第十章 分式（16類題型突破）

第十章分式（16類題型突破）題型一分式有無意義的條件1．（2023春·吉林長春·八年級校考期中）下列各式中，無論x取何值，分式都有意義的是（

）A．x22x2+1 B． C．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知分式x+12-x，當x取a時，該分式的值為0；當x取bA．-2 B．12 C．1 D3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若分式無意義，則x應滿足的條件是（）A．x≠3 B．x=-3 C．x=±鞏固訓練：1．（2023春·浙江·七年級專題練習）要使分式有意義，那么x的取值范圍是（

）A．x≠3 BC．x≠0且x≠3 D2．（2023秋·八年級課時練習）已知分式x-b2x+a，當時，分式的值為0；當x=-2時，分式?jīng)]有意義，則3．（2023春·全國·八年級專題練習）已知y=x-1(1)y的值是正數(shù)；(2)y的值是負數(shù)；(3)y的值是零；(4)分式無意義．題型二分式值為零的條件1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）若分式x-13x+1的值為0，則xA．1 B．0 C． D．-32．（2023秋·河南南陽·八年級校考階段練習）若x2-1x2A． B．1 C． D．不存在3．（2023秋·山東威?！ぐ四昙壣綎|省文登第二中學校聯(lián)考階段練習）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當時，x-2B．無論x為何值，3xC．無論x為何值，3x+1D．當x≠3時，鞏固訓練1．（2023秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習）若已知分式x-2-1x2-A．19或 B．19或1 C． D．12．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若分式x-3x+3的值為零，那么x3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知x=1時，分式無意義；x=4時，分式的值為0，求a+b的值．題型三分式的求值與取值范圍1．（2023春·山東棗莊·八年級校考階段練習）已知m2-3m+2=0A．3 B．2 C． D．122．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第九中學?？茧A段練習）若分式1x-1y=2A．-35 B．35 C．-3．（2023春·湖南衡陽·八年級?？计谥校┤舴质降闹禐檎?，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠-1 B．a(chǎn)≠0 C．鞏固訓練1．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下面是佳佳將分式A做出的正確的變形運算過程：A=2a+1a-A．當a=-2時，A=5 B．當A=2C．當a>1時，A>2 D．A為整數(shù)值時，a=2．（2023秋·山東威海·九年級?？茧A段練習）若分式1x-1y=2，則分式3．（2023秋·八年級課時練習）閱讀下面的解題過程：已知xx2+1解：由xx2+1=13知所以x4+1x2=該題的解法叫做“倒數(shù)求值法”，請你利用“倒數(shù)求值法”解下面的題目：(1)若xx2+1(2)若，求的值．題型四分式變形及其成立的條件1．（2023秋·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）下列分式的變形正確的是（

）A．-x+y-xC．a(chǎn)b-1ac2．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）當時，k代表的代數(shù)式是(

)A．x-1 B．x2y-xy C3．（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┫铝懈魇綇淖蟮接业淖冃握_的是（

）A．a(chǎn)2-0.2aC．1-12鞏固訓練1．（2023春·全國·八年級專題練習）將x0.2A．x2-0.5+0.01xC．x20-0.5+0.01x2．（2023春·全國·七年級專題練習）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：yx-3．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？(1)1a+b(2)2xx(3)a+b2(4)3a+b題型五利用分式的基本性質(zhì)判定分式值的變化1．（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┤舭逊质統(tǒng)x+y中的x、y都擴大2倍，那么分式的值(

A．擴大2倍 B．不變 C．縮小2倍 D．縮小122．（2023秋·八年級課時練習）下列運算，錯誤的是（

）A．a(chǎn)b=acC．0.7a+b0.2a-0.3b=7a+10b3．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考階段練習）下面是馬小虎的答卷，他的得分應是（

）姓名馬小虎

得分

？判斷題（每小題20分，共100分）（1）代數(shù)式，m+nm-n是分式．（（2）當x=-1時，分式x（3）a2+b（4）若分式|x|-2x+2的值為0，則x的值為±2．（（5）分式y(tǒng)2x+y中x，y的值均擴大為原來的2倍，分式的值保持不變．（A．40分 B．60分 C．80分 D．100分鞏固訓練1．（2023·全國·八年級專題練習）將分式4m-3n5mn中的m、n同時擴大為原來的3倍，分式的值將（

A．擴大3倍 B．不變C．縮小為原來的 D．縮小為原來的192．（2023春·浙江·七年級專題練習）分式中的x、y的值分別擴大為原來的5倍，則此分式的值擴大為原來的倍．3．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀材料題：已知：a3=b解：設a3則a＝3k，b＝4k，c＝5k①；所以2a+3b-c(1)上述解題過程中，第①步運用了的基本性質(zhì)；第②步中，由13k9k求得結(jié)果139運用了(2)參照上述材料解題：已知：x2=y題型六將分式的分子分母各項系數(shù)化為整數(shù)1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習）將分式12a-13A．3a-2b3a+4b B． C．6a+3b3a+4b D．2．（2023春·全國·八年級專題練習）把分式13x-A．3x-62x+4 B．4x-26x+3 C．2x-12x+13．（2023春·全國·八年級專題練習）不改變分式的值，將分式0.02x+0.5yx+0.004y中的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù)，其結(jié)果為（

A．20x+500y1000x+4y B．20x+500y100x+4y C．2x+50y1000x+4y鞏固訓練1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．分式x2-1x-1的值為零，則B．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，等式C．把分式0.6a-53D．分式3x-2．（2023春·全國·七年級專題練習）將分式0.2x-123．（2023秋·福建福州·七年級福州華倫中學?？奸_學考試）我們知道：分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)，等等．小學里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)．類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式．如：x+1x-=1+2x（1）請寫出分式的基本性質(zhì)；（2）下列分式中，屬于真分式的是；A．x2x-1 B．x-1x+1 C．﹣32x-1（3）將假分式，化成整式和真分式的形式．題型七約分與通分1．（2023秋·八年級課時練習）已知a=2023，則a2-1A．2021 B．2022 C．20212 D．2．（2023秋·八年級課時練習）下列運算中正確的是（

