第五章 一元一次方程（21類題型突破）

第五章一元一次方程重要題型【題型1方程及一元一次方程的定義】【典例1-1】下列各式中，是方程的是（）A．7x﹣4＝3x B．4x﹣6 C．4+3＝7 D．2x＜5【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（）A． B．4x2＝24 C．x+y＝80 D．【變式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）A．x+1＝0 B．x2﹣x＝0 C．x+y＝1 D．﹣2＝1【變式1-1】在下列方程中，是一元一次方程的是（）A．2xy＝4 B．x2＝1 C．2x＝0 D．x+y＝2【題型2利用一元一次方程的定義求值】【典例2】若（m﹣2）x|m|﹣1＝5是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【變式2-1】若方程（a﹣2）x|a|﹣1＝a+3是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【變式2-2】已知關(guān)于x的方程3﹣（m+1）x|m|＝0是一元一次方程，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上結(jié)果均不正確【題型3方程的解】【典例3】已知x＝3是關(guān)于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，則a的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1【變式3-1】已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，則a＝．【變式3-2】如果x＝﹣1是方程x+a＝3的解，則a＝．【變式3-3】若2是方程2a﹣3x＝2的解，則a＝【題型4利用等式的性質(zhì)變形】【典例4】下列變形中，不正確的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a＝b，則a﹣3＝b﹣3 D．若，則a＝b【變式4-1】運用等式性質(zhì)進行的變形，不一定成立的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么3﹣2a＝3﹣2b C．如果a2＝2a，那么a＝2 D．如果，那么4a＝3b【變式4-2】下列運用等式性質(zhì)正確的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果ac＝bc，那么a＝b C．如果＝，那么a＝b D．如果a2＝ab，那么a＝b【變式4-3】下列說法正確的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a＝b，那么ac＝bc C．如果a＝b，那么 D．如果a＝﹣b，那么a2+b2＞0【題型5方程的解中遮擋問題】【典例5】下面是一個被墨水污染過的方程：2x﹣＝3x+，答案顯示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【變式5-1】下面是一個被墨水污染過的方程：2x﹣＝x﹣，答案顯示此方程的解是x＝，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【變式5-2】下面是一個被墨水污染過的方程：2x＝3x+■，答案顯示此方程的解是x＝1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C． D．【變式5-3】下面是一個被墨水污染過的方程：2x﹣＝3x+★，答案顯示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【題型6解一元一次方程】【典例6】解方程：（1）3x+5＝4x+1； （2）．【變式6-1】解方程：（1）5x+3＝﹣2x﹣11； （2）．【變式6-2】解方程：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8）； （2）．【變式6-3】解下列方程：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16． （2）．【題型7根據(jù)兩個一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)】【典例7】若2（a+3）的值與﹣5互為相反數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．5【變式7-1】若多項式3x+5與5x﹣7的值相等，則x的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【變式7-2】當x＝時，代數(shù)式2x﹣1的值與代數(shù)式3x+3的值相等．【變式7-3】若代數(shù)式3a+1的值與代數(shù)式3（a﹣1）的值互為相反數(shù)，則a＝．【題型8錯解一元一次方程的問題】【典例8】某同學解方程3x﹣1＝□x+3時，把□處數(shù)字看錯后解得x＝﹣2，那么他把□處看成了（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【變式8-1】某同學在解方程5x﹣1＝■x+3時，把■處的數(shù)字看錯了，解得x＝﹣，則該同學把■看成了（）A．3 B．﹣3 C．﹣8 D．8【變式8-2】同學小明在解關(guān)于x的方程5x﹣4＝（）x時，把（）處的數(shù)看錯，得錯解x＝﹣1，則小明把（）處看成了．【題型9一元一次方程的解在新定義中運用】【典例9】新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0為“友好方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個解為n，求n的值．【變式9-1】定義一種新運算?：a?b＝4a+b，試根據(jù)條件回答問題（1）計算：2?（﹣3）＝；（2）若x?（﹣6）＝3?x，請求出x的值；（3）這種新定義的運算是否滿足交換律，若不滿足請舉一個反例，若滿足，請說明理由．【變式9-2】對有理數(shù)a，b規(guī)定新運算※的意義是：a※b＝a+2b，則方程3x※x＝2﹣x的解是（）A． B．3 C．﹣3 D．【變式9-3】新華商店店慶促銷，有一種新型書包，原價每個x元，第一次降價打八折，第二次降價每個又減10元，經(jīng)兩次降價后售價為70元．則所列方程是（）A．70﹣0.8x＝10 B．0.08x﹣10＝70 C．0.8x﹣10＝70 D．x﹣0.8x﹣10＝70【變式9-4】新定義一種運算“☆”，規(guī)定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，則x的值為．【變式9-5】新定義一種運算符號“△”，規(guī)定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，則m的值為．【題型10和、差、倍、分問題】【典例10】某班舉行了“慶祝建黨90周年知識競賽”活動，班長安排張小明購買獎品，如圖兩幅圖是張小明買回獎品時與班長的對話情況：請根據(jù)圖1、圖2的信息，解答下列問題：（1）張小明買了兩種筆記本各多少本？（說明：要求列一元一次方程解決問題）（2）請你解釋為什么班長說不可能找回68元錢．【變式10-1】A種飲料比B種飲料單價少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料，一共花了13元，如果設(shè)A種飲料單價為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是（）A．2（x﹣1）+3x＝13 B．2（x+1）+3x＝13 C．2x+3（x+1）＝13 D．2x+3（x﹣1）＝13【變式10-2】方方同學用50元錢去購買筆記本和彩色水筆共20件，已知每本筆記本4元，每支彩色水筆2元，設(shè)方方同學買了x本筆記本，則（）A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50 C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20【變式10-3】青驕課堂2023年禁毒知識競賽答題，共設(shè)20道選擇題，要求每題必答，每答對一題得5分，答錯一題扣1分，小新一共得了82分，他答對了道題．【題型11行程問題】【典例11】甲、乙兩列火車分別從A、B兩城同時相向開出，當兩車相遇后，又繼續(xù)前進，甲車行了全程的時，乙車恰好行了全程的．這時兩車相距364km．A、B兩城相距多少千米？【變式11-1】甲地到乙地的高鐵開通后，運行時間由原來的3.5小時縮短至1小時，運行里程縮短了40千米．已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時快200千米，求高鐵的平均速度．