10.5 可以化成一元一次方程的分式方程 同步練習(xí)

10.5可以化成一元一次方程的分式方程【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列等式是四位同學(xué)解方程xx?1?1=2xA．x?1=2x B．x?1=?2x C．x?x?1=?2x D．x?x+1=?2x2．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）“五?一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車(chē)前去旅游，面包車(chē)的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少攤了3元錢(qián)車(chē)費(fèi)，設(shè)原來(lái)參加游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為（）A．180x?2﹣180x＝3 B．180x+2C．180x﹣180x?2＝3 3．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列各式中屬于分式方程的是（）A．x?23?2x+52=1 B．x24．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）去分母解關(guān)于x的方程x?3x?2=mx?2產(chǎn)生增根，則A．2 B．?2 C．1 D．5．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知1x?1A．?72 B． C．92 二、填空題6．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）分式方程xx?3＋1＝解的情況是__________7．（2021·上海徐匯·七年級(jí)階段練習(xí)）在去分母解關(guān)于x的分式方程的過(guò)程中產(chǎn)生增根，則a=__．8．（2021·上海浦東新區(qū)民辦欣竹中學(xué)七年級(jí)期中）當(dāng)m=__時(shí)，關(guān)于x的方程2x?29．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）方程x210．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）x=?1________（填“是”或“不是”）方程6x?211．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期末）如果關(guān)于x的方程有增根，那么k=___________.三、解答題12．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）解方程：4x13．（2022·上海·七年級(jí)期末）解方程：1?xx14．（2021·上海普陀·七年級(jí)期末）解方程：6x+715．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）解方程：416．（2020·上海松江·七年級(jí)期末）解方程：xx+217．（2021·上海·七年級(jí)期末）解方程：4x?118．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）x19．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知：，求代數(shù)式x?x+2x?220．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）某中學(xué)七年級(jí)全體師生共340人進(jìn)行社會(huì)考察活動(dòng)．如果租用中客車(chē)若干輛，則還有20位學(xué)生沒(méi)有座位坐；如果租用大客車(chē)，那么同樣多的車(chē)輛，就會(huì)有60個(gè)座位沒(méi)人坐．已知每輛大客車(chē)載客人數(shù)比中客車(chē)的載客人數(shù)多10人，求每輛中客車(chē)的載客人數(shù)．21．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）學(xué)生小李為使跳繩200次所用的時(shí)間減少10秒，必須把每秒鐘的跳繩次數(shù)增加10%，問(wèn)小李原來(lái)跳繩200次所用的時(shí)間是多少秒？22．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）小麗乘出租車(chē)去體育場(chǎng)，有兩條路線(xiàn)可供選擇：路線(xiàn)一的全程是25千米，但交通比較擁堵；路線(xiàn)二的全程是30千米，平均車(chē)速比走路線(xiàn)一的平均車(chē)速能提高50%，因此能比路線(xiàn)一節(jié)省10分鐘到達(dá)．那么選走路線(xiàn)二去體育場(chǎng)需要多少時(shí)間?【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的分式方程1?mx?1?2=21?x的解是非負(fù)數(shù)，則A．且m≠?3 B．m≥5且m≠?3 C．且m≠3 D．m≥5且m≠3二、填空題2．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若y=1是方程my?1+3y?2=1y?1y?23．（2022·上海·七年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1的解不大于2，則4．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值為_(kāi)____．5．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的分式方程有增根，則a=__________．6．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）已知分式方程x?3x?2?x?2x?3=三、解答題7．