2025屆吉林省撫松五中、長白縣實驗中學、長白山二中、長白山實驗中學數(shù)學高三上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析_第1頁
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2025屆吉林省撫松五中、長白縣實驗中學、長白山二中、長白山實驗中學數(shù)學高三上期末學業(yè)水平測試模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.定義在上函數(shù)滿足,且對任意的不相等的實數(shù)有成立,若關于x的不等式在上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.2.拋物線的準線方程是,則實數(shù)()A. B. C. D.3.已知全集,則集合的子集個數(shù)為()A. B. C. D.4.下列不等式正確的是()A. B.C. D.5.在正項等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.86.直角坐標系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點,若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.7.設拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.38.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立9.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.510.在三棱錐中,,,,,點到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.11.已知符號函數(shù)sgnxf(x)是定義在R上的減函數(shù),g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),則()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]12.如圖所示,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋(球體)離蛋巢底面的最短距離為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則a的取值范圍是______.14.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示,下列說法中正確的是______.①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同;②支出最高值與支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入為50萬元;④利潤最高的月份是2月份.15.實數(shù)滿足,則的最大值為_____.16.在編號為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中,一次隨機抽取其中的三張,則抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)的概率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設,函數(shù).(1)當時,求在內(nèi)的極值;(2)設函數(shù),當有兩個極值點時,總有,求實數(shù)的值.18.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點與極值.(2)當,時,證明:.19.(12分)近年來,隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁,很多人為了自己的健康,外出時選擇戴口罩,在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中,共調(diào)查了人,其中女性人,男性人,并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示:(1)利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關系并說明理由;(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;(3)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關系.附:20.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標方程;(2)已知點是曲線上的任意一點,又直線上有兩點和,且,又點的極角為,點的極角為銳角.求:①點的極角;②面積的取值范圍.21.(12分)中國古建筑中的窗飾是藝術和技術的統(tǒng)一體,給人于美的享受.如圖(1)為一花窗;圖(2)所示是一扇窗中的一格,呈長方形,長30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯(不含長方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個菱形和六根支條構(gòu)成,整個窗芯關于長方形邊框的兩條對稱軸成軸對稱.設菱形的兩條對角線長分別為xcm和ycm,窗芯所需條形木料的長度之和為L.(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長度均不小于2cm,每個菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個窗芯至少需要多長的條形木料(不計榫卯及其它損耗)?22.(10分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關系,構(gòu)造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關系,計算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導函數(shù),計算最值,即可得出答案.2、C【解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.3、C【解析】

先求B.再求,求得則子集個數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數(shù)為故選C【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數(shù),熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵,是基礎題4、D【解析】

根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項,又由,所以.故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對數(shù)的比較大小問題,其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.5、B【解析】

根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算,意在考查學生的計算能力.6、D【解析】

根據(jù)題干得到點A坐標為,代入拋物線得到坐標為,再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形,設直線OA為,設點A坐標為,代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).7、A【解析】

分析:題設的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準線或焦點的距離來求解.8、A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點:全稱命題.9、B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關系式.10、C【解析】

首先根據(jù)垂直關系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個表達式,在中,可以計算出的一個表達式,根據(jù)長度關系可構(gòu)造等式求得半徑,進而求出球的表面積.【詳解】取中點,由,可知:,為三棱錐外接球球心,過作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設,,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題,求解幾何體外接球相關問題的關鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.11、A【解析】

根據(jù)符號函數(shù)的解析式,結(jié)合f(x)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的減函數(shù),當x>0時,x<ax,則有f(x)>f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此時sgn[g(x)]=1,當x=0時,x=ax,則有f(x)=f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此時sgn[g(x)]=0,當x<0時,x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此時sgn[g(x)]=﹣1,綜合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故選:A.【點睛】此題考查函數(shù)新定義問題,涉及函數(shù)單調(diào)性辨析,關鍵在于讀懂定義,根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.12、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為,又因為雞蛋的體積為,所以球的半徑為,所以球心到截面的距離,而截面到球體最低點距離為,而蛋巢的高度為,故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題,考查球體有關的知識.在解答過程中,如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內(nèi)接或外接幾何體的問題時,可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面,然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