【變式11-2】甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，速度為120千米/時：快車開出30分鐘時，一列慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地，速度為90千米時．設(shè)慢車行駛的時間為x小時，快車到達乙地后停止行駛，根據(jù)題意解答下列問題．（1）當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；（2）當兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程．【變式11-3】兩輛汽車同時從相距300千米的兩地相對開出，2小時后相遇．已知兩輛車的速度比是2：3，求較慢的一輛車每小時行駛多少千米？【題型12工程問題】【典例12】整理一批圖書，由一個人做要40小時完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做4小時，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？【變式12-1】學校舉辦一年一屆的科技文化藝術(shù)節(jié)活動，需制作一塊活動展板，請來甲和乙兩名工人．已知甲單獨完成需要4天，乙單獨完成需要6天．（1）兩個人一起做需要天完成；（2）現(xiàn)由乙先做1天，再由兩個人一起做，還需要多少天可以完成這項工作？【變式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房間，經(jīng)調(diào)查3名師傅一天粉刷8個房間，還剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9個房間；每名師傅比徒弟一天多刷30m2的墻面．（1）求每個房間需要粉刷的面積；（2）該公司現(xiàn)有36個這樣的房間需要粉刷，若只聘請1名師傅和2名徒弟一起粉刷，需要幾天完成？【題型13順水逆水問題】【典例13】兩架飛機從同一機場同時出發(fā)反向而飛，甲飛機順風飛行，乙飛機逆風飛行．已知兩飛機在無風的速度都是500千米每小時，風速是a千米每小時．（1）甲、乙飛機飛行時的速度分別是多少？（2）3小時后兩機的行程分別是多少？（3）求3小時后兩機相距多遠？（4）3小時后，甲飛機比乙飛機多航行多少千米？【變式13-1】一架飛機在A，B兩城市之間飛行，風速為20km/h，順風飛行需要8h，逆風飛行需要8.5h．求無風時飛機的飛行速度和A，B兩城市之間的航程．【變式13-2】在風速為24km/h的條件下，一架飛機順風從A機場飛到B機場要用2.8h，它逆風飛行同樣的航線要用3h．求（1）無風時這架飛機在這一航線的平均航速；（2）兩機場之間的航程是多少？【變式13-3】一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/時．順風飛行需要2小時，逆風飛行需要3小時，求無風時飛機的速度．【變式13-4】一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/小時，順風飛行需2小時，逆風飛行需要3小時．（1）求無風時飛機的飛行速度；（2）求兩城之間的距離．【題型14商品利潤問題】【典例14】某商店購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共100只，購進100只節(jié)能燈的進貨款恰好為2600元，達兩種節(jié)能燈的進價、預售價如表：（利潤＝售價﹣進價）型號進價（元/只）預售價（元/只）甲型2025乙型3540（1）求該商店購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈各多少只？（2）在實際銷售過程中，商店按預售價將購進的全部甲型號節(jié)能燈和部分乙型號節(jié)能燈售出后，決定將剩下的乙型號節(jié)能燈打九折銷售，兩種節(jié)能燈全部售完后，共獲得利潤380元，求乙型號節(jié)能燈按預售價售出了多少只．【變式14-1】一件大衣按其進價提高50%后標價．由于季節(jié)原因，現(xiàn)以標價的七折售出，結(jié)果仍盈利18元．這件上衣的進價是多少元？（提示：利潤＝售價﹣進價）【變式14-2】一臺手機進價是2800元，按照標價3400元的九折出售；一塊電子手表進價是600元，按照標價的八折出售，結(jié)果每臺手機的利潤比每塊手表的利潤多140元，問手表的標價是多少元？【變式14-3】我校七年級社會實踐小組去某商場調(diào)查商品的銷售情況，了解到該商場以每條80元的價格購進了某品牌褲子500條，并以每條120元的價格銷售了400條，商場準備采取促銷措施，將剩下的褲子降價銷售．（1）前400條褲子的利潤是多少元？（2）當每條褲子降價多少元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預期目標？【題型15分配問題】【典例15】《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”有這樣的問題：“今有共買羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．問人數(shù)、羊價各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊，每人出6元，則差45元；每人出8元，則差3元．求人數(shù)和羊價各是多少？設(shè)買羊人數(shù)為x人，則根據(jù)題意可列方程為（）A．6x+45＝8x+3 B．6x+45＝8x﹣3 C．6x﹣45＝8x+3 D．6x﹣45＝8x﹣3【變式15-1】我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設(shè)銀子共有x兩，則可列方程為（）A．7x+4＝9x﹣8 B．7x﹣4＝9x+8 C． D．【變式15-2】近年來，網(wǎng)購的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活．某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，設(shè)該分派站有x名快遞員，則可列方程為（）A．10x﹣6＝12x+6 B．10x+6＝12x﹣6 C． D．【變式15-3】某學校有x間男生宿舍和y個男生，若每間宿舍住8個人，則還多4個人無法安置；若每間宿舍安排10個人，則還多6張空床位，據(jù)此信息列出方程，下列4個方程中正確的是（）①8x﹣4＝10x+6；②；③；④8x+4＝10x﹣6．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【變式15-4】為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購買的蔬菜包由志愿者統(tǒng)一派送．若每位志愿者派送8個蔬菜包，則少5個；若每個志愿者派送6個，則剩下4個未送，設(shè)安排x個志愿者派送，則下面所列方程中正確的是（）A．8x﹣5＝6x+4 B．8x+5＝6x+4 C．8x+5＝6x﹣4 D．8x﹣5＝6x﹣4【題型16配套問題】【典例16】某車間為提高生產(chǎn)總量，在原有16名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人．（1）求調(diào)入多少名工人；（2）在（1）的條件下，每名工人每天可以生產(chǎn)240個螺栓或400個螺母，1個螺栓需要2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應該安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？【變式16-1】現(xiàn)用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一張桌子配4張椅子，1立方米木料可做5張椅子或1張桌子，要使桌子和椅子剛好配套．設(shè)用x立方米的木料做桌子，則依題意可列方程為（）A．4x＝5（90﹣x） B．5x＝4（90﹣x） C．x＝4（90﹣x）×5 D．4x×5＝90﹣x【變式16-2】某車間有28名工人生產(chǎn)螺絲和螺母，每人每天生產(chǎn)1200個螺絲或1800個螺母，現(xiàn)有x個工人生產(chǎn)螺絲，恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套．為求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．1800x＝1200（28﹣x）【題型17數(shù)字與日歷問題】【典例17】觀察下列三行數(shù)：（1）第①行數(shù)中的第n個數(shù)為（用含n的式子表示）；（2）取每行數(shù)的第n個數(shù)，這三個數(shù)的和能否等于﹣318？如果能，求出n的值；如果不能，請說明理由；（3）如圖，用一個長方形方框框住六個數(shù)，左右移動方框，若方框中的六個數(shù)之和為﹣156，求方框中左上角的數(shù)．