）A．x8x4C． D．3．（2023春·全國·八年級專題練習）把1x-2，1(x-2)(x+3)，2(x+3A．最簡公分母是(x-2)(x+3)2 BC．1(x-2)(x+3)=x+3鞏固訓練1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）分式-xx2A．1y-x B．-1x+y C． D2．（2023春·七年級單元測試）已知對于3x+7(x+4)(x+3)=Ax+4-B3．（2023春·浙江·七年級專題練習）（1）約分：6ab2（2）通分：1m2-9題型八分式的乘除法運算1．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)；(2)x22．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)-b(2)；(3)a2(4)2a+2a鞏固訓練1．（2023秋·山東泰安·八年級青云中學?？茧A段練習）計算：(1)；(2)2x-2．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)8xy9(2)．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)．(2)x2(3)2x-題型九分式的加減法運算1．（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）計算：(1)a-(2)m-2．（2023春·浙江·七年級專題練習）計算：(1)x(2)(3)a(4)3．（2023春·全國·八年級專題練習）計算(1)a-(2)xx(3)x2鞏固訓練1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：(1)2x+3x+1(2)1a2．（2023春·浙江·九年級階段練習）以下是圓圓計算x2解：x2圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．3．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分數(shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如：x-1x+1，x2x-1這樣的分式就是假分式；再如：2x+1，2xx2+1這樣的分式就是真分式，假分數(shù)7解決下列問題：(1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）；(2)若分式x-4x-2的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x(3)若分式x2-1x+2(4)若分式2x2+5x2題型十分式運算的實際應用1．（2023秋·八年級課時練習）商店通常用以下方法來確定兩種糖果混合而成的什錦糖的價格：設A種糖的價格為a元/kg，B種糖的價格為b元/kg，則mkgA種糖和nkgB種糖混合而成的什錦糖的價格為ma+nbm+n元/kg．現(xiàn)有甲、乙兩種什錦糖，均由A，B兩種價格不同的糖混合而成．其中甲種什錦糖由10kgA種糖和10kgB種糖混合而成，乙種什錦糖由價值100元的A種糖和價值100元的B2．（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水變甜了．用數(shù)學關(guān)系式可以表示為______(2)請證明（1）中的數(shù)學關(guān)系式．3．（2023秋·全國·八年級課堂例題）小明發(fā)現(xiàn)爸爸和媽媽的加油習慣不同，媽媽每次加油都說：“師傅，給我加200元油．”（油箱未加滿）而爸爸每次加油都說：“師傅，給我加30升油!”（油箱未加滿）小明很好奇：現(xiàn)實生活中油價常有變動，爸爸媽媽不同的加油方式，哪種方式會更省錢呢？現(xiàn)以兩次加油為例來研究．設爸爸媽媽第一次加油時的油價為x元/升，第二次加油時的油價為y元/升．(1)求媽媽兩次加油的總量和兩次加油的平均價格；（用含x,y的式子表示）(2)爸爸和媽媽的兩種加油方式中，誰的加油方式更省錢？鞏固訓練1．（2023秋·八年級課時練習）如圖，“第三代一號”水稻的試驗田是邊長為m米的正方形去掉一個邊長為n米（m>n）的正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二號”水稻的試驗田是邊長為m-n米的正方形，兩塊試驗田的水稻都收獲了a

(1)試建立分式，并比較哪種水稻的單位面積產(chǎn)量高？為什么？（提示：m，n均為正數(shù)）(2)高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量高多少？2．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）某海灣城市有A，B兩個港口、有兩條航線能夠連接A，B兩個港口，兩條航線的路程都是150km，已知貨輪在靜水中的最大航速為．(1)若該貨輪在水流速度為5km/h的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度；(2)航運公司計劃用該貨輪將一批貨物以最大航速從A港送往B港，再從B港返回A港．根據(jù)海流預報：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為5km/h，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內(nèi)灣，水流速度忽略不計．為了使送貨的往返的總時間更短，請通過計算說明航運公司應當選擇哪一條航線．3．（2023春·七年級單元測試）【閱讀】在處理分式問題時，由于分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以將分式拆分成一個整式與一個分式的和（差）的形式，通過對簡單式子的分析來解決問題，我們稱之為分離整式法．例：將分式x2解：設x+2=t，則x=t-原式=∴x2這樣，分式x2-3x-1x+2就拆分成一個整式(x-5)【應用】(1)使用分離整式法將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，則結(jié)果為______；(2)將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，則結(jié)果為______；【拓展】(3)已知分式x2-x+7題型十一分式的化簡求值1．（2023秋·湖南岳陽·八年級校考階段練習）已知：x2(1)x+(2)x2．（2023秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）先化簡，再求值：3x-1-x-1÷x-23．（2023秋·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習）先化簡：然后從0，1，2，3中選擇你喜歡的x值帶入求值．鞏固訓練1．（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考階段練習）按要求解答下列各小題(1)計算：3a(2)計算：x2(3)先化簡，再求值：，其中x=122．（2023秋·山東濟寧·九年級濟寧市第十五中學校考階段練習）M=a(1)化簡代數(shù)式M；(2)請在以下四個數(shù)中：1，，2，-2，選擇一個合適的數(shù)代入，求M的值．3．（2023秋·山東東營·八年級?？茧A段練習）閱讀理解：例題：已知實數(shù)x滿足x+1x=4解：∵x+∴xx∴(1)已知實數(shù)a滿足a+1a=5(2)已知實數(shù)b滿足b+1b+1=9題型十二解分式方程1．（2023秋·湖南邵陽·八年級?？茧A段練習）計算(1)2-(2)12．（2023秋·山東淄博·八年級校考階段練習）解方程：(1)；(2)x-3．（2023秋·山東泰安·八年級寧陽縣第二十四中學校考階段練習）解方程(1)xx(2)3-(3)xx+1(4)2x鞏固訓練1．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第九中學?？茧A段練習）解分式方程(1)2(2)2．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級?？