（1－x)6＋（1－x）7＋(1－x）8＝eq\f(1－x5[1－1－x4]，1－1－x)＝eq\f(1－x5［4x－6x2＋4x3－x4］,x），分子的展開式中x4的系數(shù)，即為原式的展開式中x3項的系數(shù)，（－1)×1＋4×(－Ceq\o\al(1，5）)－6Ceq\o\al（2,5)＋4×（－Ceq\o\al（3，5)）＝－1－20－60－40＝－121，所以選D。答案：D類型三：二項展開式的有關應用：整除、不等式、近似值等問題例3證明：(1）2≤(1＋eq\f（1，n）)n<3，其中n∈N＊;（2)證明：對任意非負整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除．思路分析：對于二項式中的不等式，通過展開式,分析其中的特殊項，可以證明一些簡單的不等式問題；對于整除問題同樣如此，關鍵是把二項式拆成676的形式；對于比較麻煩的數(shù)列問題，我們經(jīng)常采用的方法就是數(shù)學歸納法，本題也不例外．證明：（1）（1＋eq\f(1,n))n＝1＋Ceq\o\al(1，n）·eq\f（1，n)＋Ceq\o\al（2，n）(eq\f（1,n)）2＋…≥2(當且僅當n＝1時取等號)．當n＝1時,(1＋eq\f(1，n)）n＝2〈3顯然成立；當n≥2時，（1＋eq\f（1，n))n＝Ceq\o\al（0，n)＋Ceq\o\al(1,n）·eq\f(1,n）＋Ceq\o\al（2,n）·eq\f(1，n2)＋…＋Ceq\o\al(n,n）·eq\f（1，nn)＝2＋eq\f（n（n－1），2！)eq\f(1，n2）＋eq\f(n（n－1）（n－2),3！）eq\f(1，n3)＋…＋eq\f(n（n－1）…2·1，n！)eq\f（1,nn)＝2＋eq\f（1,2！)eq\f（n,n）eq\f（n－1,n）＋eq\f(1,3！）eq\f（n，n）eq\f（n－1,n）eq\f（n－2,n)＋…＋eq\f(1，n！)eq\f(n，n）eq\f(n－1,n)…eq\f(2,n）eq\f（1,n）〈2＋eq\f(1,2!）＋eq\f（1,3?。璭q\f(1,n！）<2＋eq\f（1，1×2）＋eq\f（1,2×3)＋…＋eq\f（1，n（n－1))＝2＋(1－eq\f(1,2）)＋(eq\f（1，2)－eq\f（1，3）)＋…＋（eq\f（1，n－1）－eq\f(1,n）)＝3－eq\f（1，n)〈3。綜上所述：2≤（1＋eq\f(1,n)）n〈3,其中n∈N*。（2)當n＝0，n＝1時33n－26n－1＝0,顯然33n－26n－1可被676整除．當n≥2時，33n－26n－1＝27n－26n－1＝(1＋26）n－26n－1＝1＋26n＋Ceq\o\al（2,n)·262＋…＋Ceq\o\al(n，n)·26n－26n－1＝Ceq\o\al(2,n）·262＋Ceq\o\al（3，n）·263＋…＋Ceq\o\al(n,n）26n＝676（Ceq\o\al（2，n）＋26Ceq\o\al（3，n)＋…＋26n－2Ceq\o\al(n，n)）．綜上所述：對任意非負整數(shù)n,33n－26n－1可被676整除．點評：用二項式定理解決整除問題是二項式定理的一大特色，這是二項展開式的一種基本應用,通過對二項式的拆解，我們可以解決一些看似很難但易解決的問題．【鞏固練習】已知m，n是正整數(shù),f（x）＝（1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為7,（1)試求f（x）中的x2的系數(shù)的最小值;（2）對于使f（x)中的x2的系數(shù)為最小的m，n，求出此時x3的系數(shù)；(3)利用上述結果，求f（0。003）的近似值(精確到0。01)．解：根據(jù)題意得：Ceq\o\al（1,m)＋Ceq\o\al（1，n)＝7,即m＋n＝7.（*）（1）x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,m）＋Ceq\o\al(2,n）＝eq\f(m（m－1),2)＋eq\f（n（n－1），2）＝eq\f（m2＋n2－m－n,2）。將（＊)變形為n＝7－m代入上式得：x2的系數(shù)為m2－7m＋21＝(m－eq\f（7，2))2＋eq\f（35，4).故當m＝3或4時,x2的系數(shù)的最小值為9。(2）當m＝3,n＝4或m＝4，n＝3時，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4）＝5。（3）f(0.003）≈2。02。類型四：二項式系數(shù)的最大值、系數(shù)的最大值問題例4求(x－1）9的展開式中系數(shù)最大的項．思路分析:二項式系數(shù)最大的項我們可以根據(jù)公式求解，但是系數(shù)最大的項怎么求呢？觀察本題中二項式系數(shù)與系數(shù)之間的關系，我們發(fā)現(xiàn)它們只不過相差一個負號而已,所以可以通過二項式系數(shù)的大小反映系數(shù)的大小，只不過要注意正負號．解：Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r，9)x9－r。