【變式17-1】一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是9，若將它的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，則所得的新數(shù)比原兩位數(shù)大9，求原來的兩位數(shù)是多少？【變式17-2】表中給出的是某月的月歷，任意選取“H”型框中的7個數(shù)（如陰影部分所示），請你運用所學的數(shù)學知識來研究，發(fā)現(xiàn)這7個數(shù)的和不可能是（）A．63 B．84 C．96 D．105【題型18方案選擇問題】【典例18】甲，乙兩家商店出售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定價40元，乒乓球每盒定價5元．而甲，乙兩店的促銷方案不同，甲店每買一副球拍贈送一盒乒乓球，乙店全部按定價的九折優(yōu)惠．該班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．（1）當購買乒乓球多少盒時，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣？（2）若購買15盒乒乓球時，請你去辦這件事，你打算去哪一家商店購買？為什么？【變式18-1】為抗擊新冠肺炎疫情，某藥店對消毒液和口罩開展優(yōu)惠活動．消毒液每瓶定價10元，口罩每包定價5元，優(yōu)惠方案有以下兩種：①以定價購買時，買一瓶消毒液送一包口罩；②消毒液和口罩都按定價的80%付款．現(xiàn)某客戶要到該藥店購買消毒液30瓶，口罩x包（x＞30）．（1）若該客戶按方案①購買需付款元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購買需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝50時，通過計算說明按方案①，方案②哪種方案購買較為省錢？（3）試求當x取何值時，方案①和方案②的購買費用一樣．【變式18-2】在“清潔鄉(xiāng)村”活動中，某村長提出了兩種購買垃圾桶方案．方案一：買分類垃圾桶，需要費用3000元，以后每月的垃圾處理費用250元；方案二：買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用500元．設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費和垃圾處理費共為M元，方案二的購買費和垃圾處理費共為N元．（1）分別用x表示M，N；（2）若交費時間為12個月，哪種方案更合適，并說明理由．（3）交費時間為多少個月時，兩種方案費用相同？【變式18-3】按照“雙減”政策，豐富課后托管服務內(nèi)容，學校準備訂購一批排球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)排球120元/個，跳繩20元/根．某體育用品商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案（顧客只能選擇其中一種方案）：A方案：買一個排球送一根跳繩；B方案：排球和跳繩都按定價的90%付款．已知要購買排球50個，跳繩x根（x＞50）．（1）若按A方案購買，一共需付款元；若按B方案購買，一共需付款元；（用含x的式子表示）（2）購買多少根跳繩時，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多？【變式18-4】隨著5G時代的來臨，張老師換了新發(fā)布的5G手機并且需要新辦一種5G套餐．運營商提出了兩種包月套餐方案，第一種是每月50元月租費，流量資費0.4元/GB；第二種是沒有月租費，但流量資費0.6元/GB．設(shè)張老師每月使用流量xGB．（1）張老師按第一種套餐每月需花費元，按第二種套餐每月需花費元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若張老師這個月使用流量200GB，通過計算說明哪種套餐比較合算；（3）張老師每月使用多少流量時，兩種套餐花費一樣多？【題型19分段計費問題】【典例9】為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控的手段達到節(jié)水的目的，該市自來水收費的價目表如下表（注：水費按月份結(jié)算，m3表示立方米）：價目表每月用水量單價不超出6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3請根據(jù)上表的內(nèi)容解答下列問題：（1）填空：若該戶居民2月份用水4m3，則應收水費元；（2）若該戶居民3月份用水8m3，則應收水費多少元？（3）若該戶居民4月份用水a(chǎn)m3（其中a＞10m3），則應收水費多少元？（用含a的代數(shù)式表示，并化簡）；（4）若該戶居民5月份的水費為36元，則5月份的用水量是多少立方米？【變式19-1】“水是生命之源”，某市自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水，規(guī)定按以下標準收取水費：用水量/月單價（元/m3）不超過20m32.8超過20m3的部分3.8另：每立方米用水加收0.2元的城市污水處理費（1）根據(jù)上表，用水量每月不超過20m3，實際每立方米收水費元；如果1月份某用戶用水量為19m3，那么該用戶1月份應該繳納水費元；（2）某用戶2月份共繳納水費80元，那么該用戶2月份用水多少m3？（3）若該用戶水表3月份出了故障，只有70%的用水量記入水表中，這樣該用戶在3月份只繳納了58.8元水費，問該用戶3月份實際應該繳納水費多少元？【變式19-2】某地自2022年12月2日起施行新的出租車計費標準（如下表）．行駛路程收費標準不超出3km的部分起步價8元超出3km不超出6km的部分2元/km超出6km的部分3元/km根據(jù)已知條件，解決下列問題．（1）若行駛路程為5km，則打車費用為1元；（2）若行駛路程為xkm（x＞6），則打車費用為元（用含x的代數(shù)式表示）；（3）當打車費用為29元時，行駛路程為多少千米？【題型20隧道或過橋問題】【典例20】已知某鐵路橋長1600米．現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用90秒，整列火車完全在橋上的時間是70秒．求這列火車的長．【變式20-1】一列火車勻速行駛經(jīng)過一座橋，火車完全通過橋共用了50s，整列火車在橋上的時間為30s，已知橋長1200m，求火車的長度和速度．【變式20-2】一列長150米的火車，以每秒15米的速度通過長600米的橋洞，從列車進入橋洞口算起，這列火車完全通過橋洞所需時間是（）A．40秒 B．60秒 C．50秒 D．34秒【題型21幾何圖形問題】【典例21】如圖是某市民健身廣場的平面示意圖，它是由6個正方形拼成的長方形，已知中間最小的正方形A的邊長是2米，（1）若設(shè)圖中最大正方形B的邊長是x米，請用含x的代數(shù)式表示出正方形F、E和C的邊長分別為，，；（2）觀察圖形的特點可知，長方形相對的兩邊是相等的（如圖中的MN和PQ，MQ與PN）．請根據(jù)這個等量關(guān)系，求出x的值；（3）現(xiàn)沿著長方形廣場的四條邊鋪設(shè)下水管道，由甲、乙2個工程隊單獨鋪設(shè)分別需要10天、15天完成．如果兩隊從同一點開始，沿相反的方向同時施工4天后，因甲隊另有任務，余下的工程由乙隊單獨施工，試問還要多少天完成？【變式21-1】如圖，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為4厘米的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5厘米的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么原正方形的面積是多少？【變式21-2】李明家有一塊長方形地，面積為135平方米，他用這塊地的種草莓．其余種豆角和茄子兩種作物．（1）種植豆角和茄子一共多少平方米？（2）若種植豆角的面積比茄子的面積少，求種植豆角的面積是多少平方米？

