浙江省杭州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期杭州市高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，必須在答題卡指定位置上用黑筆填寫學(xué)校名、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字涂黑.3．答案必須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，寫在其他地方無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得，即可求解．【詳解】解：，得，得，故選：A2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】由向量平行列出方程，求出答案.【詳解】由題意得，解得或3，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足要求.故選：C3.已知表示兩個(gè)不同的平面，表示三條不同的直線，（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】ABC選項(xiàng)，可舉出反例；D選項(xiàng)，可由平行和垂直的性質(zhì)和判定證明.【詳解】A選項(xiàng)，若，則或，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，不能推出，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則不能推出，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，由面面垂直的判定定理，可得，D正確.故選：D4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)證明必要性，舉反例否定充分性即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但，故充分性不成立，若，當(dāng)時(shí)，必有成立，當(dāng)時(shí)，必有，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，故B正確.故選：B5.在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)內(nèi)角和求B的值，然后再根據(jù)正弦定理求a的值.【詳解】由題意得,由正弦定理得,則,故選:B.6.為了得到函數(shù)的圖象，可以把的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】D【解析】【分析】，異名變同名，再由平移個(gè)單位得到，兩個(gè)解析式相等即可.【詳解】，平移個(gè)單位得到，，的一個(gè)取值可以為.向右平移個(gè)單位長度.故選：D.7.在某種藥物實(shí)驗(yàn)中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)動(dòng)物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么至少經(jīng)過（）個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】由題意得到不等式，兩邊取對(duì)數(shù)求出答案.【詳解】物實(shí)驗(yàn)中，血液中藥物含量為的濃度為，設(shè)至少經(jīng)過個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”，根據(jù)題意，兩邊取對(duì)數(shù)得，可得.所以至少經(jīng)過個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”.故選：D.8.已知是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由題意把兩根代入方程得兩個(gè)式子，再結(jié)合韋達(dá)定理聯(lián)立兩個(gè)式子化簡變形即可.【詳解】是方程的兩個(gè)實(shí)根，，①，②，①式②式得：，即，，即，得.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】借助函數(shù)的單調(diào)性判定A、B、D；利用作差法判定C.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，A錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，B正確；，因?yàn)?，根?jù)在上單調(diào)遞增，所以，則，，則，則，C錯(cuò)誤；函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且恒成立，所以為減函數(shù)，而，則，D正確.故選：BD10.如圖的“弦圖”由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，則（）A.每一個(gè)直角三角形的面積為1 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，可判定A正確；設(shè)直角三角形的邊長分別為，求得，結(jié)合三角的定義和三角恒等變換的公式，可判定C、D正確.【詳解】對(duì)于A中，由小正方形的面積為1，大正方形的面積為5，則小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，且可得每個(gè)直角三角形的面積為，所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)直角三角形的邊長分別為（其中），由，可得，則，聯(lián)立方程組，解得，又因?yàn)椋?，所以B不正確；對(duì)于C中，由，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選：ACD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，定義函數(shù)，則（）A.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸 B.函數(shù)是周期為的函數(shù)C. D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出，，則，代入法判斷A；由可判斷B；利用換元法令可對(duì)C判斷；化簡，可判斷D.【詳解】由題意得在角的終邊上，且，所以，，則，，所以不是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，A錯(cuò)誤；，因?yàn)闉橹芷跒榈暮瘮?shù)，故B正確；，令，所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值為，所以，故C正確；因?yàn)?，則，則，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意求出，，則.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合．