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）解方程：38．（2022·上海·七年級(jí)期末）解方程：19．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）解方程：410．（2022·上海·七年級(jí)單元測(cè)試）解方程、11．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）若分式方程k?1x2?1?112．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕在即，參加女子1500米短道速滑的運(yùn)動(dòng)員在教練員的指導(dǎo)下努力訓(xùn)練提高競(jìng)技水平．在經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是原來(lái)的1.1倍，時(shí)間縮短了15秒，那么經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是多少？13．（2022·上海寶山·七年級(jí)期末）元旦，小紅和弟弟小杰兩人以包餛飩來(lái)慶祝成長(zhǎng)，兩人實(shí)際所包的餛飩數(shù)之比是5：3（小紅：小杰），調(diào)皮的弟弟小杰從小紅包好的餛飩里拿了2個(gè)放入自己的成果行列后，宣稱(chēng)自己和姐姐包好的餛飩數(shù)之比是2：3，求兩人一共所包的餛飩數(shù)．（列分式方程解應(yīng)用題）14．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）某校田徑隊(duì)的小明同學(xué)參加了兩次有氧耐力訓(xùn)練，每一次訓(xùn)練內(nèi)容都是在400米環(huán)形跑道上慢跑10圈．若第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，則第二次比第一次提前5分鐘跑完．（1）小勇同學(xué)一次有氧耐力訓(xùn)練慢跑是米；（2）小勇同學(xué)兩次慢跑的速度各是多少？15．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）列分式方程解應(yīng)用題．某商場(chǎng)新進(jìn)一種商品，第一個(gè)月將此商品的進(jìn)價(jià)提高20%作為銷(xiāo)售價(jià)，共獲利600元．第二個(gè)月商場(chǎng)搞促銷(xiāo)活動(dòng)，將商品的進(jìn)價(jià)提高15%作為銷(xiāo)售價(jià)，第二個(gè)月的銷(xiāo)售量比第一個(gè)月增加了40件，并且商場(chǎng)第二個(gè)月比第一個(gè)月多獲利150元．問(wèn)此商品的進(jìn)價(jià)是多少元？商場(chǎng)第二個(gè)月銷(xiāo)售多少件？16．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）為了應(yīng)對(duì)特殊時(shí)期，某口罩生產(chǎn)企業(yè)需要在若干天內(nèi)加工12000個(gè)口罩，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于提高了生產(chǎn)技術(shù)水平，每天加工的個(gè)數(shù)為原來(lái)的1.5倍，從而提前2天完成任務(wù)（1）問(wèn)該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩？（2）如果該企業(yè)按原計(jì)劃的工作效率加工了a個(gè)口罩后，才將效率提高到原來(lái)的1.5倍，則該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了多少天？（所得結(jié)果用含有a的代數(shù)式表示：a為大于零的整數(shù)）17．（2022·上海·七年級(jí)期末）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車(chē)和一輛小汽車(chē)同時(shí)從甲地出發(fā)開(kāi)往乙地，小汽車(chē)的速度是貨車(chē)的1.2倍，結(jié)果小汽車(chē)比貨車(chē)早半小時(shí)到達(dá)乙地，求兩輛車(chē)的速度．18．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）某所學(xué)校有A、B兩班師生前往一個(gè)農(nóng)莊參加植樹(shù)活動(dòng)．已知A班每天植樹(shù)量是B班每天植樹(shù)量的1.5倍，A班植樹(shù)300棵所用的天數(shù)比B班植樹(shù)240棵所用的天數(shù)少2天，求A、B兩班每天各植樹(shù)多少棵？19．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）多多果品店在批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)某種水果銷(xiāo)售，第一次用1200元購(gòu)進(jìn)若干千克，由于水果暢銷(xiāo)，很快售完，第二次用1430元購(gòu)買(mǎi)了一批水果，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了10%，所購(gòu)買(mǎi)的水果的數(shù)量比第一次多20千克，求第一次購(gòu)買(mǎi)水果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？20．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）我們知道，在計(jì)算11×2+請(qǐng)你利用裂項(xiàng)的思路化簡(jiǎn)下式：（1）1（2）1（3）分式方程1x21．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）某廣告公司招標(biāo)了一批燈箱加空工程，需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)加工1400個(gè)燈箱，該公司按一定速度加工5天后發(fā)現(xiàn)，按此速度加工下去會(huì)延期十天完成，于是又抽調(diào)了一批工人投入燈箱加工，使工作效率提高了50%，結(jié)果如期完成工作，按規(guī)定時(shí)間是多少天？