茧A段練習）解方程：(1)；(2)．3．（2023秋·八年級課時練習）解下列分式方程：(1)35x(2)4x-(3)；(4)．題型十三根據(jù)分式方程解的情況求值1．（2023春·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的方程2x+mx-1=1的解是負數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m>-1 B．m>-1且mC．m<-1 D．m<-1且m2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3A．-2 B．2 C．-4 D．3．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第九中學?？茧A段練習）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥-4 B．a(chǎn)>C．a(chǎn)≥-4且a≠-1 D．a(chǎn)>-4且a鞏固訓練1．（2023·黑龍江雞西·?？寄M預測）若關(guān)于x的分式方程的解為正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．且m≠1 B．m<3且m≠2 C． D．且m≠22．（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學校考階段練習）已知關(guān)于x的不等式組3(3-x)-1<xx+2≥a的解集為x>2，且關(guān)于y的分式方程ay-5y-3（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習）已知關(guān)于x的方程:ax+1(1)當a=3時，求這個方程的解;(2)若這個方程有負整數(shù)解，直接寫出a的值為_______.題型十四分式方程增根與無解問題1．（2023春·山東青島·八年級?？茧A段練習）若分式方程3xx-1=mx-1有增根，則A．1 B． C．3 D．-32．（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考開學考試）若關(guān)于x的分式方程x-3x-1=mx-1無解，則A．-2 B．2 C．-3 D．3．（2023春·河南鄭州·八年級校聯(lián)考階段練習）若關(guān)于x的分式方程xx+4-1x+4=A．1 B．-4 C．-5 D．-鞏固訓練1．（2023秋·山東泰安·八年級校考階段練習）關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42、（2023秋·上海虹口·九年級上外附中?？茧A段練習）已知關(guān)于x的方程mx+3-13-x=3．（2023春·八年級課時練習）已知關(guān)于x的分式方程：3-(1)當m＝3時，解分式方程；(2)若這個分式方程無解，求m的取值范圍．題型十五分式方程的實際應用1．（2023秋·吉林長春·九年級長春外國語學校?？茧A段練習）在劍蘭公路的拓寬改造工程中，省路橋公司承擔了48千米的任務．為了減少施工帶來的影響，在確保工程質(zhì)量的前提下，實際施工速度是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成任務．求原計劃平均每天改造公路多少千米？2．（2023·山西太原·山西實驗中學?？寄M預測）隨著5G網(wǎng)絡技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)60萬件，現(xiàn)在生產(chǎn)800萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間相同．求更新技術(shù)前平均每天生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)．3．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？奸_學考試）某服裝制造廠在開學前趕制3000套校服．(1)若甲組先做2天，然后乙組加入，甲、乙兩組再共做10天完成任務．已知每天乙組比甲組多做25套，問甲組每天能做多少套校服？(2)為了盡快完成任務，廠領(lǐng)導合理調(diào)配，加強第一線人力，使每天完成的校服比原計劃多了20%，結(jié)果提前4天完成任務．問原計劃每天能做多少套校服？鞏固訓練1．（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考階段練習）下圖是學習分式方程的應用時，老師板書的問題和甲、乙兩名同學列的方程．嘉淇家到學校的路程是，嘉淇從家去學校需要先乘公交車，下車后再走2km才能到學校，所用總時間是1h．已知公交車的速度是嘉淇步行速度的9倍，求公交車的速度和嘉淇的步行速度．甲：38-29x+2x根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)甲同學所列方程中的x表示______；乙同學所列方程中的y表示______；(2)請你從兩個方程中任選一個，解方程并回答老師提出的問題．2．（2023秋·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習）由于最近是紅眼病高發(fā)期，學校為了應對紅眼病的大面積爆發(fā)，決定從商店購買一批消毒液供學生消毒使用，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的消毒液供選擇，已知乙種消毒液的單價是消毒液的45，用360元單獨購買其中一種消毒液時，可以比單獨購買另一種消毒液多6(1)甲、乙兩種消毒液的單價分別是多少？(2)若用360元（錢用完）購買兩種消毒液，且甲種消毒液不少于16瓶，問學校有幾種方案（兩種消毒液都要有）？請通過計算說明3（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考階段練習）近年來，隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車在中國已然成為汽車工業(yè)發(fā)展的主流趨勢．某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝288輛，便抽調(diào)了部分熟練工和招聘一批新工人來完成新式電動汽車的安裝，培訓后上崗，一段時間后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動汽車；1名熟練工和3名新工人每月也可安裝10輛電動汽車．(1)求每名熟練工和每名新工人每月分別可以安裝電動汽車的數(shù)量．(2)從這款電動汽車和某款燃油車的對比調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：電動汽車平均每千米的行駛費用比燃油車平均每千米的行駛費用少0.6元．當兩款車的行駛費用均為200元時，電動汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍．①求這款電動汽車平均每千米的行駛費用；②若電動汽車和燃油車每年的其他費用分別為6400元和4000元．問：每年行駛里程為多少千米時，買電動汽車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其他費用）題型十六整數(shù)指數(shù)冪及其運算1．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州楊橋中學?？计谥校┯嬎悖?1)2022-(2)12(3)a4(4)2a2．（2023春·江西贛州·七年級?？茧A段練習）（1）計算2023（2）計算．3．（2023秋·福建福州·八年級福州三牧中學校考期中）先化簡，再求值：aa-3-3a鞏固訓練1．（2022春·湖南衡陽·八年級校考期中）計算：(1)；(2)．2．（2022秋·湖南永州·八年級?？茧A段練習）計算：(1)π-(2)．3．（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）計算或化簡：(1)2-(2)x+52