函數(shù)等價為,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增,即為,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范圍.【詳解】,等價為,且時,遞增,時,遞增,且,在處函數(shù)連續(xù),可得在R上遞增,即為,可得,解得,即a的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.14、①②③【解析】

通過圖片信息直接觀察,計算,找出答案即可.【詳解】對于①,2至月份的收入的變化率為20,11至12月份的變化率為20,故相同,正確.對于②,支出最高值是2月份60萬元,支出最低值是5月份的10萬元,故支出最高值與支出最低值的比是6:1,正確.對于③,第三季度的7,8,9月每個月的收入分別為40萬元,50萬元,60萬元,故第三季度的平均收入為50萬元,正確.對于④,利潤最高的月份是3月份和10月份都是30萬元,高于2月份的利潤是80﹣60=20萬元,錯誤.故答案為①②③.【點睛】本題考查利用圖象信息,分析歸納得出正確結(jié)論,屬于基礎題目.15、.【解析】

畫出可行域,解出可行域的頂點坐標,代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值,比較大小得到目標函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當直線過點時直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,若可行域是一個封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值,從而確定目標函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.16、【解析】

先求出所有的基本事件個數(shù),再求出“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個數(shù),利用古典概型的概率計算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機抽取其中的三張,所有基本事件為:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10個,其中“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”包含6個基本事件,因此“抽取的三張卡片編號之和是偶數(shù)”的概率為:.故答案為:.【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值是,無極小值;(2)【解析】

(1)當時,可求得,令,利用導數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點,從而可得原函數(shù)的極值點及極大值;(2)表示出,并求得,由題意,得方程有兩個不同的實根,,從而可得△及,由,得.則可化為對任意的恒成立,按照、、三種情況分類討論,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決;【詳解】(1)當時,.令,則,顯然在上單調(diào)遞減,又因為,故時,總有,所以在上單調(diào)遞減.由于,所以當時,;當時,.當變化時,的變化情況如下表:+-增極大減所以在上的極大值是,無極小值.(2)由于,則.由題意,方程有兩個不等實根,則,解得,且,又,所以.由,,可得又.將其代入上式得:.整理得,即當時,不等式恒成立,即.當時,恒成立,即,令,易證是上的減函數(shù).因此,當時,,故.當時,恒成立,即,因此,當時,所以.綜上所述,.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識,考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力,該題綜合性強,難度大,對能力要求較高.18、(1)極小值點為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】

先對函數(shù)求導,結(jié)合已知及導數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域為.,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點為,極小值為,無極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查利用導數(shù)證明不等式,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.19、(1)圖形見解析,理由見解析;(2)見解析;(3)犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系【解析】

(1)利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關系;(2)填寫列聯(lián)表即可;(3)由表中數(shù)據(jù),計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論.【詳解】解:(1)在等高條形圖中,兩個深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率,比較圖中兩個深色條的高可以發(fā)現(xiàn),女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率,因此可以認為性別與霧霾天外出帶口罩有關系.(2)列聯(lián)表如下:戴口罩不戴口罩合計女性男性合計(3)由(2)中數(shù)據(jù)可得:.所以,在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系.【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應用問題,也考查了登高條形圖的應用問題,屬于基礎題.20、(1)曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.的極坐標方程為(2)①②【解析】

(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對應的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標方程,由此求得點的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進而求得,從而求得點的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點到直線的距離的表達式,結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點到直線的距離的最大值和最小值,進而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因為曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因為則曲線的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線為圓心在原點,半徑為2的圓.所以的極坐標方程為,即.(2)①點的極角為,代入直線的極坐標方程得點極徑為,且,所以為等腰三角形,又直線的普通方程為,又點的極角為銳角,所以,所以,所以點的極角為.②解法1:直線的普通方程為.曲線上的點到直線的距離.當,即()時,取到最小值為.當,即()時,取到最大值為.所以面積的最大值為;所以面積的最小值為;故面積的取值范圍.解法2:直線的普通方程為.因為圓的半徑為2,且圓心到

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