吉林省白山市第七中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

吉林省白山市第七中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項之和為（）A.26 B.39C.104 D.522．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．?dāng)?shù)列2，，9，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，，，則使數(shù)列的前n項和成立的最大正整數(shù)n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40425．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前3項和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1896．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.7．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，8．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.9．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.210．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.1011．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.12．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在x=1處的切線方程為__________.14．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的前2021項和為___________.15．設(shè)、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線，給出下列三個結(jié)論：①若，，則；②若，，則；③若，，則其中，正確結(jié)論的序號為__16．某單位現(xiàn)有三個部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個部門，設(shè)事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨(dú)自競崗一個部門”，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）函數(shù)，若對任意的，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓，其焦點(diǎn)為，，離心率為，若點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心滿足：，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小20．（12分）已知過點(diǎn)的圓的圓心M在直線上，且y軸被該圓截得的弦長為4（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求的最小值，并寫出取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)21．（12分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程22．（10分）已知等比數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，設(shè)（），記數(shù)列的前n項和為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項之和為，故選：A2、A【解析】根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可.詳解】當(dāng)時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A3、C【解析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數(shù)列各項，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項為正數(shù)，BD中求出第一項均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C4、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得，，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式及等差中項、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，即可確定答案.【詳解】因為是等差數(shù)列且，，所以，，.故選：C.5、A【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項的和為列方程，結(jié)合等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為3，前三項的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點(diǎn)睛：本題考查以一個特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項和等知識點(diǎn)，屬于簡單題.6、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因為，又//，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.7、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點(diǎn)：全稱命題與特稱命題8、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.9、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式計算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】根據(jù)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】利用面積公式，求出，進(jìn)而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因為的面積為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C12、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的斜率并求出，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，，則，而，所以在x=1處的切線方程為，即.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意求出，代入中，再利用裂項相消即可求出答案.【詳解】由是等差數(shù)列且，可知：，故.，數(shù)列的前2021項和為.故答案為：.15、①②【解析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線.對于①，若，，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得，故①正確；對于②，若，，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得，故②正確；對于③，若，，考慮墻角處的三個平面兩兩垂直，可判斷、相交，則不正確故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16、##0.5【解析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)存在性和任意性的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、（1）的結(jié)論、構(gòu)造函數(shù)法分類討論進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】,,①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，③當(dāng)吋，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)吋，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意可知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由（1）可知：①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，則恒成立②當(dāng)時，在單調(diào)遞減，則應(yīng)（舍）③當(dāng)時，，則應(yīng)有令，則，且在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又恒成立，則無解綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合存在性、任意性的定義進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.18、（1）（2）【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意得，點(diǎn)，滿足，可得在橢圓上，可得：，且，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，，，當(dāng)時，，此時A,B關(guān)于y軸對稱，則重心為，由得：，則，此時與橢圓不會有兩交點(diǎn)，故不合題意，故；聯(lián)立與橢圓方程,可得，可得，化為，，，①，設(shè)的重心，由，可得②由重心公式可得，代入②式，整理可得可得③①式代入③式并整理得,則，，令，則，可得，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程形式是解決本題的關(guān)鍵.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證得，利用線面平行的判定定理，即可求解；（2）以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量的夾角公式，即可求解【小問1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，由，，則，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以方面為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立坐標(biāo)系，可得，，，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則又平面的法向量為；則，所以平面與平面所成的銳二面角為.20、（1）（2），【解析】（1）用待定系數(shù)法設(shè)出圓心，根據(jù)圓過點(diǎn)和弦長列出方程求解即可；（2）當(dāng)三點(diǎn)共線時有最小值，求出直線MN的方程，令y=0即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)圓心，因為y軸被圓M截得的弦長為4，所以，又，則，化簡得，解得，則圓心，半徑，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線時等號成立，因為，則直線的方程為，即，令，得，則21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點(diǎn)差法即可求解中點(diǎn)弦斜率和中點(diǎn)弦方程.【小問1詳解】設(shè)，，E(x，y)，∵，，且，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓設(shè)橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】根據(jù)橢圓對稱性可知直線l斜率存在，設(shè)，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.22、（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知建立方程組，求得數(shù)列的首項和公比，從而求得數(shù)列的通項；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得和（），運(yùn)用錯位相減法可求得數(shù)列的和【詳解】解：