10.5可以化成一元一次方程的分式方程（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列等式是四位同學(xué)解方程xx?1?1=2xA．x?1=2x B．x?1=?2x C．x?x?1=?2x D．x?x+1=?2x【答案】D【分析】去分母根據(jù)的是等式的性質(zhì)2，方程的兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，即可將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．【詳解】方程的兩邊同乘x?1，得：x?x?1=?2x，即故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)和解分式方程，注意：去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)．2．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）“五?一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車(chē)前去旅游，面包車(chē)的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少攤了3元錢(qián)車(chē)費(fèi)，設(shè)原來(lái)參加游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為（）A．180x?2﹣180x＝3 B．180x+2﹣180x＝3 C．180x﹣【答案】D【分析】設(shè)原來(lái)參加游覽的同學(xué)共x人，面包車(chē)的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少攤了3元錢(qián)車(chē)費(fèi)，可列方程．【詳解】解：設(shè)原來(lái)參加游覽的同學(xué)共x人，由題意得180x故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，關(guān)鍵以錢(qián)數(shù)差價(jià)做為等量關(guān)系列方程．3．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列各式中屬于分式方程的是（）A．x?23?2x+52=1 B．x2【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【詳解】解：A、是一元一次方程，不是分式方程，故本選項(xiàng)不合題意；B、是一元二次方程，不是分式方程，故本選項(xiàng)不合題意；C、是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意；D、不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的定義，分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．4．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）去分母解關(guān)于x的方程x?3x?2=mx?2產(chǎn)生增根，則A．2 B．?2 C．1 D．【答案】D【分析】先把分式方程化為整式方程，由于原分式方程有增根，則有x?2＝0，得到x＝2，即增根只能為2，然后把x＝2代入整式方程即可得到m的值．【詳解】解：方程兩邊乘（x?2）得，x?3＝m，∵分式方程有增根，∴x?2＝0，即x＝2，∴2?3＝m，∴m＝?1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程有增根，求方程中的參數(shù)，掌握增根的定義是解題關(guān)鍵．5．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）已知1x?1A．?72 B． C．92 【答案】D【分析】由1x?1y=3得出y?x【詳解】∵1∴y?x∴x?y=?3xy則原式=2故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握分式加減運(yùn)算法則和整體代入思想的運(yùn)用.二、填空題6．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）分式方程xx?3＋1＝解的情況是__________【答案】無(wú)解【分析】先觀察得最簡(jiǎn)公分母是(x?3)，方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，即可判斷此方程解的情況．【詳解】解：方程的兩邊同乘(x?3)，得，解得x=3．檢驗(yàn)：把x=3代入，所以x=3為原方程的增根，故原方程無(wú)解．故答案為：無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，解分式方程一定注意要驗(yàn)根．7．（2021·上海徐匯·七年級(jí)階段練習(xí)）在去分母解關(guān)于x的分式方程的過(guò)程中產(chǎn)生增根，則a=__．【答案】4【分析】先將分式方程化為整式方程，再由分式方程有增根，可得x=4，再代入整式方程，即可求解．【詳解】解：方程兩邊同乘x?4得：x=2(x?4)+a，∵關(guān)于x的分式方程有增根，，解得：x=4，將x=4代入方程x=2(x?4)+a，得：，解得：a=4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海浦東新區(qū)民辦欣竹中學(xué)七年級(jí)期中）當(dāng)m=__時(shí)，關(guān)于x的方程2x?2【答案】6或?4【分析】先將分式方程化為整式方程，再求得分式方程的增根，然后求解m即可．