北京市第五十六中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

北京市第五十六中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在此橢圓上,,則的面積等于A. B.C. D.2．已知，，，，則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.3．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.644．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)t是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．?dāng)€（cuán）尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐軸的截面）是底邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B.C. D.7．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.8．圓C：的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和9．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．拋物線準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.11．若不等式組表示的區(qū)域?yàn)椋坏仁奖硎镜膮^(qū)域?yàn)?，向區(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中的芝麻數(shù)約為（）A. B.C. D.12．已知，若與的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則（）A.1 B.3C.6 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________；半徑為_(kāi)__________.14．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.15．圓和圓的公切線的條數(shù)為_(kāi)_____16．在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線上的點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.（1）求與平面所成角的正切值；（2）求證：.18．（12分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.19．（12分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.①求的方程，并說(shuō)明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(diǎn)(異于原點(diǎn))，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.20．（12分）小張?jiān)?020年初向建行貸款50萬(wàn)元先購(gòu)房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開(kāi)始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).22．（10分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計(jì)算得，，，（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲(chǔ)蓄之間的變化情況，并預(yù)測(cè)當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲(chǔ)蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，結(jié)合定義及余弦定理可求得值，由及三角形面積公式即可求解.【詳解】橢圓則，所以，則由余弦定理可知代入化簡(jiǎn)可得，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，正弦定理與余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，三角形面積公式的用法，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】不等式性質(zhì)相關(guān)的題型，可以通過(guò)舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負(fù)數(shù)，因?yàn)?，則，故A錯(cuò).若、，則，故B錯(cuò).由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)椋?，故C對(duì).若，因?yàn)椋?，故D錯(cuò).故選：C.3、B【解析】由等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.4、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D5、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關(guān)系確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋允堑某浞植槐匾獥l件，選A.【點(diǎn)睛】本題考查解含絕對(duì)值不等式、解一元二次不等式以及充要關(guān)系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B7、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A8、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計(jì)算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為故選：C9、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過(guò)，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長(zhǎng)的最小值為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D10、D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，利用幾何概型得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率，進(jìn)而可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中三角形ABC及其內(nèi)部，不等式表示的區(qū)域如下圖中的圓及其內(nèi)部：由圖可得，A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為，區(qū)域的面積為圓的面積，即，其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積，所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積，所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故選:A.12、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出【詳解】的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，而的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以，又，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為故答案為：；14、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3，故答案為：3.15、3【解析】判斷出兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線，內(nèi)切關(guān)系1條公切線，相交關(guān)系2條公切線，外切關(guān)系3條公切線，外離關(guān)系4條公切線?！驹斀狻坑深}知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：316、4【解析】根據(jù)拋物線的定義，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意：拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，由拋物線定義可得，解得，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方體，又是空間垂直問(wèn)題，∴易采用向量法，∴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，欲證，只須證，再用向量數(shù)量積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】在正方體中，平面，連接，則為與平面所成的角，又，，，∴；【小問(wèn)2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則∴，，∴，∴.18、(1)(2)=2【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面積==,故=4，而故=8，解得=219、（1）；（2）①，圓；②存在，.【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)題意，得到半徑，根據(jù)弦長(zhǎng)的幾何表示，由題中條件，列出方程求解，得出，從而可得圓心和半徑，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）①設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，由題中條件，得到，代入圓的方程，即可得出結(jié)果；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)），設(shè)，根據(jù)題意，得到，再由①，得到，兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)整理，得到，推出，求解得出，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑.∵圓心到直線的距離，由，解得.故圓心為或，半徑等于.∵圓與軸正半軸相切圓心只能為故圓的方程為；（2）①設(shè)，則：，，∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即：所以點(diǎn)的軌跡方程為，它是一個(gè)以為圓心，以為半徑的圓；②假設(shè)存在一點(diǎn)滿足（其中為常數(shù)）設(shè)，則：整理化簡(jiǎn)得：，∵在軌跡上，化簡(jiǎn)得：，所以整理得，解得：；存在滿足題目條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的方程，考查圓中的定點(diǎn)問(wèn)題，涉及圓的弦長(zhǎng)公式等，屬于常考題型.20、每年至少要還6.17萬(wàn)元.【解析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬(wàn)元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬(wàn)元的本息和相等，故有購(gòu)房款50萬(wàn)元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬(wàn)元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬(wàn)元.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入可得值，得定點(diǎn)坐標(biāo)【小問(wèn)1詳解】已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得（因?yàn)椋?，所以拋物線方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意設(shè)直線方程為，設(shè)由得，，，又，