第五章一元一次方程重要題型【題型1方程及一元一次方程的定義】【典例1-1】下列各式中，是方程的是（）A．7x﹣4＝3x B．4x﹣6 C．4+3＝7 D．2x＜5【答案】A【解答】解：A、7x﹣4＝3x是方程；B、4x﹣6不是等式，不是方程；C、4+3＝7沒有未知數(shù)，不是方程；D、2x＜5不是等式，不是方程；故選：A．【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（）A． B．4x2＝24 C．x+y＝80 D．【答案】A【解答】解：A．方程﹣＝1是一元一次方程，故本選項符合題意；B．方程4x2＝24是一元二次方程，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；C．方程x+y＝80是二元一次方程，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；D．方程+2＝6是分式方程，不是一元一次方程，故本選項不符合題意．故選：A．【變式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）A．x+1＝0 B．x2﹣x＝0 C．x+y＝1 D．﹣2＝1【答案】A【解答】解：A、含有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為1的等式，故符合題意；B、含未知數(shù)的項最高次數(shù)為2，故不符合題意；C、含有兩個未知數(shù)，故不符合題意；D、該式子是分式方程，故不符合題意；故選：A．【變式1-1】在下列方程中，是一元一次方程的是（）A．2xy＝4 B．x2＝1 C．2x＝0 D．x+y＝2【答案】C【解答】解：A．是二元二次方程，故本選項不符合題意；B．未知數(shù)的最高次數(shù)2次，不是一元一次方程，故本選項不合題意；C．是一元一次方程，故本選項符合題意；D．是二元一次方程，故本選項不合題意．故選：C．【題型2利用一元一次方程的定義求值】【典例2】若（m﹣2）x|m|﹣1＝5是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】A【解答】解：由題意可知：，解得：m＝﹣2，故選：A．【變式2-1】若方程（a﹣2）x|a|﹣1＝a+3是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【答案】B【解答】解：由題意得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故選：B．【變式2-2】已知關(guān)于x的方程3﹣（m+1）x|m|＝0是一元一次方程，則m的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．以上結(jié)果均不正確【答案】A【解答】解：根據(jù)題意，得|m|＝1且m+1≠0．解得m＝1．故選：A．【題型3方程的解】【典例3】已知x＝3是關(guān)于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，則a的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1【答案】A【解答】解：將x＝3代入方程得：3a+2×3﹣3＝0，解得：a＝﹣1．故選：A．【變式3-1】已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，則a＝﹣4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．【變式3-2】如果x＝﹣1是方程x+a＝3的解，則a＝4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：把x＝1代入方程，得：﹣1+a＝3，解得：a＝4．故答案為：4．【變式3-3】若2是方程2a﹣3x＝2的解，則a＝4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：把x＝2代入方程，得2a﹣6＝2，解得a＝4．故答案為：4．【題型4利用等式的性質(zhì)變形】【典例4】下列變形中，不正確的是（）A．若a﹣3＝b﹣3，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a＝b，則a﹣3＝b﹣3 D．若，則a＝b【答案】B【解答】解：A、若a﹣3＝b﹣3，則a＝b，故A不符合題意；B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B符合題意；C、若a＝b，則a﹣3＝b﹣3，故C不符合題意；D、若，則a＝b，故D不符合題意；故選：B．【變式4-1】運用等式性質(zhì)進行的變形，不一定成立的是（）A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么3﹣2a＝3﹣2b C．如果a2＝2a，那么a＝2 D．如果，那么4a＝3b【答案】C【解答】解：A．符合性質(zhì)2，該變形成立，故A不符合題意；B．符合性質(zhì)1、性質(zhì)2，該變形成立，故B不符合題意；C．不符合性質(zhì)2，等式兩邊同時除以a，當a不為零時，該變形才成立，故C符合題意；D．符合性質(zhì)2，該變形成立，故D不符合題意；故選：C．【變式4-2】下列運用等式性質(zhì)正確的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果ac＝bc，那么a＝b C．如果＝，那么a＝b D．如果a2＝ab，那么a＝b【答案】C【解答】解：根據(jù)等式的基本性質(zhì)1和等式的基本性質(zhì)2可知：A，B，D都不符合題意，C符合題意，故選：C．【變式4-3】下列說法正確的是（）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a＝b，那么ac＝bc C．如果a＝b，那么 D．如果a＝﹣b，那么a2+b2＞0【答案】B【解答】解：A．如果a＝b，那么a+c＝b+c或a﹣c＝b﹣c，故A不正確；B．如果a＝b，那么ac＝bc，故B正確；C．如果a＝b，x2﹣1＝0，那么不成立，故C不正確；D．如果a＝﹣b＝0，那么a2+b2＞0不成立，故D不正確．故選：B．【題型5方程的解中遮擋問題】【典例5】下面是一個被墨水污染過的方程：2x﹣＝3x+，答案顯示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【答案】D【解答】解：∵x＝﹣1是方程的解，∴2×（﹣1）﹣＝3×（﹣1）+，﹣2﹣＝﹣3+，解得＝．故選：D．【變式5-1】下面是一個被墨水污染過的方程：2x﹣＝x﹣，答案顯示此方程的解是x＝，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【答案】B【解答】解：設(shè)被墨水遮蓋的常數(shù)是a，根據(jù)題意得：﹣＝﹣a，解得：a＝﹣2．故選：B．【變式5-2】下面是一個被墨水污染過的方程：2x＝3x+■，答案顯示此方程的解是x＝1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C． D．【答案】C【解答】解：∵x＝1是方程2x＝3x+■的解，∴2＝3+■，∴■＝﹣，故選：C．【變式5-3】下面是一個被墨水污染過的方程：2x﹣＝3x+★，答案顯示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮蓋的是一個常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．【答案】D【解答】解：設(shè)被墨水遮蓋的常數(shù)為t，將x＝﹣1代入方程，得﹣2﹣＝﹣3+t，解得t＝．即這個常數(shù)是．故選：D．【題型6解一元一次方程】【典例6】解方程：（1）3x+5＝4x+1；（2）．【答案】（1）x＝4；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）原方程移項，合并同類項得：﹣x＝﹣4，系數(shù)化為1得：x＝4；（2）原方程去分母得：7x﹣2x+40＝2x﹣16，移項，合并同類項得：3x＝﹣56，系數(shù)化為1得：x＝﹣．【變式6-1】解方程：（1）5x+3＝﹣2x﹣11；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）x＝．【解答】解：（1）5x+3＝﹣2x﹣11，移項，得5x+2x＝﹣11﹣3，合并同類項，得7x＝﹣14，系數(shù)化成1，得x＝﹣2；（2），去分母，得2x+1＝6﹣2（5x﹣2），去括號，得2x+1＝6﹣10x+4，移項，得2x+10x＝6+4﹣1，合并同類項，得12x＝9，系數(shù)化成1，得x＝．【變式6-2】解方程：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8），6x﹣21＝1﹣x﹣86x+x＝﹣7+21，7x＝14，x＝2；（2），3（3x+5）＝2（2x﹣1），9x+15＝4x﹣2，9x﹣4x＝﹣2﹣15，5x＝﹣17，x＝﹣．【變式6-3】解下列方程：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16．（2）．【答案】（1）x＝3；（2）x＝﹣1．【解答】解：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16，去括號，得3x﹣3+5x﹣5＝16，移項，得3x+5x＝16+3+5，合并同類項，得8x＝24，系數(shù)化成1，得x＝3；（2），去分母，得3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），去括號，得9x﹣3﹣12＝10x﹣14，移項，得9x﹣10x＝﹣14+3+12，合并同類項，得﹣x＝1，系數(shù)化成1，得x＝﹣1．【題型7根據(jù)兩個一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)】【典例7】若2（a+3）的值與﹣5互為相反數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．