【詳解】解：方程兩邊都乘(x+2)(x?2)，得2(x+2)+mx=3(x?2)，∵最簡(jiǎn)公分母為(x+2)(x?2)，∴原方程增根為x=?2或2，∴把x=?2代入整式方程，得?2m=?12，解得m=6；把代入整式方程，得8+2m=0，解得m=?4．故答案為：6或?4．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，先把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母為0，則這個(gè)整式方程的解就是分式方程的增根，掌握分式方程的增根是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）方程x2【答案】x=3【分析】根據(jù)去分母把方程化為整式方程即可求解．【詳解】解x去分母得x解得x=±3∵分母x+3≠0，∴x≠-3故x=3．故答案為：x=3．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法．10．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）x=?1________（填“是”或“不是”）方程6x?2【答案】是【分析】把x=?1代入方程6x?2【詳解】解：把x=?1代入方程6左邊=6右邊左邊=右邊所以x=?1是方程6x?2故答案為：是【點(diǎn)睛】本題考查方程的解，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．11．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期末）如果關(guān)于x的方程有增根，那么k=___________.【答案】1【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出k的值．【詳解】，去分母得：1＝3（x-3）+k，由分式方程有增根，得到x?3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得1＝3（3-3）+k，解得k＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．三、解答題12．（2021·上海奉賢·七年級(jí)期末）解方程：4x【答案】x＝﹣13【分析】先找到公分母x2【詳解】去分母得：4+x（x+3）＝x2﹣9，去括號(hào)得：4+x2+3x＝x2﹣9，解得：x＝﹣133經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣133【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，去分母是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上海·七年級(jí)期末）解方程：1?xx【答案】x=1【分析】先去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程進(jìn)行求解，再將所求整式方程的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：去分母得，（1-x）（1+x）+x2+x=2，去括號(hào)得，1-x2+x2+x=2，解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原分式方程的解，所以原分式方程的解為：x=1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的求解，注意：要將求解出來(lái)的整式方程的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)．14．（2021·上海普陀·七年級(jí)期末）解方程：6x+7【答案】x=?3【分析】按照分式方程的求解步驟求解即可，最后驗(yàn)證方程的根．【詳解】解：去分母，得6?3(x+7)=2x去括號(hào)，得6?3x?21=2x移項(xiàng)，得?5x=15解得x=?3．經(jīng)檢驗(yàn)，x=?3是原方程的根，所以，原方程的根是x=?3．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解方法．15．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）解方程：4【答案】x=8【分析】先將分式方程化為整式方程，然后解整式方程并驗(yàn)根即可．【詳解】解：4化為整式方程，得4=?1+x?3解得：x=8經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是原方程的解．【點(diǎn)睛】此題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵．16．（2020·上海松江·七年級(jí)期末）解方程：xx+2【答案】x=?3【分析】先通分，再去分母，求出解，最后檢驗(yàn)．【詳解】解：x3x3x=2x+3x+6x=?3，經(jīng)檢驗(yàn)，x=?3是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法，需要注意結(jié)果要檢驗(yàn)．17．（2021·上?！て吣昙?jí)期末）解方程：4x?1【答案】x=8【分析】先將分式方程化為整式方程，再按照去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解方程即可得．【詳解】4x?1x?1?1=8去括號(hào)，得4x?1?x+1=8，移項(xiàng)，得4x?x=8+1?1，合并同類(lèi)項(xiàng)，得3x=8，系數(shù)化為1，得x=8經(jīng)檢驗(yàn)，x=8故方程的解為x=8【點(diǎn)睛】本題考查了解方式方程，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵．需注意的是，分式方程的解一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．18．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）x【答案】原方程無(wú)解【分析】方程兩邊同時(shí)乘以（x-1）化為整式方程，解整式方程后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得答案．【詳解】邊同時(shí)乘以（x-1）得，，2x=2x=1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，所以x=1是增根，所以原分式方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．注意分式方程要檢驗(yàn)．19．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知：，求代數(shù)式x?x+2x?2【答案】?x?2，?3.9【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再解分式方程求出x的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，，，，=?x?2，∵，∴x=1.9經(jīng)檢驗(yàn)x=1.9是分式方程的解，所以原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及解分式方程的能力．20．（2020·上海市徐匯中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）某中學(xué)七年級(jí)全體師生共340人進(jìn)行社會(huì)考察活動(dòng)．如果租用中客車(chē)若干輛，則還有20位學(xué)生沒(méi)有座位坐；如果租用大客車(chē)，那么同樣多的車(chē)輛，就會(huì)有60個(gè)座位沒(méi)人坐．已知每輛大客車(chē)載客人數(shù)比中客車(chē)的載客人數(shù)多10人，求每輛中客車(chē)的載客人數(shù)．【答案】中客車(chē)的載客40人【分析】首先設(shè)中客車(chē)的載客x人，則大客車(chē)的載客人，由題意得等量關(guān)系：大客車(chē)的輛數(shù)=中客車(chē)的輛數(shù)，由等量關(guān)系可得方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)中客車(chē)的載客x人，則大客車(chē)的載客人，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，答：中客車(chē)的載客40人．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．注意解出分式方程后不要忘記檢驗(yàn)．21．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）學(xué)生小李為使跳繩200次所用的時(shí)間減少10秒，必須把每秒鐘的跳繩次數(shù)增加10%，問(wèn)小李原來(lái)跳繩200次所用的時(shí)間是多少秒？【答案】小李原來(lái)跳繩200次所用的時(shí)間為110秒．【分析】由題意設(shè)小李原來(lái)跳繩200次所用的時(shí)間為x秒，根據(jù)單位跳繩次數(shù)×?xí)r間＝總次數(shù)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小李原來(lái)跳繩200次所用的時(shí)間為x秒．根據(jù)題意得．解得：x＝110．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝110是原方程的根．答：小李原來(lái)跳繩200次所用的時(shí)間為110秒．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題并從中找到等量關(guān)系．22．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）小麗乘出租車(chē)去體育場(chǎng)，有兩條路線(xiàn)可供選擇：路線(xiàn)一的全程是25千米，但交通比較擁堵；路線(xiàn)二的全程是30千米，平均車(chē)速比走路線(xiàn)一的平均車(chē)速能提高50%，因此能比路線(xiàn)一節(jié)省10分鐘到達(dá)．那么選走路線(xiàn)二去體育場(chǎng)需要多少時(shí)間?【答案】小麗選走路線(xiàn)二去體育場(chǎng)需要小時(shí)【分析】設(shè)小麗走路線(xiàn)一的平均速度是x千米/小時(shí)，則小麗走路線(xiàn)二的平均速度是x（1+50%）千米/小時(shí)，根據(jù)走路線(xiàn)二比走路線(xiàn)一少用10分鐘建立方程求出x，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小麗走路線(xiàn)一的平均速度是x千米/小時(shí)，則走路線(xiàn)二的平均速度是x（1+50%）千米/小時(shí)，由題意，得25x解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解且符合題意．故選走路線(xiàn)二去體育場(chǎng)需要301+50%×30=答：小麗選走路線(xiàn)二去體育場(chǎng)需要小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，根據(jù)條件找到等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵，解分式方程要驗(yàn)根是必不可少的步驟．