第十章分式（16類題型突破）參考答案題型一分式有無意義的條件1．（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┫铝懈魇街?，無論x取何值，分式都有意義的是（

）A．x22x2+1 B． C．【答案】A【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不為0，進行判斷即可．【詳解】解：∵2x2+1∵當x=-12時，2x+1=0，故∵當x=1時，x2-1=0∵x=±2時，x-2=0，故故選：A．【點睛】本題考查分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不為0，則分式有意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知分式x+12-x，當x取a時，該分式的值為0；當x取b時，分式無意義；則bA．-2 B．12 C．1 D．【答案】B【分析】先把x=a代入分式，根據(jù)分式值為0得出a+1=0，求出解得：a=-1時，該分式的值為0；把x=b代入分式，根據(jù)分式無意義，由分母為零，求出b=2，再求代數(shù)式的值即可．【詳解】解：分式x+12當x=a時，a+12當a+1=0時，解得：a=-1時，該分式的值為當x=b時，b+12當2-解得：b=2，即時分式無意義，此時b=2，則ba故選：B．【點睛】本題考查分式，分式的值為0的條件，分式無意義的條件，求代數(shù)式的值，掌握分式的值為0的條件，分式無意的條件是解題關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若分式無意義，則x應滿足的條件是（）A．x≠3 B．x=-3 C．x=±3 D．x【答案】C【分析】由題意得x2【詳解】解：若分式無意義，則x2解得，x=±故選：C．【點睛】本題考查了分式無意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式無意義的條件并認真計算．鞏固訓練：1．（2023春·浙江·七年級專題練習）要使分式有意義，那么x的取值范圍是（