5【答案】C【解答】解：∵2（a+3）的值與﹣5互為相反數(shù)，∴2（a+3）+（﹣5）＝0，∴a＝﹣，故選：C．【變式7-1】若多項式3x+5與5x﹣7的值相等，則x的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解答】解：∵多項式3x+5與5x﹣7的值相等，∴3x+5＝5x﹣7，移項，可得：3x﹣5x＝﹣7﹣5，合并同類項，可得：﹣2x＝﹣12，系數(shù)化為1，可得：x＝6．故選：A．【變式7-2】當x＝﹣4時，代數(shù)式2x﹣1的值與代數(shù)式3x+3的值相等．【答案】﹣4．【解答】解：2x﹣1＝3x+3，3x﹣2x＝﹣1﹣3，∴x＝﹣4，∴當x＝﹣4時，代數(shù)式2x﹣1的值與代數(shù)式3x+3的值相等．故答案為：﹣4．【變式7-3】若代數(shù)式3a+1的值與代數(shù)式3（a﹣1）的值互為相反數(shù)，則a＝．【答案】．【解答】解：根據(jù)題意得：3a+1+3（a﹣1）＝0，去括號得：3a+1+3a﹣3＝0，移項得：3+3a＝3﹣1，合并同類項得：6a＝2，系數(shù)化為1得：．故答案為：．【題型8錯解一元一次方程的問題】【典例8】某同學解方程3x﹣1＝□x+3時，把□處數(shù)字看錯后解得x＝﹣2，那么他把□處看成了（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣5【答案】C【解答】解：依題意，得3×（﹣2）﹣1＝（﹣2）×□+3，即（﹣2）×□＝﹣10，解得：□＝5．故選：C．【變式8-1】某同學在解方程5x﹣1＝■x+3時，把■處的數(shù)字看錯了，解得x＝﹣，則該同學把■看成了（）A．3 B．﹣3 C．﹣8 D．8【答案】D【解答】解：設(shè)■處的數(shù)字為a，把x＝﹣代入方程5x﹣1＝ax+3中得：﹣﹣1＝﹣a+3，a＝3+1+，a＝，a＝8，故選：D．【變式8-2】同學小明在解關(guān)于x的方程5x﹣4＝（）x時，把（）處的數(shù)看錯，得錯解x＝﹣1，則小明把（）處看成了9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)（）內(nèi)的數(shù)為a，則錯解得方程為5x﹣4＝ax，根據(jù)題意，將x＝﹣1代入得：﹣5﹣4＝﹣a，解得：a＝9，故答案為：9．【題型9一元一次方程的解在新定義中運用】【典例9】新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0為“友好方程”．（1）若關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的兩個解的差為6，其中一個解為n，求n的值．【答案】（1）15；（2）±3．【解答】解：（1）方程2x﹣6＝4解為x＝5，∵關(guān)于x的方程3x+m＝0與方程2x﹣6＝4是“友好方程”，∴關(guān)于x的方程3x+m＝0的解為x＝﹣5，∴3×（﹣5）+m＝0，∴m＝15；（2）∵某“友好方程”的一個解為n，∴“友好方程”的另一個解為﹣n，∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，∴n＝3或n＝﹣3．∴n＝±3．【變式9-1】定義一種新運算?：a?b＝4a+b，試根據(jù)條件回答問題（1）計算：2?（﹣3）＝5；（2）若x?（﹣6）＝3?x，請求出x的值；（3）這種新定義的運算是否滿足交換律，若不滿足請舉一個反例，若滿足，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)題意得：2?（﹣3）＝8﹣3＝5；故答案為：5；（2）由題意得4x﹣6＝3×4+x，移項、合并得3x＝18，解得x＝6；（3）不滿足交換律，反例如：2?1＝9，1?2＝6，顯然2?1≠1?2．【變式9-2】對有理數(shù)a，b規(guī)定新運算※的意義是：a※b＝a+2b，則方程3x※x＝2﹣x的解是（）A． B．3 C．﹣3 D．【答案】A【解答】解：∵a※b＝a+2b，且3x※x＝2﹣x，∴3x+2x＝2﹣x，移項，可得：3x+2x+x＝2，合并同類項，可得：6x＝2，系數(shù)化為1，可得：x＝．故選：A．【變式9-3】新華商店店慶促銷，有一種新型書包，原價每個x元，第一次降價打八折，第二次降價每個又減10元，經(jīng)兩次降價后售價為70元．則所列方程是（）A．70﹣0.8x＝10 B．0.08x﹣10＝70 C．0.8x﹣10＝70 D．x﹣0.8x﹣10＝70【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：0.8x﹣10＝70．故選：C．【變式9-4】新定義一種運算“☆”，規(guī)定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，則x的值為2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a☆b＝ab+a﹣b，2☆x＝x☆2，∴2x+2﹣x＝2x+x﹣2，整理，可得：2x＝4，解得x＝2．故答案為：2．【變式9-5】新定義一種運算符號“△”，規(guī)定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，則m的值為﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：由題意，得2m+4﹣3m＝6，﹣m＝2，解得m＝﹣2．故答案為：﹣2．【題型10和、差、倍、分問題】【典例10】某班舉行了“慶祝建黨90周年知識競賽”活動，班長安排張小明購買獎品，如圖兩幅圖是張小明買回獎品時與班長的對話情況：請根據(jù)圖1、圖2的信息，解答下列問題：（1）張小明買了兩種筆記本各多少本？（說明：要求列一元一次方程解決問題）（2）請你解釋為什么班長說不可能找回68元錢．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)買x本5元的筆記本，則買（40﹣x）本8元的筆記本，依題意得，5x+8（40﹣x）＝300﹣68+13，解得x＝25，則40﹣x＝15（本）．答：張小明買了5元的筆記本25本，8元的筆記本15本；（2）設(shè)買x本5元的筆記本，則買（40﹣x）本8元的筆記本，根據(jù)題意，得5x+8（40﹣x）＝300﹣68，解得x＝，不是整數(shù)，故不能找回68元．【變式10-1】A種飲料比B種飲料單價少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料，一共花了13元，如果設(shè)A種飲料單價為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是（）A．2（x﹣1）+3x＝13 B．2（x+1）+3x＝13 C．2x+3（x+1）＝13 D．2x+3（x﹣1）＝13【答案】C【解答】解：設(shè)A種飲料單價為x元/瓶，則B種飲料單價為（x+1）元，根據(jù)小峰買了2瓶A種飲料和3瓶B種飲料，一共花了13元，可得方程為：2x+3（x+1）＝13．故選：C．【變式10-2】方方同學用50元錢去購買筆記本和彩色水筆共20件，已知每本筆記本4元，每支彩色水筆2元，設(shè)方方同學買了x本筆記本，則（）A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50 C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20【答案】B【解答】解：∵方方同學購買筆記本和彩色水筆共20件，且購買了x本筆記本，∴購買了（20﹣x）支彩色水筆．根據(jù)題意得：2（20﹣x）+4x＝50．故選：B．【變式10-3】青驕課堂2023年禁毒知識競賽答題，共設(shè)20道選擇題，要求每題必答，每答對一題得5分，答錯一題扣1分，小新一共得了82分，他答對了17道題．【答案】17．【解答】解：設(shè)小新答對了x道題，則答錯（20﹣x）道題，根據(jù)題意得：5x﹣（20﹣x）＝82，解得：x＝17，∴小新答對了17道題．故答案為：17．【題型11行程問題】【典例11】甲、乙兩列火車分別從A、B兩城同時相向開出，當兩車相遇后，又繼續(xù)前進，甲車行了全程的時，乙車恰好行了全程的．這時兩車相距364km．A、B兩城相距多少千米？【答案】A、B兩城相距780千米．【解答】解：設(shè)A、B兩城相距x千米，根據(jù)題意得x+x﹣x＝364，解得x＝780，答：A、B兩城相距780千米．【變式11-1】甲地到乙地的高鐵開通后，運行時間由原來的3.5小時縮短至1小時，運行里程縮短了40千米．已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時快200千米，求高鐵的平均速度．【答案】高鐵的平均速度為296km/h．【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為xkm/h，由題意得：x+40＝3.5（x﹣200），解得：x＝296，答：高鐵的平均速度為296km/h．