【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的分式方程1?mx?1?2=21?x的解是非負(fù)數(shù)，則A．且m≠?3 B．m≥5且m≠?3 C．且m≠3 D．m≥5且m≠3【答案】C【分析】先求出分式方程的解，由題中已知得到不等式5?m2≥0，5?m【詳解】解：1?mx?11-m-2(x-1)=-2，1-m-2x+2=-2，-2x=-2-2-1+m，-2x=m-5，x=5?m2由題意得5?m2≥0，且5?m解得且m≠3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，注意增根的情況是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）若y=1是方程my?1+3y?2=1y?1y?2【答案】-1【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m的值．【詳解】解：my?1+3y?2去分母，可得m（y-2）+3（y-1）=1，把y=1代入，可得m（1-2）+3（1-1）=1，解得m=-1，故答案為-1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．3．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的分式方程m+32x?1=1的解不大于2，則【答案】m≤0，且m≠-3【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解不大于2且最簡(jiǎn)公分母不為0，求出m的范圍即可．【詳解】解：m+3去分母得：m+3=2x-1，解得：x=m+42，且2x-1≠0，即x≠1根據(jù)題意得：m+42≤2，且x≠解得：m≤0，且m≠-3，故答案為：m≤0，且m≠-3．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時(shí)候都要考慮分母不為0．4．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值為_(kāi)____．【答案】-1或-2或?【分析】化簡(jiǎn)得，整理有，分類(lèi)討論，若(a+1)=0且3a+4≠0時(shí)，則a=-1，若(a+1)≠0，則，由x的方程無(wú)解可知x=1或x=2，則1=3a+4a+1或2=3a+4a+1，解得a=-2或a=?【詳解】將化簡(jiǎn)得若(a+1)=0且3a+4≠0時(shí)則a=-1若(a+1)≠0，則有關(guān)于x的方程無(wú)解即x-1=0．x-2=0故x=1或2．將x=1或2代入有1=3a+4a+1解得a=-2或a=?3故答案為：-1或-2或?3【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的問(wèn)題，依據(jù)分式方程的無(wú)根確定字母參數(shù)的情況有1．分式方程化成的整式方程，該整式方程本事沒(méi)有根，若化為的是一元一次方程，則一次項(xiàng)系數(shù)為0即可，若化為的一元二次方程，則判別式小于零即可；分式方程的增根有兩個(gè)特點(diǎn)：第一：它必須是由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程的根；第二：它能使原分式方程的最簡(jiǎn)公分母等于0；依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；由題意求出增根；將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值．5．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的分式方程有增根，則a=__________．【答案】-2【分析】解決增根問(wèn)題的步驟：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【詳解】∵分式方程有增根，∴x-1=0，∴x=1．把兩邊都乘以x-1，得a+1=x-2，∴a+1=1-2，∴a=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．6．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）已知分式方程x?3x?2?x?2x?3=【答案】m＜5且m≠±1．【分析】求解分式方程為x=-m?52【詳解】x?3x?2∴m＝﹣2x+5，∴x＝﹣m?52∵分式方程的解為正數(shù)，∴m﹣5＜0，∴m＜5，又∵x≠2，x≠3，∴m≠1，m≠﹣1，∴m的范圍是m＜5且m≠±1，故答案為m＜5且m≠±1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解；熟練掌握分式方程的解法，要考慮方程增根的情況是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）解方程：3【答案】x=0【分析】先去分母將分式方程化為整式方程，解出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：去分母得：3-x(x+3)=-(x2+2x-3)去括號(hào)，得：3-x2-3x=-x2-2x+3移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，得：x=0．經(jīng)檢驗(yàn)：x=0是原分式方程的解，∴原分式方程的解為x=0．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法．解分式方程時(shí)注意要檢驗(yàn)．把分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海·七年級(jí)期末）解方程：1【答案】方程無(wú)解.【分析】觀察可得方程最簡(jiǎn)公分母為（x2?1）．去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解．結(jié)果要檢驗(yàn)．【詳解】解：11?x方程的兩邊同乘（x+1）（x?1），得：?（x+1）+3x?x2=?