第09節(jié) 簡單的線性規(guī)劃問題（原卷版）

第9節(jié)簡單的線性規(guī)化問題基礎(chǔ)知識要夯實1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對x，y的約束條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題[微點提醒]1.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0，1)或(1，0)來驗證.2.判定二元一次不等式表示的區(qū)域(1)若B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方.(2)若B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.典型例題剖析考點一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域【例1】(1)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A. B. C. D.2【規(guī)律方法】1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域.2.求平面區(qū)域的面積：(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；(2)對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和.【訓(xùn)練1】(2022·玉溪模擬)已知不等式組所表示的平面區(qū)域為面積等于的三角形，則實數(shù)k的值為()A.－1 B.－ C. D.1考點二線性規(guī)劃中的最值問題角度1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2－1】(一題多解)(2018·全國Ⅲ卷)若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________.角度2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值【例2－2】(1)(2022·濟南一模)若變量x，y滿足約束條件則的最大值為()A.1 B.3 C. D.5角度3線性規(guī)劃中的參數(shù)問題【例2－3】(2022·西安質(zhì)檢)已知實數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a≠0)取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為()A.2 B.1C.1或2 D.－1【跟蹤訓(xùn)練】1.先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值.一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得.2.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題.常見代數(shù)式的幾何意義：(1)表示點(x，y)與原點(0，0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；(2)表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率.3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件.【訓(xùn)練2】(2022·茂名二模)若實數(shù)x，y滿足條件則的最大值為()A. B. C.1 D.2考點三實際生活中的線性規(guī)劃問題【例3】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元.【規(guī)律方法】1.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟.(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；(2)求解——解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答——將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實際問題的答案.2.解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件，寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.【訓(xùn)練3】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時，B設(shè)備6小時；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時，B設(shè)備1小時.A，B兩種設(shè)備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為()A.320千元 B.360千元C.400千元 D.440千元[思維升華]1.求最值：求二元一次目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值.最優(yōu)解在頂點或邊界處取得.2.利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題.[易錯防范]1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.2.在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)b>0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當(dāng)b<0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值.達標(biāo)檢測要扎實一、單選題1．已知實數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．已知實數(shù)滿足條件：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．13．若實數(shù)滿足，則的最大值是（

）A．5 B． C．4 D．4．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．若、滿足線性約束條件，則（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值6．若，滿足約束條件，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．2 D．-27．在直角中，是直角，CA=4，CB=3，的內(nèi)切圓交CA，CB于點D，E，點P是圖中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(不包含邊界)．若，則的值可以是（

）A．1 B．2 C．4 D．88．若實數(shù)滿足則的最大值為（

）A．B．C．13D．9．若、滿足條件，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．D．10．滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（

）A．或-1 B．2或 C．2或1 D．2或-111．若滿足約束條件設(shè)，則的最大值是（

）A． B． C． D．12．定義域為R的函數(shù)滿足：①對任意，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.若實數(shù)s，t滿足，則當(dāng)時，的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、填空題13．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是______．14．變量x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)_________．15．若實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是__________.16．已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______．三、解答題17．某公司計劃2021年在甲?乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上投放總時間不超過300天的廣告，廣告總費用不超過90萬元，已知甲?乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為5000元/天和2000元/天，廣告每天能給公司帶來的收益分別為3萬元和2萬元該公司如何分配在甲?乙兩個網(wǎng)絡(luò)平臺上的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？18．設(shè)滿足約束條件.（1）求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍；（2）若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(-1，1)處取得最大值，求a的取值范圍.19．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即為回到軍營.（1）若軍營所在區(qū)域為，求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）若軍營所在區(qū)域為，求“將軍飲馬”的最短總路程.20．某廣告公司接到幸福社區(qū)制作疫情防控宣傳標(biāo)牌的任務(wù)，要制作文字標(biāo)牌4個，繪畫標(biāo)牌5個，該公司現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格原料每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個和繪畫標(biāo)牌2個;乙種規(guī)格原料每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個和繪畫標(biāo)牌1個.問兩種規(guī)格的原料各用多少張時，才能使總的用料面積最小?并求最小用料面積.21．已知命題P:方程在區(qū)間和上各有一個實數(shù)根.命題函數(shù)的值域為R.(1)若命題P是真命題，求的取值集合M；(