【變式11-2】甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，速度為120千米/時：快車開出30分鐘時，一列慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地，速度為90千米時．設(shè)慢車行駛的時間為x小時，快車到達乙地后停止行駛，根據(jù)題意解答下列問題．（1）當快車與慢車相遇時，求慢車行駛的時間；（2）當兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程．【答案】（1）慢車行駛的時間為4小時；（2）當兩車之間的距離為315千米時，快車所行的路程為360千米或720千米．【解答】解：（1）由題意得，120（x+0.5）+90x＝900，解得：x＝4，∴慢車行駛的時間為4小時；（2）①兩車相遇前相距315千米，120（x+0.5）+90x＝900﹣315，解得：x＝2.5，此時快車行駛的路程：120×（2.5+0.5）＝360（千米）；②兩車相遇后相距315千米，120（x+0.5）+90x＝900+315，解得：x＝5.5，此時快車行駛的路程：120×（5.5+0.5）＝720（千米）；③當快車到達乙地，快車行駛了7.5小時，慢車行駛了7小時，7×90＝630＞315，此種情況不存在；∴當兩車之間的距離為315千米時，快車所行的路程為360千米或720千米．【變式11-3】兩輛汽車同時從相距300千米的兩地相對開出，2小時后相遇．已知兩輛車的速度比是2：3，求較慢的一輛車每小時行駛多少千米？【答案】較慢的一輛車每小時行駛60千米．【解答】解：設(shè)較慢的一輛車每小時行駛x千米，∵兩輛車的速度比是2：3，∴較快的一輛車每小時行駛x千米，根據(jù)題意得2（x+x）＝300，解得x＝60，答：較慢的一輛車每小時行駛60千米．【題型12工程問題】【典例12】整理一批圖書，由一個人做要40小時完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做4小時，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？【答案】應先安排2人工作．【解答】解：設(shè)應先安排x人工作，根據(jù)題意得：+＝1化簡可得：+＝1，即：x+2（x+2）＝10解可得：x＝2答：應先安排2人工作．【變式12-1】學校舉辦一年一屆的科技文化藝術(shù)節(jié)活動，需制作一塊活動展板，請來甲和乙兩名工人．已知甲單獨完成需要4天，乙單獨完成需要6天．（1）兩個人一起做需要2.4天完成；（2）現(xiàn)由乙先做1天，再由兩個人一起做，還需要多少天可以完成這項工作？【答案】（1）2.4；（2）2．【解答】解：（1）1÷（+）＝1÷＝2.4（天）．答：兩個人一起做，需要2.4天可以完成．故答案為2.4；（2）設(shè)乙先做1天，再兩人一起做，還需x天完成這項工作，由題意可得：+＝1，解得：x＝2．答：還需2天可以完成這項工作．【變式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房間，經(jīng)調(diào)查3名師傅一天粉刷8個房間，還剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9個房間；每名師傅比徒弟一天多刷30m2的墻面．（1）求每個房間需要粉刷的面積；（2）該公司現(xiàn)有36個這樣的房間需要粉刷，若只聘請1名師傅和2名徒弟一起粉刷，需要幾天完成？【答案】（1）每個房間需要粉刷的面積為50m2；（2）需要6天完成．【解答】解：（1）設(shè)每個房間需要粉刷的面積為xm2，由題意得：﹣＝30，解得：x＝50，∴每個房間需要粉刷的面積為50m2，答：每個房間需要粉刷的面積為50m2；（2）每名徒弟一天粉刷的面積為：＝90（m2），每名師傅一天粉刷的面積為：＝120（m2），∴＝6（天），答：需要6天完成．【題型13順水逆水問題】【典例13】兩架飛機從同一機場同時出發(fā)反向而飛，甲飛機順風飛行，乙飛機逆風飛行．已知兩飛機在無風的速度都是500千米每小時，風速是a千米每小時．（1）甲、乙飛機飛行時的速度分別是多少？（2）3小時后兩機的行程分別是多少？（3）求3小時后兩機相距多遠？（4）3小時后，甲飛機比乙飛機多航行多少千米？【答案】（1）甲飛機飛行時的速度為（500+a）千米/小時，乙飛機飛行時的速度為（500﹣a）千米/小時；（2）甲飛機3小時后飛行的路程為：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飛機3小時后飛行的路程為：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）3小時后兩機相距為3000千米；（4）3小時后，甲飛機比乙飛機多航行6a千米．【解答】解：（1）∵甲飛機順風飛行，乙飛機逆風飛行，∴甲飛機飛行時的速度為（500+a）千米/小時，乙飛機飛行時的速度為（500﹣a）千米/小時；（2）根據(jù)（1）中寫出的甲、乙飛機飛行時的速度，則甲飛機3小時后飛行的路程為：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飛機3小時后飛行的路程為：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）∵兩架飛機從同一機場同時出發(fā)反向而飛，∴3小時后兩機相距為：1500+3a+1500﹣3a＝3000（千米）；（4）3小時后，甲飛機比乙飛機多航行的距離為：（1500+3a）﹣（1500﹣3a）＝6a（千米）．【變式13-1】一架飛機在A，B兩城市之間飛行，風速為20km/h，順風飛行需要8h，逆風飛行需要8.5h．求無風時飛機的飛行速度和A，B兩城市之間的航程．【答案】無風時飛機的飛行速度為660km/h，A，B兩城市之間的航程為5440km．【解答】解：設(shè)無風時飛機的飛行速度為xkm/h，由題意得：8（x+20）＝8.5（x﹣20），解得：x＝660，則8（x+20）＝8×（660+20）＝5440，答：無風時飛機的飛行速度為660km/h，A，B兩城市之間的航程為5440km．【變式13-2】在風速為24km/h的條件下，一架飛機順風從A機場飛到B機場要用2.8h，它逆風飛行同樣的航線要用3h．求（1）無風時這架飛機在這一航線的平均航速；（2）兩機場之間的航程是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)無風時飛機的航速是x千米/時，依題意得：2.8×（x+24）＝3×（x﹣24），解得：x＝696．答：無風時飛機的航速是696千米/時．（2）由（1）知，無風時飛機的航速是696千米/時，則3×（696﹣24）＝2016（千米）．答：兩機場之間的航程是2016千米．【變式13-3】一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/時．順風飛行需要2小時，逆風飛行需要3小時，求無風時飛機的速度．【答案】120千米/時．【解答】解：設(shè)無風時飛機的速度為x千米/時，根據(jù)題意得：（x+24）×2＝（x﹣24）×3，解得：x＝120．答：無風時飛機的速度為120千米/時．【變式13-4】一架飛機在兩城之間飛行，風速為24千米/小時，順風飛行需2小時，逆風飛行需要3小時．（1）求無風時飛機的飛行速度；（2）求兩城之間的距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)無風時飛機的飛行速度為x千米/小時，由題意得2（x+24）＝3（x﹣24）解得：x＝120答：無風時飛機的飛行速度是120千米/時；（2）2（x+24）＝288千米答：兩城之間的距離是288千米．【題型14商品利潤問題】【典例14】某商店購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共100只，購進100只節(jié)能燈的進貨款恰好為2600元，達兩種節(jié)能燈的進價、預售價如表：（利潤＝售價﹣進價）型號進價（元/只）預售價（元/只）甲型2025乙型3540（1）求該商店購進甲、乙兩種型號的節(jié)能燈各多少只？（2）在實際銷售過程中，商店按預售價將購進的全部甲型號節(jié)能燈和部分乙型號節(jié)能燈售出后，決定將剩下的乙型號節(jié)能燈打九折銷售，兩種節(jié)能燈全部售完后，共獲得利潤380元，求乙型號節(jié)能燈按預售價售出了多少只．【答案】（1）購進甲種型號的節(jié)能燈60只，購進乙種型號的節(jié)能燈40只；（2）乙型節(jié)能燈按預售價售出的數(shù)量是10只．【解答】解：（1）設(shè)該商店購進甲種型號的節(jié)能燈x只，則可以購進乙種型號的節(jié)能燈（100﹣x）只，由題意可得：20x+35（100﹣x）＝2600，解得：x＝60，100﹣60＝40（只），答：該商店購進甲種型號的節(jié)能燈60只，購進乙種型號的節(jié)能燈40只；（2）設(shè)乙型節(jié)能燈按預售價售出的數(shù)量是y只，由題意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380，解得：y＝10，答：乙型節(jié)能燈按預售價售出的數(shù)量是10只．【變式14-1】一件大衣按其進價提高50%后標價．