）A．x≠3 B．xC．x≠0且x≠3 D．x≠3且x【答案】A【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求解即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴x2∴x-∴x-∴x≠∴分式有意義，x的取值范圍x≠3故選：A．【點睛】本題考查了分式有意義的條件：分母不為0，掌握不等式的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習）已知分式x-b2x+a，當時，分式的值為0；當x=-2時，分式?jīng)]有意義，則ab的值為【答案】8【分析】由時，分式的值為0，可得2-b=0，解得b=2，由x=-2時，分式?jīng)]有意義，可得2×-2+a=0，解得a=4【詳解】解：∵時，分式的值為0，∴2-b=0，解得b=2．∵x=-∴2×-2+a=0，解得∴ab=8．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，解一元一次方程，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．3．（2023春·全國·八年級專題練習）已知y=x-12-3x，(1)y的值是正數(shù)；(2)y的值是負數(shù)；(3)y的值是零；(4)分式無意義．【答案】(1)2(2)x>1或x<(3)x=1(4)x=【分析】（1）y的值是正數(shù)，則分式的值是正數(shù)，則分子與分母一定同號，分同正與同負兩種情況，列不等式組，即可求解；（2）y的值是負數(shù)，則分式的值是負數(shù)，則分子與分母一定異號，應分分子是正數(shù)，分母是負數(shù)和分子是負數(shù)，分母是正數(shù)兩種情況進行討論，列不等式組，即可求解；（3）分式的值是0，則分子等于0，分母不等于0，列不等式組，即可求解；（4）分式無意義的條件是分母等于0．【詳解】（1）解：∵y∴x-1>02-3x>0或解得x>1x<2故當23<x<1時，（2）解：∵y∴x-1>02-3x<0或解得x>1x>2故當x>1或x<23時，（3）解：當x-1=02-3x≠0時，即x=1時，y（4）解：當2-3x=0時，即x=2【點睛】本題主要考查了分式的定義，分式的值，分式有意義的條件．掌握分式的概念及分式的值為正或負時，分子與分母的符號關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型二分式值為零的條件1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）若分式x-13x+1的值為0，則xA．1 B．0 C． D．-3【答案】A【分析】分式的值等于零時，分子等于零，且分母不等于零．【詳解】解：依題意得：x-1=0且3x+1≠解得x=1．故選：A．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．2．（2023秋·河南南陽·八年級校考階段練習）若x2-1x2+2x-3A． B．1 C． D．不存在【答案】C【分析】由分式在值為0可得分子為0，分母不為0，從而可得答案.【詳解】解：x2∴x2-1=0，即解得：x=±當x=1時，x2當x=-1時，∴x=故選C【點睛】本題考查的是分式的值為0的條件，熟記分式的值為0時，分子為0，分母不為0是解本題的關(guān)鍵.3．（2023秋·山東威?！ぐ四昙壣綎|省文登第二中學校聯(lián)考階段練習）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當時，x-2B．無論x為何值，3xC．無論x為何值，3x+1D．當x≠3時，x-【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件和分數(shù)值為零的條件逐一判斷，即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、當時，x-2B、∵x2≥0，∴x2+1>0，C、當時，3x+1=D、當x≠0時，x-故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值為零的條件是分子是0，分母不是0．鞏固訓練1．（2023秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習）若已知分式x-2-1x2-6x+9的值為0，則A．19或 B．19或1 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得：|x-2|-1=0，且x2【詳解】解：由題意得：，且x2-解得：x=1，x-故選：D．【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．2．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）若分式x-3x+3的值為零，那么x【答案】3【分析】根據(jù)分式為零的條件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可．【詳解】解：由x-3=0，得x=又x+3≠0，則x=3所以若分式x-3x+3的值為0，則x的值為故答案為：3．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：①分子的值為0，②分母的值不為0，這兩個條件缺一不可．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知x=1時，分式無意義；x=4時，分式的值為0，求a+b的值．【答案】-【分析】分式無意義時，分母x-a=0；分式是值為零時，分子x+2b=0，分別求出a，b的值，故可求解．【詳解】解：∵當x=1時，分式無意義，∴x-a=1-a=0，即a=1；又∵當x=4時，分式的值為零，∴x+2b=4+2b=0，即b=-∴a+b=1-【點睛】本題考查了分式有意義的條件、分式的值為零的條件．分式有意義，分母不為零；若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．題型三分式的求值與取值范圍1．（2023春·山東棗莊·八年級?？茧A段練習）已知m2-3m+2=0A．3 B．2 C． D．12【答案】D【分析】由m2-3m+2=0可得【詳解】解：∵m2∴m2∴mm故選：D．【點睛】本題考查了分式的求值，根據(jù)題意得出m22．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第九中學?？茧A段練習）若分式1x-1y=2A．-35 B．35 C．-【答案】B【分析】先根據(jù)題意得出x-【詳解】解：∵1x∴y-x=2xy，即x-∴4x+5xy===3故選：B．【點睛】本題考查了分式的求值，根據(jù)題意得出x-3．（2023春·湖南衡陽·八年級?？计谥校┤舴质降闹禐檎?，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠-1 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)>3 D．a(chǎn)<3【答案】C【分析】根據(jù)a2+1>0可得a-【詳解】解：∵a2∴a-3>0時，分式∴a>3，故選：C．【點睛】本題考查分式的值，當分子分母同為正或同為負時，分式的值為正．鞏固訓練1．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下面是佳佳將分式A做出的正確的變形運算過程：A=2a+1a-A．當a=-2時，A=5 B．當A=2時，a=1C．當a>1時，A>2 D．A為整數(shù)值時，a=【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)逐項求解即可．【詳解】解：A、當a=-2時，A=2+3B、當A=2時，即2+3C、當a>1時，a∴A=2+3D、A為整數(shù)值時，A=2+3∴3a∴a-1=1或或3或-3∴解得a=2或0或4或-2故選：C．【點睛】題目主要考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·山東威?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）若分式1x-1y=2【答案】1【分析】由1x-1y=2可得x-y=-2xy【詳解】解：∵1∴y∴y∴x===，故答案為：1．【點睛】本題考查了求分式的值，根據(jù)題意得出x-3．（2023秋·八年級課時練習）閱讀下面的解題過程：已知xx2+1解：由xx2+1=13知所以x4+1x2=該題的解法叫做“倒數(shù)求值法”，請你利用“倒數(shù)求值法”解下面的題目：(1)若xx2+1(2)若，求的值．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)“倒數(shù)求值法”的解題思路即可求出答案；（2）根據(jù)“倒數(shù)求值法”的解題思路即可求出答案．【詳解】（1）解：∵xx2+1∴x2∴x+1∴x4∴x2（2）解：∵，且x≠∴x∵x∴x4【點睛】本題考查分式的運算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵正確理解題目給出的解答思路．題型四分式變形及其成立的條件1．（2023秋·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）下列分式的變形正確的是（

）A．-x+y-xC．a(chǎn)b-1ac-1=b-1【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)作答．【詳解】A、-x+yB、a+ba+bC、是最簡分式，不能再約分，故此選項不符合題意；D、a+mb+m故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數(shù)，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一項，且擴大（縮小）的倍數(shù)不能為0．2．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）當時，k代表的代數(shù)式是(

)A．x-1 B．x2y-xy C．xy-y【答案】B【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，分子分母同時乘以xy，即可求解．【詳解】解：∵3x∴k=x故選：B．【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇泰州·八年級校考期中）下列各式從左到右的變形正確的是（

）A．a(chǎn)2-0.2aC．1-12a【答案】C【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．根據(jù)分式的基本性質(zhì)再逐一分析判斷即可．【詳解】解：a2-0.2ax+1x-y1-12b2-a故選C【點睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，分式的約分，掌握分式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023春·全國·八年級專題練習）將x0.2A．x2-0.5+0.01xC．x20-0.5+0.01x【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解．【詳解】解：將x0.2-0.5+0.01x故選：D．【點睛】本題考查一元一次方程的化簡，熟練掌握分式的基本性質(zhì)解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：yx-【答案】xy【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子、分母同時乘以x-【詳解】解：∵x∴y故答案為：xy-【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，完全平方公式，單項式乘以多項式法則，熟練掌握和運用分式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？(1)1a+b(2)2xx(3)a+b2(4)3a+b【答案】(1)分子、分母同乘a+b(2)分子、分母同除以2(3)分子、分母同除以a+b(4)分子、分母同乘3a【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐一解答即可．【詳解】（1）解：分子、分母同乘a+b，1a+b（2）解：分子、分母同除以2x2xx（3）解：分子、分母同除以a+b，a+b2（4）解：分子、分母同乘3aa+b3a+b【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的分子和分母同時乘或除一個不等于零的數(shù)，分式的值不變是解題的關(guān)鍵．題型五利用分式的基本性質(zhì)判定分式值的變化1．（2023春·吉林長春·八年級校考期中）若把分式y(tǒng)x+y中的x、y都擴大2倍，那么分式的值(

