滬科版九年級數(shù)學上冊 第二十一章 二次函數(shù)與反比例函數(shù)知識歸納與題型突破（27類題型清單）

第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點1二次函數(shù)1、二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做x2、二次函數(shù)的三要素：（1）自變量的最高次數(shù)必須是2；（2）等號右邊的ax2+bx+c（3）二次項系數(shù)a不等于0.【注意】二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項包括它們前面的符號，不要漏掉；二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c特殊形式二次項一次項常數(shù)項y=aa無0y=aabx0y=aa無c知識點2根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式在實際問題中，列二次函數(shù)表達式的一般步驟：審清題意：找出問題中的已知量(常量)和未知量(變量)，把問題中的文字或圖形語言轉化成數(shù)學語言；找相等關系：分析常量和變量之間的關系，列出等式；列二次函數(shù)表達式：設出表示變量的字母，把相等關系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函數(shù)的一般形式；確定自變量的取值范圍：根據(jù)自變量所表示的實際意義確定其取值范圍.【注意】（1）二次函數(shù)自變量的取值范圍一般是全體實數(shù)，但是在實際問題中，自變量的取值范圍應使實際問題有意義；（2）確定自變量的取值范圍時，需正確列其出不等式或不等式組.知識點3二次函數(shù)y=函數(shù)y=ax2+a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下對稱軸直線x=?頂點坐標?增減性當x<?b2a時，y隨當x>?b2a時，y隨當x<?b2a時，y隨當x>?b2a時，y隨最值當x=?b2a當x=?b2a【注意】（1）如圖，若拋物線上x=m和x=n對應的函數(shù)值相等，則拋物線的對稱軸為直線x=（2）如圖，若拋物線與x軸的交點為（x1，0），（x知識點4二次函數(shù)y=ax2+bx+c二次函數(shù)的y=ax2+bx+c中，字母（或式子）符號特征aa>0開口向上a<0開口向下?b=0對稱軸為y軸ab>0(a,b對稱軸在y軸左側ab<0(a,b對稱軸在y軸右左側cc=0圖象過原點c>0圖象與y軸正半軸相交c<0圖象與y軸負半軸相交【注意】對于二次函數(shù)y=（1）當x=1時，y=a+b+c，此時：若y=0，則a+b+c=0；若y>0，則a+b+c>0；若y<0，則a+b+c<0.（2）當x=?1時，y=a?b+c，此時：若y=0，則a?b+c=0；若y>0，則a?b+c>0；若y<0，則a?b+c<0.知識點5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式方法名稱函數(shù)表達式適用情形一般步驟待定系數(shù)法一般式：y已知二次函數(shù)圖象上任意三個點的坐標或x，y的三組對應值頂點式：y已知拋物線的定點坐標或對稱軸和最值交點式：y=a(x?其中x1，x2是拋物線與已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的坐標【注意】：特殊位置拋物線對應的函數(shù)表達式的設法技巧：（1）頂點在原點，可設為y=ax（2）對稱軸是y軸（或頂點在y軸），可設為y=ax（3）頂點在x軸上，可設為y=a(x??)（4）拋物線過原點，可設為y=ax知識點6二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系1、二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標與一元二次方程根的關系：一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知：如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸由交點，交點的橫坐標是x02、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別：bbb一元二次方程ax有兩個不等的實數(shù)根x=有兩個相等的實數(shù)根x沒有實數(shù)根二次函數(shù)y=axa>0a>0拋物線與x軸的交點（x1，0），（（?b沒有交點知識點7二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的近似解的關系二次函數(shù)y=ax2+1、利用二次函數(shù)y=ax2+（1）作出二次函數(shù)y=ax2+（2）觀察圖象，函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0（3）交點橫坐標即為一元二次方程ax2、利用二次函數(shù)y=ax2的圖象與直線（1）將方程ax2+bx+c=0（2）在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax（3）公共點的橫坐標即為一元二次方程ax知識點8二次函數(shù)與一元二次不等式的關系求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，就是求x為何值時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值y>0b2bbbax2+bx+c>0(a>0)ax兩個等實數(shù)根x=兩個相等實數(shù)根x沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集ax<x1x≠?全體實數(shù)ax無解無解知識點9用二次函數(shù)解決實際問題1、一般步驟：（1）審：仔細審題，厘清題意；（2）設：找出問題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，把實際問題轉化成數(shù)學問題，根據(jù)題中的數(shù)量關系列出二次函數(shù)的表達式；（4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的表達式、圖象和性質等求解實際問題；（5）檢：檢驗結果，得出符合實際意義的結論.