由于季節(jié)原因，現(xiàn)以標價的七折售出，結(jié)果仍盈利18元．這件上衣的進價是多少元？（提示：利潤＝售價﹣進價）【答案】360．【解答】解：設(shè)這件上衣的進價為x元，由題意得，70%?（1+50%）x﹣x＝18，解之得，x＝360，答：這件上衣的進價是360元．【變式14-2】一臺手機進價是2800元，按照標價3400元的九折出售；一塊電子手表進價是600元，按照標價的八折出售，結(jié)果每臺手機的利潤比每塊手表的利潤多140元，問手表的標價是多少元？【答案】900．【解答】解：設(shè)每塊手表的標價為x元，根據(jù)題意得：3400×90%﹣2800﹣（80%x﹣600）＝140，0.8x＝720，解得：x＝900，答：每塊手表的標價為900元．【變式14-3】我校七年級社會實踐小組去某商場調(diào)查商品的銷售情況，了解到該商場以每條80元的價格購進了某品牌褲子500條，并以每條120元的價格銷售了400條，商場準備采取促銷措施，將剩下的褲子降價銷售．（1）前400條褲子的利潤是多少元？（2）當每條褲子降價多少元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預期目標？【答案】（1）16000元；（2）當每條褲子降價20元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預期目標．【解答】解：（1）由題意可得，前400條褲子的利潤是：（120﹣80）×400＝40×400＝16000（元），答：前400條褲子的利潤是16000元；（2）設(shè)當每條褲子降價x元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預期目標，由題意可得：（120﹣x﹣80）×（500﹣400）+16000＝500×80×45%，解得x＝20，答：當每條褲子降價20元時，銷售完這批褲子正好達到盈利45%的預期目標．【題型15分配問題】【典例15】《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”有這樣的問題：“今有共買羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．問人數(shù)、羊價各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊，每人出6元，則差45元；每人出8元，則差3元．求人數(shù)和羊價各是多少？設(shè)買羊人數(shù)為x人，則根據(jù)題意可列方程為（）A．6x+45＝8x+3 B．6x+45＝8x﹣3 C．6x﹣45＝8x+3 D．6x﹣45＝8x﹣3【答案】A【解答】解：設(shè)買羊人數(shù)為x人，則根據(jù)題意可列方程為6x+45＝8x+3．故選：A．【變式15-1】我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有幾兩？設(shè)銀子共有x兩，則可列方程為（）A．7x+4＝9x﹣8 B．7x﹣4＝9x+8 C． D．【答案】D【解答】解：∵銀子共有x兩，每人7兩，還剩4兩，∴分銀子的人共人；∵銀子共有x兩，每人9兩，還差8兩，∴分銀子的人共人．又∵分銀子的人數(shù)不變，∴可列方程組＝．故選：D．【變式15-2】近年來，網(wǎng)購的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活．某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，設(shè)該分派站有x名快遞員，則可列方程為（）A．10x﹣6＝12x+6 B．10x+6＝12x﹣6 C． D．【答案】B【解答】解：設(shè)該分派站有x名快遞員，則可列方程為：10x+6＝12x﹣6．故選：B．【變式15-3】某學校有x間男生宿舍和y個男生，若每間宿舍住8個人，則還多4個人無法安置；若每間宿舍安排10個人，則還多6張空床位，據(jù)此信息列出方程，下列4個方程中正確的是（）①8x﹣4＝10x+6；②；③；④8x+4＝10x﹣6．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】B【解答】解：按照男生人數(shù)不變列出方程8x+4＝10x﹣6；按照男生宿舍間數(shù)不變列出方程＝．∴正確的方程是②④．故選：B．【變式15-4】為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購買的蔬菜包由志愿者統(tǒng)一派送．若每位志愿者派送8個蔬菜包，則少5個；若每個志愿者派送6個，則剩下4個未送，設(shè)安排x個志愿者派送，則下面所列方程中正確的是（）A．8x﹣5＝6x+4 B．8x+5＝6x+4 C．8x+5＝6x﹣4 D．8x﹣5＝6x﹣4【答案】A【解答】解：由題意可得：8x﹣5＝6x+4，故選：A．【題型16配套問題】【典例16】某車間為提高生產(chǎn)總量，在原有16名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人．（1）求調(diào)入多少名工人；（2）在（1）的條件下，每名工人每天可以生產(chǎn)240個螺栓或400個螺母，1個螺栓需要2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應該安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）調(diào)入6名工人；（2）10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套．【解答】解：（1）設(shè)調(diào)入x名工人，根據(jù)題意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴調(diào)入6名工人；（2）由（1）知，調(diào)入6名工人后，車間有工人16+6＝22（名），設(shè)y名工人生產(chǎn)螺栓，則（22﹣y）名工人生產(chǎn)螺母，∵每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套．【變式16-1】現(xiàn)用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一張桌子配4張椅子，1立方米木料可做5張椅子或1張桌子，要使桌子和椅子剛好配套．設(shè)用x立方米的木料做桌子，則依題意可列方程為（）A．4x＝5（90﹣x） B．5x＝4（90﹣x） C．x＝4（90﹣x）×5 D．4x×5＝90﹣x【答案】A【解答】解：設(shè)用x立方米的木料做桌子，則用（90﹣x）立方米的木料做椅子，依題意，得：4x＝5（90﹣x）．故選：A．【變式16-2】某車間有28名工人生產(chǎn)螺絲和螺母，每人每天生產(chǎn)1200個螺絲或1800個螺母，現(xiàn)有x個工人生產(chǎn)螺絲，恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套．為求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．1800x＝1200（28﹣x）【答案】B【解答】解：∵該車間有28名工人生產(chǎn)螺絲和螺母，且有x個工人生產(chǎn)螺絲，∴有（28﹣x）個工人生產(chǎn)螺母，又∵每人每天生產(chǎn)1200個螺絲或1800個螺母，且恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套，∴2×1200x＝1800（28﹣x）．故選：B．【題型17數(shù)字與日歷問題】【典例17】觀察下列三行數(shù)：（1）第①行數(shù)中的第n個數(shù)為（﹣2）n（用含n的式子表示）；（2）取每行數(shù)的第n個數(shù)，這三個數(shù)的和能否等于﹣318？如果能，求出n的值；如果不能，請說明理由；（3）如圖，用一個長方形方框框住六個數(shù)，左右移動方框，若方框中的六個數(shù)之和為﹣156，求方框中左上角的數(shù)．【答案】（1）（﹣2）n；（2）7；（3）64．【解答】解：（1）第一行中，從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與前一個數(shù)的比為﹣2，∴第n個數(shù)為：﹣2×（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，（2）設(shè)第一行的第n個數(shù)為x，則：x+x+（x+2）＝﹣318x＝﹣128＝（﹣2）7∴n＝7，答：n＝7時滿足題意；（3）設(shè)方框中左上角的數(shù)為x，則：x+（﹣2x）+x+（﹣x）+（x+2）+（﹣2x+2）＝﹣156x＝64答：方框中左上角的數(shù)為64；【變式17-1】一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是9，若將它的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，則所得的新數(shù)比原兩位數(shù)大9，求原來的兩位數(shù)是多少？