A．擴大2倍 B．不變 C．縮小2倍 D．縮小12【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到新的分式，與原分式比較即可得出答案．【詳解】解：把分式y(tǒng)x+y中的x和y都擴大22y2x+2y∴與原分式相比，分式的值不變．故選：B．【點睛】本題考查了分式的性質(zhì)，把x，y替換為2x，2y，再化簡比較是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習）下列運算，錯誤的是（

）A．a(chǎn)b=acC．0.7a+b0.2a-0.3b=7a+10b【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A．分子和分母同乘一個不為0的c，分式的值不變，故A正確，不符合題意；B．分子-a-b=-a+b，故-a-C．等號左側(cè)分式的分子和分母同乘10，分式的值不變，故C正確，不符合題意；D．分子變?yōu)橄喾磾?shù)，而分母不變，不符合分式的基本性質(zhì)，故D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)，分子分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變．3．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考階段練習）下面是馬小虎的答卷，他的得分應是（

）姓名馬小虎

得分

？判斷題（每小題20分，共100分）（1）代數(shù)式，m+nm-n是分式．（（2）當x=-1時，分式x（3）a2+b（4）若分式|x|-2x+2的值為0，則x的值為±2．（（5）分式y(tǒng)2x+y中x，y的值均擴大為原來的2倍，分式的值保持不變．（A．40分 B．60分 C．80分 D．100分【答案】B【分析】根據(jù)分式的定義，分式無意義的條件，最簡分式的定義，分式的值為0的條件，分式的基本性質(zhì)，逐一判斷即可．【詳解】解：代數(shù)式，m+nm-n是分式．馬小虎判斷正確；得當x=-1a2+b若分式|x|-2x+2的值為0，則x的值為2分式y(tǒng)2x+y中x，y的值均擴大為原來的2倍，分式的值擴大2倍．馬小虎判斷正確；得故選B【點睛】本題考查的是分式的定義，分式無意義，分式的值為0的條件，分式的基本性質(zhì)，最簡分式的含義，熟記以上基本概念與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023·全國·八年級專題練習）將分式4m-3n5mn中的m、n同時擴大為原來的3倍，分式的值將（

A．擴大3倍 B．不變C．縮小為原來的 D．縮小為原來的19【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】設A=4m若m、n同時擴大為原來的3倍，則有：4m∴縮小為原來的，故選：C．【點睛】此題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)及其應用．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）分式中的x、y的值分別擴大為原來的5倍，則此分式的值擴大為原來的倍．【答案】5【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分式中的x、y的值分別擴大為原來的5倍，整理即可得到．【詳解】解：將分式中的x、y的值分別擴大為原來的5倍，得到：2×∴將分式中的x、y的值分別擴大為原來的5倍，則此分式的值擴大為原來的5倍．故答案為：5．【點睛】此題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知分式的基本性質(zhì)并且會應用．3．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀材料題：已知：a3=b解：設a3則a＝3k，b＝4k，c＝5k①；所以2a+3b-c(1)上述解題過程中，第①步運用了的基本性質(zhì)；第②步中，由13k9k求得結(jié)果139運用了(2)參照上述材料解題：已知：x2=y【答案】(1)等式，分式(2)1【分析】（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)即可判斷；（2）按照閱讀材料中的設k法即可解答．【詳解】（1）解：上述解題過程中，第①步運用了等式的基本性質(zhì)，第②步中，由13k9k求得結(jié)果13故答案為：等式，分式；（2）解：設，則x=2k，，z=6k，∴x+2y-zx-2y+3z=17∴分式x+2y-zx-2y+3z的值為：1【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)和代數(shù)式求值，熟練掌握閱讀材料中的設k法是解題的關(guān)鍵．題型六將分式的分子分母各項系數(shù)化為整數(shù)1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習）將分式12a-13A．3a-2b3a+4b B． C．6a+3b3a+4b D．【答案】D【分析】要使分子與分母中的各項系數(shù)化為整數(shù)，只需要求出2、3、4的最小公倍數(shù)即可．【詳解】解：分子，分母同×12得：；故選：D．【點睛】本題考查了分式化簡，正確運算是解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）把分式13x-A．3x-62x+4 B．4x-26x+3 C．2x-12x+1【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】解：給分式的分子和分母同乘以12，得：13x-161故選：B．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟知分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．3．（2023春·全國·八年級專題練習）不改變分式的值，將分式0.02x+0.5yx+0.004y中的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù)，其結(jié)果為（

A．20x+500y1000x+4y B．20x+500y100x+4y C．2x+50y1000x+4y【答案】A【分析】利用分式的基本性質(zhì)，分子分母同時擴大相同的倍數(shù)即可求解．【詳解】解：0.02x+0.5y＝＝20x+500y故選：A.【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)或整式，分式的值不變．鞏固訓練1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．分式x2-1x-1的值為零，則B．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，等式C．把分式0.6a-53D．分式3x-【答案】D【分析】根據(jù)分式的值為0的條件，分式的基本性質(zhì)，最簡分式的定義，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、分式x2-1x-1的值為零，則xB、當x=0時，mx2nC、把分式0.6a-53bD、分式3x-故選D．【點睛】本題考查分式的值為0的條件，分式的基本性質(zhì)，最簡分式．熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）將分式0.2x-12【答案】12x【分析】將0.5化為分數(shù)是15，根據(jù)四個分母：5、2、3、4的最小公倍數(shù)是60故分式的分子和分母都乘以60，由此將各項系數(shù)都化為整數(shù)【詳解】將分式的分子和分母都乘以60，得0.2x-12y故答案為：12x-【點睛】此題考查分式的性質(zhì)：在分式的分子和分母中乘以同一個不為0的數(shù)，分式的值不變.3．（2023秋·福建福州·七年級福州華倫中學?？奸_學考試）我們知道：分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)，等等．小學里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)．類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式．如：x+1x-=1+2x（1）請寫出分式的基本性質(zhì)；（2）下列分式中，屬于真分式的是；A．x2x-1 B．x-1x+1 C．﹣32x-1（3）將假分式，化成整式和真分式的形式．【答案】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的分式值不變；（2）C；（3）=m﹣1+4m+1【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)回答即可；（2）根據(jù)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式進行判斷即可；（3）先把m2+3轉(zhuǎn)化為m2【詳解】（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的分式值不變．（2）根據(jù)題意得：選項C的分子次數(shù)是0，分母次數(shù)是1，分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)是真分式．而其他選項是分子的次數(shù)均不小于分母的次數(shù)的分式，故ABD選項是假分式，故選：C．（3）∵=m﹣1+4m+1，∴故答案為：m﹣1+4m+1【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)以及未知數(shù)的次數(shù)問題，解答本題的關(guān)鍵是熟悉掌握未知數(shù)次數(shù)的判斷以及分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的分式值不變．題型七約分與通分1．（2023秋·八年級課時練習）已知a=2023，則a2-1A．2021 B．2022 C．20212 D．【答案】D【分析】先進行約分，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：a==a當a=2023時，原式=2022故選：D．【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)，將分式化簡為a-2．（2023秋·八年級課時練習）下列運算中正確的是（