若，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定的并集結(jié)果，分類討論求解參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)椋?必定在中，當(dāng)時(shí)，解得或，而此時(shí)有或，解得或，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，不滿足，故排除，綜上，即實(shí)數(shù)的值為.故答案為：13.已知，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：14.一個(gè)呈直三棱柱的密閉容器，底面是邊長為的正三角形，高為6，有一個(gè)半徑為1的小球在這個(gè)容器內(nèi)可以向各個(gè)方向自由滾動(dòng)，則小球能接觸到的容器內(nèi)壁的最大面積為______．【答案】【解析】【分析】依題意得，小球能接觸到的容器內(nèi)壁分為兩部分，即上下底面部分與側(cè)面部分，上下底面部分是正三角形，其邊長為：，側(cè)面部分是底邊長為，高為的矩形，即可求解．【詳解】解：因?yàn)橹比庵拿荛]容器的底面邊長為，且為正三角形，容器的高為，小球的半徑為，如圖所示：則小球在這個(gè)容器內(nèi)向各個(gè)方向自由滾動(dòng)時(shí)，小球能接觸到的容器內(nèi)壁分為兩部分，即上下底面部分與側(cè)面部分，上下底面部分是正三角形，其邊長為：，其面積為：；側(cè)面部分是底邊長為，高為的矩形，其面積為：；則小球能接觸到的容器內(nèi)壁的最大面積為：．故答案：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明結(jié)論；（2）若，求函數(shù)的值域．【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過定義法作差判斷正負(fù)求解；（2）由，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可求解．【小問1詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明：任取，且，則因?yàn)?，所以，所以，得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】解：因?yàn)?，則，，所以，由（1）的證明過程知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，顯然，故，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?6.如圖，點(diǎn)分別是矩形的邊上的點(diǎn)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若是的中點(diǎn)，依次為邊的2025等分點(diǎn)．求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即得.（2）取的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)向量公式求和即可得解.【小問1詳解】在矩形中，，，即，所以.【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由依次為邊的2025等分點(diǎn)，，得，所以.17.已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）代入求出值，再利用二倍角的余弦公式、輔助角公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)減區(qū)間.（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的意義，結(jié)合和角的余弦公式求解即得.【小問1詳解】函數(shù)，由，得，而，則，，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，，，所以.18.在三棱錐中，，其余各棱長均為6，點(diǎn)在棱上，，過點(diǎn)的平面與直線垂直，且與分別交于點(diǎn)．（1）求線段的長度；（2）求二面角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正三角形、直角三角形求解即得.（2）取的中點(diǎn)，確定二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得.（3）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】依題意，直線平面，而平面，則，由，得，由為正三角形，得，則，又為正三角形，即，因此.【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則有，因此是二面角的平面角，顯然，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.【小問3詳解】由（2）知，平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于，又平面平面，于是平面，，則點(diǎn)到平面距離，由（1）知的面積，，，顯然，則，，在中，，，的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，因此，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．19.已知函數(shù)的定義域均為．定義：①若存在個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，使得，則稱與關(guān)于“維交換”；②若對(duì)任意，恒有，則稱與關(guān)于“任意交換”．（1）判斷函數(shù)與是否關(guān)于“維交換”，并說明理由；（2）設(shè)，若存在函數(shù)，使得與關(guān)于“任意交換”，求的值；（3）設(shè)，若與關(guān)于“3維交換”，求實(shí)數(shù)值．【答案】（1）與關(guān)于“維交換”，理由見解析；（2）0；（3）.【解析】【分析】（1）由“維交換”的定義，列出方程并求解即可判斷.（2）由與關(guān)于“任意交換”的定義，列出關(guān)系等式，由等式的特征設(shè)出，借助恒恒等式求解即得.（3）根據(jù)給定條件可得，再按討論分段函數(shù)零點(diǎn)即可得解.【小問1詳解】函數(shù)與關(guān)于“維交換”，理由如下：顯然，令，即，解得，因此有唯一解，所以與關(guān)于“維交換”.【小問2詳解】依題意，對(duì)任意，恒有成立，即對(duì)任意，存在函數(shù)，，顯然等式左邊是關(guān)于的4次多項(xiàng)式，則設(shè)，于是，由奇次項(xiàng)系數(shù)得，又，則，，解得，因此存在，使得與關(guān)于“任意交換”，所以.【小問3詳解】令，依題意，函數(shù)在R上有3個(gè)零點(diǎn)，顯然，即是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則，，即函數(shù)在時(shí)無零點(diǎn)，若，則在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在時(shí)只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，因此，①