【答案】45．【解答】解：設(shè)原數(shù)的個位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是y．根據(jù)題意得：，解得．故原來兩位數(shù)為45．【變式17-2】表中給出的是某月的月歷，任意選取“H”型框中的7個數(shù)（如陰影部分所示），請你運用所學的數(shù)學知識來研究，發(fā)現(xiàn)這7個數(shù)的和不可能是（）A．63 B．84 C．96 D．105【答案】C【解答】解：設(shè)“H”型框中的正中間的數(shù)為x，則其他6個數(shù)分別為x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，這7個數(shù)之和為：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+x+6+x+8＝7x．由題意得A．7x＝63，解得：x＝9，能求得這7個數(shù)，不符合題意；B．7x＝84，解得：x＝12，能求得這7個數(shù)，不符合題意；C．7x＝96，解得：x＝，不能求得這7個數(shù)，符合題意；D．7x＝105，解得：x＝15，能求得這7個數(shù)，不符合題意．故選：C【題型18方案選擇問題】【典例18】甲，乙兩家商店出售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定價40元，乒乓球每盒定價5元．而甲，乙兩店的促銷方案不同，甲店每買一副球拍贈送一盒乒乓球，乙店全部按定價的九折優(yōu)惠．該班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．（1）當購買乒乓球多少盒時，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣？（2）若購買15盒乒乓球時，請你去辦這件事，你打算去哪一家商店購買？為什么？【答案】（1）10；（2）去乙店較合算．【解答】解：（1）設(shè)購買x盒乒乓球時，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣，根據(jù)題意有：40×5+（x﹣5）×5＝（40×5+5x）×0.9，解得x＝10．所以，購買10盒乒乓球時，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣．（2）當購買球拍5副，15盒乒乓球時：甲店需付款40×5+（15﹣5）×5＝250（元），乙店需付款（40×5+15×5）×0.9＝247.5（元）．因為247.5＜250，所以，購買球拍5副，15盒乒乓球時，去乙店較合算．【變式18-1】為抗擊新冠肺炎疫情，某藥店對消毒液和口罩開展優(yōu)惠活動．消毒液每瓶定價10元，口罩每包定價5元，優(yōu)惠方案有以下兩種：①以定價購買時，買一瓶消毒液送一包口罩；②消毒液和口罩都按定價的80%付款．現(xiàn)某客戶要到該藥店購買消毒液30瓶，口罩x包（x＞30）．（1）若該客戶按方案①購買需付款（5x+150）元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購買需付款（4x+240）元（用含x的式子表示）；（2）若x＝50時，通過計算說明按方案①，方案②哪種方案購買較為省錢？（3）試求當x取何值時，方案①和方案②的購買費用一樣．【答案】（1）（5x+150），（4x+240）；（2）選擇方案①購買較為合算；（3）當x＝90時，方案①和方案②的購買費用一樣．【解答】解：（1）方案①需付費為：30×10+5（x﹣30）＝（5x+150）元；方案②需付費為：（30×10+5x）×0.8＝（4x+240）元；故答案為：（5x+150），（4x+240）；（2）當x＝50時，方案①需付款為：5x+150＝5×50+150＝400（元），方案②需付款為：4x+240＝4×50+240＝440（元），∵400＜440，∴選擇方案①購買較為合算；（3）由題意得，5x+150＝4x+240，解得x＝90，答：當x＝90時，方案①和方案②的購買費用一樣．【變式18-2】在“清潔鄉(xiāng)村”活動中，某村長提出了兩種購買垃圾桶方案．方案一：買分類垃圾桶，需要費用3000元，以后每月的垃圾處理費用250元；方案二：買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用500元．設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費和垃圾處理費共為M元，方案二的購買費和垃圾處理費共為N元．（1）分別用x表示M，N；（2）若交費時間為12個月，哪種方案更合適，并說明理由．（3）交費時間為多少個月時，兩種方案費用相同？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）依題意，得M＝250x+3000；N＝500x+1000．（2）當x＝12時，M＝250×12+3000＝6000；當x＝12時，N＝500×12+1000＝7000．∵6000＜7000，∴若交費時間為12個月，選擇方案一更合適．（3）依題意，得M＝N，即250x+3000＝500x+1000，解得x＝8．答：交費時間為8個月時，兩種方案費用相同．【變式18-3】按照“雙減”政策，豐富課后托管服務內(nèi)容，學校準備訂購一批排球和跳繩，經(jīng)過市場調(diào)查后發(fā)現(xiàn)排球120元/個，跳繩20元/根．某體育用品商店提供A、B兩種優(yōu)惠方案（顧客只能選擇其中一種方案）：A方案：買一個排球送一根跳繩；B方案：排球和跳繩都按定價的90%付款．已知要購買排球50個，跳繩x根（x＞50）．（1）若按A方案購買，一共需付款（5000+20x）元；若按B方案購買，一共需付款（5400+18x）元；（用含x的式子表示）（2）購買多少根跳繩時，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多？【答案】（1）（5000+20x）；（5400+18x）；（2）購買200根跳繩時，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多．【解答】解：（1）要購買排球50個，跳繩x根（x＞50），由題意可知按A方案購買，需付款的跳繩為（x﹣50）根，故一共需付款：120×50+20（x﹣50）即：（5000+20x）；按B方案購買，需付款的跳繩為x根，故一共需付款：90%（120×50+20x）即：（5400+18x）；故答案為：（5000+20x），（5400+18x）；（2）由（1）可知，當A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多時，即5000+20x＝5400+18x，解得x＝200．答：購買200根跳繩時，A、B兩種方案所需要的錢數(shù)一樣多．【變式18-4】隨著5G時代的來臨，張老師換了新發(fā)布的5G手機并且需要新辦一種5G套餐．運營商提出了兩種包月套餐方案，第一種是每月50元月租費，流量資費0.4元/GB；第二種是沒有月租費，但流量資費0.6元/GB．設(shè)張老師每月使用流量xGB．（1）張老師按第一種套餐每月需花費（50+0.4x）元，按第二種套餐每月需花費0.6x元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若張老師這個月使用流量200GB，通過計算說明哪種套餐比較合算；（3）張老師每月使用多少流量時，兩種套餐花費一樣多？【答案】（1）（50+0.4），0.6；（2）選擇第二種套餐比較合算；（3）張老師每月用250GB流量時，兩種套餐花費一樣多．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，按第一種套餐每月（50+0.4x）元，按第二種套餐每月0.6x元，故答案為：（50+0.4），0.6．（2）當x＝200時，50+0.4x＝50+0.4×200＝130，0.6x＝0.6×200＝120，∴按第一種套餐需要130元，按第二種套餐需要120元，120元＜130元，答：選擇第二種套餐比較合算．（3）根據(jù)題意得50+0.4x＝0.6x，解得x＝250，答：張老師每月用250GB流量時，兩種套餐花費一樣多．【題型19分段計費問題】【典例9】為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控的手段達到節(jié)水的目的，該市自來水收費的價目表如下表（注：水費按月份結(jié)算，m3表示立方米）：價目表每月用水量單價不超出6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3請根據(jù)上表的內(nèi)容解答下列問題：（1）填空：若該戶居民2月份用水4m3，則應收水費8元；（2）若該戶居民3月份用水8m3，則應收水費多少元？（3）若該戶居民4月份用水a(chǎn)m3（其中a＞10m3），則應收水費多少元？（用含a的代數(shù)式表示，并化簡）；（4）若該戶居民5