（x+1）（x解得x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原方程的增根，所以原方程無(wú)解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．9．（2022·上海·七年級(jí)期末）解方程：4【答案】x=-4【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：44+x(x+2)=x2-44+x2+2x=x2-4x=-4當(dāng)x=-4時(shí)，x2所以x=-4是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．10．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）解方程、【答案】x=【分析】利用換元法計(jì)算.【詳解】設(shè)x2原方程可變形為：a+3a?1化簡(jiǎn)得：b-a=1故2x=1x=1經(jīng)檢驗(yàn)：x=1【點(diǎn)睛】本題考查的是解方程，能根據(jù)題目特點(diǎn)進(jìn)行換元是關(guān)鍵，要注意檢驗(yàn).11．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）若分式方程k?1x2?1?1【答案】k【分析】分式兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母可得：，再將增根代入式子即可求出k的值．【詳解】解：∵分式方程的最簡(jiǎn)公分母為xx+1∵分式方程有增根x=?1，將其代入上式可得：，解之得：k=1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程根的情況，利用分式方程有增根求參數(shù)值，解題的關(guān)鍵是將增根代入去分母之后的式子進(jìn)行求解．12．（2022·上海·七年級(jí)單元測(cè)試）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕在即，參加女子1500米短道速滑的運(yùn)動(dòng)員在教練員的指導(dǎo)下努力訓(xùn)練提高競(jìng)技水平．在經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是原來(lái)的1.1倍，時(shí)間縮短了15秒，那么經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是多少？【答案】經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是10米/秒．【分析】設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員原來(lái)的速度是x米/秒，則經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后的速度是1.1x米/秒，利用“時(shí)間＝路程÷速度”以及“經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后時(shí)間縮短了15秒”的等量關(guān)系列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員原來(lái)的速度是x米/秒，則經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后的速度是1.1x米/秒，依題意得：1500x﹣1500解得：x＝10011經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10011∴1.1x＝1.1×10011答：經(jīng)過(guò)指導(dǎo)后，甲運(yùn)動(dòng)員的速度是10米/秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是審清題意、舍出未知數(shù)、根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程．13．（2022·上海寶山·七年級(jí)期末）元旦，小紅和弟弟小杰兩人以包餛飩來(lái)慶祝成長(zhǎng)，兩人實(shí)際所包的餛飩數(shù)之比是5：3（小紅：小杰），調(diào)皮的弟弟小杰從小紅包好的餛飩里拿了2個(gè)放入自己的成果行列后，宣稱(chēng)自己和姐姐包好的餛飩數(shù)之比是2：3，求兩人一共所包的餛飩數(shù)．（列分式方程解應(yīng)用題）【答案】?jī)扇艘还舶?0個(gè)餛飩【分析】設(shè)兩人一共包了x個(gè)餛飩，根據(jù)實(shí)際所包的餛飩數(shù)之比是5：3和最后的餛飩數(shù)之比是2：3列出方程，然后解方程即可解答．【詳解】解：設(shè)兩人一共包了x個(gè)餛飩，則小紅包了58x個(gè)餛飩，小杰包了，根據(jù)題意，得：38解得：x=80，經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是所列方程的解，答：兩人一共包了80個(gè)餛飩．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．14．（2022·上海·七年級(jí)單元測(cè)試）某校田徑隊(duì)的小明同學(xué)參加了兩次有氧耐力訓(xùn)練，每一次訓(xùn)練內(nèi)容都是在400米環(huán)形跑道上慢跑10圈．若第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，則第二次比第一次提前5分鐘跑完．（1）小勇同學(xué)一次有氧耐力訓(xùn)練慢跑是米；（2）小勇同學(xué)兩次慢跑的速度各是多少？【答案】（1）4000；（2）小勇同學(xué)兩次慢跑的速度各是4003【分析】（1）一次有氧耐力訓(xùn)練慢跑10圈，一圈400米，兩數(shù)相乘即可求得答案．