河北省隆華存瑞中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

河北省隆華存瑞中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝12．若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．若雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.4．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點(diǎn)，弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20225．直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.77．已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.8．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種C.240種 D.480種9．若，則的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.410．設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，11．已知過點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.12．不等式的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l：和圓C：，過直線l上一點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為A，則的最小值為______14．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為______千億元15．直線與直線垂直，則______16．已知圓：，：.則這兩圓的連心線方程為_________（答案寫成一般式方程）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率18．（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF（1）證明：AB⊥CF；（2）求點(diǎn)C到平面BEF距離；（3）求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值19．（12分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.記.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，求使得不等式成立的的最小值.20．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點(diǎn)分別的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，且長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，求弦長.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求線段的長度；（2）是否存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面所成的二面角的余弦值為，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)?，解?【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.2、C【解析】將方程有解，轉(zhuǎn)化為方程有解求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠逃薪?，所以方程有解，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C3、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D4、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點(diǎn)的最短弦長，再結(jié)合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點(diǎn)中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點(diǎn)，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A5、A【解析】根據(jù)直線與直線的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線一般式中直線與直線垂直的系數(shù)關(guān)系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.6、A【解析】根據(jù)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，得到點(diǎn)P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4，∴點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.故選：A.7、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D8、C【解析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.9、D【解析】由基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.即所求最小值.故選：D10、B【解析】全稱命題的否定時(shí)特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】命題，，則為“，”.故選：B11、B【解析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來確定點(diǎn)在圓上，然后求出過點(diǎn)的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，所以過點(diǎn)的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，解得.故選：B.12、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個(gè)必要不充分條件是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】求出圓C的圓心坐標(biāo)、半徑，再借助圓的切線性質(zhì)及勾股定理列式計(jì)算作答.【詳解】圓C：，圓心為，半徑，點(diǎn)C到直線l的距離，由圓的切線性質(zhì)知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)P是過點(diǎn)C作直線l的垂線的垂足時(shí)取“=”，所以的最小值為1故答案為：114、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6515、##【解析】根據(jù)兩直線垂直得，即可求出答案.【詳解】由直線與直線垂直得，.故答案為：.16、【解析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出直線方程，再化成一般式即可【詳解】解：圓，即，兩圓的圓心為：和，這兩圓的連心線方程為：，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因?yàn)榍?，解得，可得雙曲線方程，進(jìn)而可得的漸近線方程（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，，再由兩點(diǎn)之間距離公式得，解得，進(jìn)而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.18、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算AC，再證明即可推理作答.(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離.(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.小問1詳解】在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，，即，有，則，即，因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，于是得平面，又平面，所以.【小問2詳解】因四邊形ACEF為正方形，即，由(1)知兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，而，于是得點(diǎn)C到平面BEF的距離，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離為.【小問3詳解】由(2)知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，設(shè)平面BEF與平面ADF夾角為，，則有，，所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間向量求二面角時(shí)，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算19、（1），.（2）5.【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式探求出其項(xiàng)間關(guān)系，由此求出的公比，進(jìn)而求得，的通項(xiàng)公式.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合錯(cuò)位相減法求出，再將不等式變形，經(jīng)推理計(jì)算得解.【小問1詳解】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，即，則有，即，而，解得，又，則，所以，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，.【小問2詳解】解：由(1)知，，則，則，兩式相減得：于是得，由得：，即，令，，顯然，，，，，，由，解得，即數(shù)列在時(shí)是遞增的，于是得當(dāng)時(shí)，即，，則，所以不等式成立的n的最小值是5.20、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個(gè)法向量，然后利用向量法求解點(diǎn)面距離.（3）設(shè)（），由可得關(guān)于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，從而，所以異面直線AE與DF所成角的大小為.小問2詳解】，設(shè)平面DEF的法向量為，則，即，取，得到平面DEF的一個(gè)法向量為.點(diǎn)A到平面DEF的距離為.【小問3詳解】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，設(shè)（），則，從而.即，即，此方程無實(shí)數(shù)解，故不存在滿足條件的點(diǎn)M.21、（1）（2）【解析】（1）由已知直接可得；（2）聯(lián)立方程組求出A，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式可得.【小問1詳解】∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且長軸長為4，，，，故橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立解得和，，∴弦長.22、（1）（2）存在，A1P=【解析】（1）作出線面角，因?yàn)閷厼槎ㄖ担脏忂呑钚r(shí)線面角最大；（2）建立空間