）A．x8x4C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)及約分逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、x8B、-x+yC、a2D、x+1y+1故選：C．【點睛】本題考查了約分以及分式的基本性質(zhì)，約分的關(guān)鍵是找出分子分母的公因式，若分子分母出現(xiàn)多項式，應先將多項式分解后再找公因式，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分子分母同時除以公因式，化為最簡分式，此過程稱為約分．3．（2023春·全國·八年級專題練習）把1x-2，1(x-2)(x+3)，2(x+3A．最簡公分母是(x-2)(x+3)2 BC．1(x-2)(x+3)=x+3【答案】D【分析】按照通分的方法依次驗證各選項，找出不正確的答案．【詳解】A、最簡公分母為(x-B、1xC、1(xD、通分不正確，分子應為2x故選：D．【點睛】本題考查根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解題的關(guān)鍵是通分保證（1）各分式與原分式相等；（2）各分式分母相等．鞏固訓練1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）分式-xx2A．1y-x B．-1x+y C． D【答案】A【分析】將分式分母先因式分解，再約分，即可求解．【詳解】解：-==故先：A．【點睛】本題考查了分式的約分，涉及到因式分解，分式的約分，按運算順序，先因式分解，再約分．2．（2023春·七年級單元測試）已知對于3x+7(x+4)(x+3)=Ax+4-B【答案】52【分析】先通分，使等式兩邊分母一樣，然后使分子相等，整理后即可求出結(jié)果.【詳解】∵3x+7(x+4)(x+3)∴3x+7(x+4)(x+3)∴3x+7=Ax+3-Bx+4∴A-B=33A-4B=7，解得A=5【點睛】本題考查分式方程的知識、多項式相等和解二元一次方程組，熟練掌握通分、對應相等及二元一次方程組解法是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·浙江·七年級專題練習）（1）約分：6ab2（2）通分：1m2-9【答案】（1）2ba；（2）22【分析】（1）分子分母同時除以3ab即可；（2）將兩個分式的分母分別進行因式分解，即可求解．【詳解】解：（1）6ab（2）1m12m+6【點睛】本題考查分式的約分和通分，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八分式的乘除法運算1．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)；(2)x2【答案】(1)-(2)x【分析】（1）根據(jù)分式乘除混合運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)分式乘除混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：x==x【點睛】本題主要考查了分式乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式乘除混合運算法則，準確計算．2．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)x(2)2m+8【分析】先把除法變成乘法，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分即可得到答案．【詳解】（1）解：原式==x（2）解：原式==2m+8【點睛】本題主要考查了分式的乘除混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)-b(2)；(3)a2(4)2a+2a【答案】(1)-(2)-(3)a(4)a【詳解】（1）解：-b（2）解：==-（3）解：a===a（4）解：2a+2==a【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算：分式的乘除混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除．最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．鞏固訓練1．（2023秋·山東泰安·八年級青云中學校考階段練習）計算：(1)；(2)2x-【答案】(1)6(2)-【分析】（1）首先計算乘方，然后將除法轉(zhuǎn)化成乘法，進而計算乘法即可；（2）首先計算乘方，然后將除法轉(zhuǎn)化成乘法，進而計算乘法即可．【詳解】（1）==6（2）2x==-=【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)8xy9(2)．【答案】(1)2(2)-【分析】（1）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則計算即可；（2）先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則計算即可．【詳解】（1）8xy=．（2）=【點睛】此題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)．(2)x2(3)2x-【答案】(1)12x(2)(3)-【詳解】（1）解：原式（2）解：原式==（3）解：原式==【點睛】本題考查分式乘除法混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．題型九分式的加減法運算1．（2023春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習）計算：(1)a-(2)m-【答案】(1)b(2)m【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和單項式乘多項式的運算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的加減混合運算法則求解即可．【詳解】（1）a==b（2）m=m=m=m=m=m=m．【點睛】此題考查了整式的乘法混合運算，分式的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運算法則．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）計算：(1)x(2)(3)a(4)【答案】(1)x+1(2)1(3)1(4)m+n【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項的分母提取負號，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進行計算：分母不變，分子相加減；（2）最簡公分母為a+2a（3）把a-2看成是一項，為（4）最簡公分母為m+nm【詳解】（1）解：原式==；（2）解：原式====1（3）解：原式===；（4）解：原式====m+n【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運算，熟練掌握分式的加減混合運算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級專題練習）計算(1)a-(2)xx(3)x2【答案】(1)-a(2)12x+4(3)1x【分析】（1）分式a-（2）分式xx2-4（3）直接進行通分，在進行計算．【詳解】（1）解：a==-（2）解：x======1（3）解：x===1【點睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：(1)2x+3x+1(2)1a【答案】(1)1；(2)1【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．【詳解】（1）解：2x+3x+1=2x+3=x+1=1；（2）解：1====1【點睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運用分式的加減法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·九年級階段練習）以下是圓圓計算x2解：x2圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【答案】有錯誤，正確過程見解析【分析】應用分式的加減法則進行進行計算即可得出答案．【詳解】有錯誤．解：x2=x=x=x+1．【點睛】本題主要考查了分式的加減運算，熟練掌握分式的加減運算法則進行求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分數(shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如：x-1x+1，x2x-1這樣的分式就是假分式；再如：2x+1，2xx2+1這樣的分式就是真分式，假分數(shù)7解決下列問題：(1)分式是________（填“真分式”或“假分式”）；(2)若分式x-4x-2的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x(3)若分式x2-1x+2(4)若分式2x2+5x2【答案】(1)真分式；(2)0、1、3、4；(3)、-3、-5；(4)2<m≤【分析】（1）根據(jù)新定義求解；（2）先把分式化為帶分式，再根據(jù)整除的意義求解；（3）先把分式化為帶分式，再根據(jù)整除的意義求解；（4）先把分式化為帶分式，再根據(jù)非負數(shù)的意義求解．【詳解】（1）分式是真分式，故答案為：真分式；（2）∵是整數(shù)，∴x-2的值為：，±2，的值為：0、1、3、4；（3）∵為整數(shù)，∴x+2的值為：、±3，的值為：、-3、-5；（4）∵，∵x∴2<2+∴2<m【點睛】本題考查了分式的加減法，理解新定義是解題的關(guān)鍵．題型十分式運算的實際應用1．（2023秋·八年級課時練習）商店通常用以下方法來確定兩種糖果混合而成的什錦糖的價格：設A種糖的價格為a元/kg，B種糖的價格為b元/kg，則mkgA種糖和nkgB種糖混合而成的什錦糖的價格為ma+nbm+n元/kg．現(xiàn)有甲、乙兩種什錦糖，均由A，B兩種價格不同的糖混合而成．其中甲種什錦糖由10kgA種糖和10kgB種糖混合而成，乙種什錦糖由價值100元的A種糖和價值100元的B【答案】甲種糖的價格較高，理由見解析【分析】首先表示出甲種糖價格和乙種糖價格，然后作差求解即可．【詳解】甲種糖價格為（10a+10b÷20=12a+b乙種糖價格為100+100÷100a+12∵甲、乙兩種什錦糖，均由A，B兩種價格不同的糖混合而成，∴(a-∴甲種糖的價格較高．【點睛】此題考查了分式的混合運算的實際應用，解題的關(guān)鍵是正確列式．2．（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水變甜了．用數(shù)學關(guān)系式可以表示為______(2)請證明（1）中的數(shù)學關(guān)系式．【答案】(1)m+a(2)見解析【分析】（1）先表示出入mm>0克糖后，糖水的濃度為：m+am+b，根據(jù)糖水變甜，濃度變大，得出（2）理由作差法進行證明即可．【詳解】（1）解：再往杯中加入mm>0克糖后，糖水的濃度為：m+a∵糖水變甜了，即糖水的濃度變大了，∴m+am+b故答案為：m+am+b（2）證明：m+a===m∵b>a>0，m>0，∴mb-a>0，∴mb∴m+am+b【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，分式加減的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．3．（2023秋·全國·八年級課堂例題）小明發(fā)現(xiàn)爸爸和媽媽的加油習慣不同，媽媽每次加油都說：“師傅，給我加200元油．”（油箱未加滿）而爸爸每次加油都說：“師傅，給我加30升油!”（油箱未加滿）小明很好奇：現(xiàn)實生活中油價常有變動，爸爸媽媽不同的加油方式，哪種方式會更省錢呢？現(xiàn)以兩次加油為例來研究．設爸爸媽媽第一次加油時的油價為x元/升，第二次加油時的油價為y元/升．(1)求媽媽兩次加油的總量和兩次加油的平均價格；（用含x,y的式子表示）(2)爸爸和媽媽的兩種加油方式中，誰的加油方式更省錢？【答案】(1)媽媽兩次加油的總量是200x+200yxy升，媽媽兩次加油的平均價格是2xyx+y元(2)當時，爸爸的加油方式和媽媽的加油方式花費一樣；當x≠y【分析】（1）利用每次加油的總價200除以單價得到油量，兩次相加可得兩次加油總量；用總金額除以加油總量得到平均價格；（2）求出爸爸兩次加油的平均價格，再利用作差法比較爸爸和媽媽的兩種加油方式平均價格的大小即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：媽媽兩次加油的總量是200x媽媽兩次加油的平均價格是400÷（2）爸爸兩次加油的總量是30+30=60升，爸爸兩次加油的平均價格是30x+30y60∵2xyx+y∴當時，爸爸的加油方式和媽媽的加油方式花費一樣；當x≠y【點睛】此題考查了分式加減法的應用，分式的除法的應用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023秋·八年級課時練習）如圖，“第三代一號”水稻的試驗田是邊長為m米的正方形去掉一個邊長為n米（m>n）的正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二號”水稻的試驗田是邊長為m-n米的正方形，兩塊試驗田的水稻都收獲了a