（2）設(shè)出第一次慢跑的速度，接著表示出第二次的速度，分別求出兩次所用時(shí)間，根據(jù)兩次時(shí)間的關(guān)系，列出方程，并求出方程．【詳解】（1）解：小勇一圈跑400米，一共跑了10圈，共400×10=4000米．（2）解：設(shè)第一次慢跑速度為每分鐘x米，由于第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，故第二次慢跑速度為每分鐘1.2x米．由題意可得：解得：x=400經(jīng)檢驗(yàn)得：x=400∴第一次慢跑速度為每分鐘4003米，第二次慢跑速度為每分鐘米．答：小勇同學(xué)兩次慢跑的速度各是4003【點(diǎn)睛】本題主要是考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練根據(jù)等式關(guān)系列出分式方程，并求解分式方程，是解題的關(guān)鍵，但注意分式方程一定要驗(yàn)根．15．（2022·上?！て吣昙?jí)單元測(cè)試）列分式方程解應(yīng)用題．某商場(chǎng)新進(jìn)一種商品，第一個(gè)月將此商品的進(jìn)價(jià)提高20%作為銷(xiāo)售價(jià)，共獲利600元．第二個(gè)月商場(chǎng)搞促銷(xiāo)活動(dòng)，將商品的進(jìn)價(jià)提高15%作為銷(xiāo)售價(jià)，第二個(gè)月的銷(xiāo)售量比第一個(gè)月增加了40件，并且商場(chǎng)第二個(gè)月比第一個(gè)月多獲利150元．問(wèn)此商品的進(jìn)價(jià)是多少元？商場(chǎng)第二個(gè)月銷(xiāo)售多少件？【答案】50元，100件【分析】設(shè)此商品進(jìn)價(jià)是x元，然后根據(jù)等量關(guān)系為：第二個(gè)月的銷(xiāo)售量-第一個(gè)月的銷(xiāo)售量=40，算出后可得到此商品的進(jìn)價(jià)，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)此商品進(jìn)價(jià)是x元，則：600+15015%x解得：經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是方程的根．則600+15015%×50答：商品進(jìn)價(jià)為50元，商場(chǎng)第二個(gè)月共銷(xiāo)售100件．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確根據(jù)題意列出方程求解．16．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）為了應(yīng)對(duì)特殊時(shí)期，某口罩生產(chǎn)企業(yè)需要在若干天內(nèi)加工12000個(gè)口罩，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于提高了生產(chǎn)技術(shù)水平，每天加工的個(gè)數(shù)為原來(lái)的1.5倍，從而提前2天完成任務(wù)（1）問(wèn)該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩？（2）如果該企業(yè)按原計(jì)劃的工作效率加工了a個(gè)口罩后，才將效率提高到原來(lái)的1.5倍，則該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了多少天？（所得結(jié)果用含有a的代數(shù)式表示：a為大于零的整數(shù)）【答案】（1）企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)2000個(gè)口罩；（2）該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了a6000【分析】（1）設(shè)企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x個(gè)口罩，則提高效率后每天生產(chǎn)1.5x個(gè)口罩，根據(jù)“原計(jì)劃比實(shí)際多用2天完成”列出分式方程即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)“總時(shí)間=以原計(jì)劃的工作效率加工a個(gè)口罩所用時(shí)間＋以提高效率后的工作效率加工（12000－a）個(gè)所用時(shí)間”即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x個(gè)口罩，則提高效率后每天生產(chǎn)1.5x個(gè)口罩，根據(jù)題意可得12000解得：x=2000經(jīng)檢驗(yàn)：x=2000是原方程的解，且符合題意答：企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)2000個(gè)口罩．（2）根據(jù)題意，該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用a6000+4答：該企業(yè)完成這批口罩工作任務(wù)共用了a6000【點(diǎn)睛】此題考查的是分式方程的應(yīng)用和利用代數(shù)式表示實(shí)際意義，掌握實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（2022·上?！て吣昙?jí)期末）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車(chē)和一輛小汽車(chē)同時(shí)從甲地出發(fā)開(kāi)往乙地，小汽車(chē)的速度是貨車(chē)的1.2倍，結(jié)果小汽車(chē)比貨車(chē)早半小時(shí)到達(dá)乙地，求兩輛車(chē)的速度．【答案】貨車(chē)的速度為100千米/時(shí)，小汽車(chē)的速度為120千米/時(shí)．【分析】設(shè)貨車(chē)的速度為x千米/時(shí)，則小汽車(chē)的速度為1.2x千米/時(shí)，根據(jù)時(shí)間=路程÷速