∵Ceq\o\al(4，9）＝Ceq\o\al（5,9)＝126,而（－1）4＝1，（－1）5＝－1，∴T5＝126x5是所求系數(shù)最大的項．點評：此類問題仍然是利用二項展開式的通項公式來求解,但在解題過程中要注意一些常用方法和數(shù)學思想的應用．【鞏固練習】求(eq\r（x）＋eq\f(1,2\r（4,x）)）8展開式中系數(shù)最大的項．解：記第r項系數(shù)為Tr，設第k項系數(shù)最大，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（Tk≥Tk－1,,Tk≥Tk＋1，）)又Tr＝Ceq\o\al(r－1，8）2－r＋1，那么有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(C\o\al(k－1,8）2－k＋1≥C\o\al（k－2,8)2－k＋2，，C\o\al（k－1,8)2－k＋1≥C\o\al(k,8)2－k，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（8！，（k－1)！(9－k)！)≥\f（8!，（k－2)!(10－k）!)×2，,\f（8!，(k－1)!(9－k）!)×2≥\f(8!,k!（8－k)!)，))∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1，k－1）≥\f（2，k－2），,\f（2，9－k)≥\f（1，k).））解得3≤k≤4，∴系數(shù)最大的項為第3項T3＝7xeq\f(5,2）和第4項T4＝7xeq\f（7,2）。類型五：二項式系數(shù)之和、系數(shù)之和等問題例5若（2x＋eq\r（3）)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4,則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2的值等于__________;思路分析：注意到與系數(shù)的和差有關，所以可以用賦值法求得奇數(shù)項的系數(shù)之和與偶數(shù)項的系數(shù)之和，注意使用平方差公式．解:令x＝1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋eq\r（3))4,令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(eq\r（3)－2)4，由此可得（a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3）2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4）（a0－a1＋a2－a3＋a4）＝[(eq\r(3)＋2）（eq\r（3)－2)]4＝1.點評：在二項式系數(shù)的性質應用中，尤其是系數(shù)和的問題，我們經(jīng)常使用賦值法，這是一種奇妙的方法，可以幫助我們在不用計算每一個系數(shù)的前提下，求出各個系數(shù)的和．【鞏固練習】已知(1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求（1)a0＋a1＋…＋a7的值；（2)a0＋a2＋a4＋a6及a1＋a3＋a5＋a7的值；(3）各項二項式系數(shù)和．解:（1）令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝－1.(2）令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝2187。則a1＋a3＋a5＋a7＝－1094；a0＋a2＋a4＋a6＝1093。(3)各項二項式系數(shù)和Ceq\o\al（0，7）＋Ceq\o\al(1,7)＋…＋Ceq\o\al（7,7)＝27＝128?！就卣箤嵗坷?（1＋eq\r(3,x）)6(1＋eq\f（1，\r(4，x））)10的展開式中的常數(shù)項為()A．1B．46C．4245D．4246思路分析:對于非一般的二項式問題,要注意轉化成二項式問題解決．本題雖然有兩個式子相乘，只要我們寫出整個式子的通項，令指數(shù)為0,即可求得常數(shù)項．解：先求(1＋eq\r(3，x)）6的展開式中的通項．Tr＋1＝Ceq\o\al(r，6）(xeq\f(1，3））r＝Ceq\o\al(r，6）xeq\f（r，3),r＝0，1，2,3，4,5，6。再求（1＋eq\f(1，\r(4,x)））10的展開式中的通項．Tk＋1＝Ceq\o\al（k，10）(x－eq\f(1,4））k＝Ceq\o\al(k，10）x－eq\f(k，4）,k＝0，1,2,3,4，…，10。兩通項相乘得：Ceq\o\al(r,6)xeq\f（r，3)Ceq\o\al（k,10）x－eq\f（k，4）＝Ceq\o\al（r，6）Ceq\o\al(k,10)xeq\f（r，3）－eq\f（k，4)，令eq\f(r，3）－eq\f（k，4)＝0，得4r＝3k，這樣一來，(r，k）只有三組：（0,0)，（3,4)，（6，8)滿足要求．故常數(shù)項為：1＋Ceq\o\al（3,6)Ceq\o\al（4