(1)試建立分式，并比較哪種水稻的單位面積產(chǎn)量高？為什么？（提示：m，n均為正數(shù)）(2)高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量高多少？【答案】(1)“第三代二號”水稻的試驗田單位面積產(chǎn)量高，理由見解析(2)2anm+n【分析】（1）根據(jù)圖形表示出試驗田的面積，進而求出水稻的單位面積產(chǎn)量，比較即可；（2）根據(jù)題意列出代數(shù)式，計算即可．【詳解】（1）“第三代二號”水稻的試驗田單位面積產(chǎn)量高，理由為：根據(jù)題意得：“第三代一號”水稻的實驗田單位面積產(chǎn)量為am2-n2“第三代二號”水稻的試驗田單位面積產(chǎn)量為am-n2（千克，n為正數(shù)且m>n，∴m∴m即am則“第三代二號”水稻的試驗田單位面積產(chǎn)量高；（2）根據(jù)題意得：am-n2-則高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量高千克米2．【點睛】此題考查了分式的混合運算，列出正確的代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）某海灣城市有A，B兩個港口、有兩條航線能夠連接A，B兩個港口，兩條航線的路程都是150km，已知貨輪在靜水中的最大航速為．(1)若該貨輪在水流速度為5km/h的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度；(2)航運公司計劃用該貨輪將一批貨物以最大航速從A港送往B港，再從B港返回A港．根據(jù)海流預報：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為5km/h，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內(nèi)灣，水流速度忽略不計．為了使送貨的往返的總時間更短，請通過計算說明航運公司應當選擇哪一條航線．【答案】(1)順流航行的最大速度為v+5km/h(2)航運公司應當選擇航線2．【分析】（1）根據(jù)v順=v（2）航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，得到t總=300vv+5v-5；航線2：從A港到B港和從B港返回A【詳解】（1）解：∵貨輪在靜水中的最大航速為，∴水流速度為5km/h，∴順流航行的最大速度為v+5km逆流航行的最大速度為v-（2）解：航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，依題意得t總航線2：從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為v，依題意得t總t總∴t總∴航運公司應當選擇航線2．【點睛】本題考查了分式加減的應用、列代數(shù)式，要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列式再求解，解題關(guān)鍵是理解順水航行速度和逆水航行速度．3．（2023春·七年級單元測試）【閱讀】在處理分式問題時，由于分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以將分式拆分成一個整式與一個分式的和（差）的形式，通過對簡單式子的分析來解決問題，我們稱之為分離整式法．例：將分式x2解：設x+2=t，則x=t-原式=∴x2這樣，分式x2-3x-1x+2就拆分成一個整式(x-5)【應用】(1)使用分離整式法將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，則結(jié)果為______；(2)將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，則結(jié)果為______；【拓展】(3)已知分式x2-x+7【答案】(1)(2)x(3)4或2或16【分析】（1）根據(jù)題意將化簡為一個整式與一個分式和的形式即可；（2）設x-1=t，則x=t+1，根據(jù)例題將分式轉(zhuǎn)化為一個整式和一個分式的和的形式；（3）設x-3=t，則x=t+3，先將分式轉(zhuǎn)化為一個整式和一個分式的和的形式，然后再根據(jù)結(jié)果是整數(shù)進行分析即可求解．【詳解】（1）解：2x+4x+1故答案為：；（2）設x-1=t，則x=t+1，∴x===t+∴x2故答案為：x-（3）設x-3=t，則x=t+3，x∴x∵分式x2-x+4x-1的值為整數(shù)，且x是正整數(shù)，∴x由x-3=±1，得x=4或由，得x=16或x=-10∴正整數(shù)x的值為4或2或16．【點睛】本題考查了分式的化簡，解題的關(guān)鍵是正確理解題目給出的方法，熟練掌握運算法則．題型十一分式的化簡求值1．（2023秋·湖南岳陽·八年級校考階段練習）已知：x2(1)x+(2)x【答案】(1)5(2)23【分析】（1）將原式變形為x2+1=5x，等式兩邊同時除以（2）根據(jù)完全平方公式變形計算即可．【詳解】（1）解：∵x∴x∴x+1（2）x===23．【點睛】此題考查了完全平方公式變形計算，分式的化簡求值，熟練掌握各式子間的關(guān)系，依據(jù)公式變形計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）先化簡，再求值：3x-1-x-1÷x-2【答案】-x2【分析】先把括號內(nèi)通分和除法運算化為乘法運算，化簡得到原式-x2+x+2，再利用滿足方程【詳解】解：3====-x2+xx2+x=5將x2+x=5代入∴原式=-【點睛】本題考查了分式的化簡求值：化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．3．（2023秋·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習）先化簡：然后從0，1，2，3中選擇你喜歡的x值帶入求值．【答案】2x，當x=3時，原式=6．【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分，然后計算加法，由分式有意義的條件求出x的值，最后代入化簡后的式子即可求出答案．【詳解】解：==x+x=2x，由分式有意義的條件可知：x≠-2，0，1，∴x=3當x=3時，原式=2×【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考階段練習）按要求解答下列各小題(1)計算：3a(2)計算：x2(3)先化簡，再求值：，其中x=12【答案】(1)1(2)2x(3)4-xx，【分析】（1）利用異分母分式的加減法求解即可；（2）分子因式分解，再約分，即可求解；（3）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】（1）解：3a（2）解：x=2x；（3）解：==，當x=12時，原式【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則．2．（2023秋·山東濟寧·九年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）M=a(1)化簡代數(shù)式M；(2)請在以下四個數(shù)中：1，，2，-2，選擇一個合適的數(shù)代入，求M的值．【答案】(1)a(2)a=-2【分析】（1）根據(jù)分式的除法運算法則求解即可；（2）首先根據(jù)分式有意義的條件得到a≠±1，a≠2，然后將a=-2代入M=a【詳解】（1）M====a（2）∵，a-∴a≠±1，a≠∴當a=-M=a【點睛】此題考查了分式的除法運算以及代數(shù)求值，分式有意義的條件等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．3．（2023秋·山東東營·八年級?？茧A段練習）閱讀理解：例題：已知實數(shù)x滿足x+1x=4解：∵x+∴xx∴(1)已知實數(shù)a滿足a+1a=5(2)已知實數(shù)b滿足b+1b+1=9【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)a+1a=5，先求出a（2）根據(jù)b+1b+1=9，可得b+1+1b+1【詳解】（1）解：∵a+1∴a3a2∴；（2）解：∵b+1∴b+1+1∴的倒數(shù)b2==13，∴b+1b【點睛】本題考查了分式的值，理解給定的例題中求分式的值的方法是解題的關(guān)鍵．題型十二解分式方程1．（2023秋·湖南邵陽·八年級?？茧A段練習）計算(1)2-(2)1【答案】(1)(2)無解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：2-去分母得：2-移項得：-x合并同類項得：-2x=系數(shù)化為1得：，檢驗：當時，x-3≠∴原分式方程的解為：；（2）解：∵1∴1去分母得：x-去括號得：x-移項得：x+2x=12-合并同類項得：3x=9，系數(shù)化為1得：x=3，檢驗，當x=3時，x-∴x=3∴原分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意要檢驗．2．（2023秋·山東淄博·八年級?？茧A段練習）解方程：(1)；(2)x-【答案】(1)無解；(2)無解．【分析】（1）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程，再檢驗即可；（2）先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程，再檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以x-7得：x-解得x=7；檢驗：x=7時，x-∴x=7為增根，∴原方程無解；（2）解：x-方程兩邊同時乘以x2-4得：整理得x2∴4x=-解得x=-2經(jīng)檢驗，x=-2時，x2∴x=-∴原方程無解．【點睛】本題考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的方法與步驟”是解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東泰安·八年級寧陽縣第二十四中學?？茧A段練習）解方程(1)xx(2)3-(3)xx+1(4)2x【答案】(1)x=(2)x=(3)x=(4)【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：xx去分母得：，解得x=1經(jīng)檢驗x=1（2）解：3-去分母得：3-解得x=5經(jīng)檢驗x=5（3）解：xx+1去分母得：xx解得x=-經(jīng)檢驗x=-（4）解：2x去分母得：4-解得，經(jīng)檢驗是原方程的解．【點睛】此題考查解分式方程，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則．鞏固訓練1．（2023秋·河北石家莊·八年級石家莊市第九中學校考階段練習）解分式方程(1)2(2)【答案】(1)x(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、移項、合并同類項、檢驗進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為一、檢驗進行計算即可得到答案．【詳解】（1）2去分母，得2x=x移項，得：2x合并同類項，得：x經(jīng)檢驗，x=（2）去分母，得1去括號，得：1移項，得：-合并同類項，得：2x=4系數(shù)化為一，得：經(jīng)檢驗，是原分式方程的增根，∴原分式方程無解．【點睛】本題主要考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級?？茧A段練習）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)x【分析】（1）方程兩邊同乘以（x-（2）方程兩邊同乘以x-【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以（x-x整理得：3x=12，解得：x=4，檢驗：當x=4時，，∴x=4（2）解：方程兩邊同時乘以x-x整理得：3x=-解得：x=-檢驗：當x=-1∴原方程的根為x=【點睛】本題考查了解分式方程，掌握解法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級課時練習）解下列分式方程：(1)35x(2)4x-(3)；(4)．【答案】(1)x=3(2)x=(3)x=(4)無解【分析】（1）將分式方程化為整式方程求解，再檢驗即可；（2）將分式方程化為整式方程求解，再檢驗即可；（3）將分式方程化為整式方程求解，再檢驗即可；（4）將分式方程化為整式方程求解，再檢驗即可．【詳解】（1）解：3方程兩邊都乘5xx-2，得：3整理，得：-2x=解得：x=3，檢驗：當x=3時，5xx故原方程的解為x=3；（2）解：4x方程兩邊都乘x-1，得：4x-整理，得：3x=8，解得：x=8檢驗：當x=83時，故原方程的解為x=8（3）解：方程兩邊都乘x-1x+1，得：2整理，得：2x=3，解得：x=3檢驗：當x=32時，故原方程的解為x=3（4）解：方程兩邊都乘x-2，得：1-整理，得：，檢驗：當時，x-2=0故原方程無解．【點睛】本題考查解分式方程．掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．題型十三根據(jù)分式方程解的情況求值1．（2023春·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的方程2x+mx-1=1的解是負數(shù)，那么m的取值范圍是（A．m>-1 B．m>-1且mC．m<-1 D．m<-1且m【答案】A【分析】先去分母將分式方程化成整式方程，再求出方程的解x=-1-m，利用x<0和x≠1得出不等式組，解不等式組即可求出m的范圍．【詳解】解：兩邊同時乘x-2x+m=x-解得：x=-又∵方程的解是負數(shù)，且x≠∴x<0x≠1，即-解得：m>-∴m的取值范圍為：m>-故選：A．【點睛】此題考查了分式方程的解，一元一次不等式，正確求得分式方程的解并考慮產(chǎn)生增根的情形是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3A．-2 B．2 C．-4 D．【答案】B【分析】將x=1代入方程，即可求解．【詳解】解：將x=1代入方程，得m解得：m=2故選：B．【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x=1代入原方程中得到