知識點10反比例函數(shù)的定義1、定義：一般地，表達式形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).自變量2、反比例函數(shù)的三種表達形式：（1）y=k（2）y=kx（3）xy=k（k為常數(shù)，且k≠0）【注意】反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=k知識點11反比例函數(shù)圖象與性質圖象的特點：（1）反比例函數(shù)y=k（2）反比例函數(shù)圖象的兩支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）雙曲線的兩支都無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交；（4）雙曲線既是中心對稱圖形(對稱中心是原點)，又是軸對稱圖形(對稱軸是直線y=x和直線y=-x).如圖：2、反比例函數(shù)的性質：反比例函數(shù)ykx（K的符號k>0k<0圖象圖像位置第一、三象限第二、四象限增減性在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大知識點12求反比例函數(shù)的表達式1、確定反比例函數(shù)表達式的方法由于在反比例函數(shù)y=k2、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達式的一般步驟【注意】用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式的實質是代入一對對對應值，解一元一次方程.當題目中已經(jīng)明確“y是x的反比例關系”時，可直接設函數(shù)的表達式為y=k知識點13反比例函數(shù)中k的幾何性質1、矩形面積如圖，過雙曲線y=kx上任意一點p（x，y）分別作x軸、y軸的垂線PM，PN，所得的矩形PMON的面積S=PMS=PM?PN=x?2、三角形的面積如圖，過雙曲線y=kx上的任意一點E作EF垂直于y軸，垂足為F，連接EO，則S?EOF0303題型歸納題型一二次函數(shù)的定義例1.（2024·上海寶山·三模）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A．y=2x2C．y=x2+2x?1鞏固訓練1．（23-24九年級上·安徽安慶·階段練習）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=2x?1 B．y=x2?1 C．y=2．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）下列函數(shù)中，y與x之間的關系是二次函數(shù)的是（）A．y=1?3x3 C．y=x4+23．（23-24九年級上·安徽黃山·期末）下列函數(shù)解析式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=ax2+bx+cC．y=?23x題型二由二次函數(shù)的定義求值例2．（2024九年級下·廣東·專題練習）若y=(m+1)xm2+m是關于A．?2 B．1 C．?2或1 D．2或1鞏固訓練1．（23-24九年級上·江西贛州·期末）如果函數(shù)y=k?3xk2?3k+2A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=42．（23-24九年級上·湖南衡陽·期末）已知函數(shù)y=(m+2)xm2?2+3x?4A．±2 B．2 C．?2 D．6【答案】B3．（23-24九年級上·河南周口·階段練習）若函數(shù)y=m?2x2+3x是二次函數(shù)，則常數(shù)A．m≠0 B．m≠2 C．m=2 D．m為任意實數(shù)題型三二次函數(shù)的一般形式例3.（23-24八年級下·廣西南寧·期末）二次函數(shù)y=3x2+6x+1A．?6 B．1 C．3 D．6鞏固訓練1．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）若二次函數(shù)y=?x2?1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則a=，b=，2．（23-24九年級上·安徽六安·階段練習）二次函數(shù)y=x?25?2x的二次項系數(shù)是3．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習）已知二次函數(shù)，則二次項系數(shù)a=，一次項系數(shù)b=．題型四求自變量或函數(shù)值例4.（23-24九年級下·四川達州·階段練習）標準大氣壓下，質量一定的水的體積Vcm3與溫度t°C之間的關系滿足二次函數(shù)，則當溫度為4°C鞏固訓練1．（23-24九年級上·河北保定·階段練習）若函數(shù)y=ax?32過2,9點，求當x=4時，y=2．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）拋物線經(jīng)過點A2,m，B3,n．則mn3．（23-24九年級上·福建廈門·期中）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P1，a，則a的值為（）A．3 B．2 C．32 題型五判斷函數(shù)關系例5.（2024·北京·三模）已知地面溫度是20℃，如果從地面開始每升高1km，氣溫下降6℃，那么氣溫t(℃)與高度?(km)A．正比例函數(shù) B．反比例函數(shù) C．二次函數(shù) D．一次函數(shù)鞏固訓練1．（2024·北京大興·二模）下面的三個問題中都有兩個變量：①扇形的圓心角一定，面積S與半徑r；②用長度為20的線繩圍成一個矩形，矩形的面積S與一邊長x；③汽車在高速公路上勻速行駛，行駛路程s與行駛時間t．其中，兩個變量之間的函數(shù)關系可以利用二次函數(shù)表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（23-24九年級上·福建泉州·期末）如圖，分別在正方形ABCD邊AB、AD上取E、F點，并以AE、AF的長分別作正方形．已知．設正方形ABCD的邊長為x，陰影部分的面積為y，則y與x滿足的函數(shù)關系是（

）

A．一次函數(shù)關系 B．二次函數(shù)關系 C．正比例函數(shù)關系 D．反比例函數(shù)關系3．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）下列變量具有二次函數(shù)關系的是（）A．正方形的周長y與邊長x B．速度v一定時，路程s與時間tC．正方形的面積y與邊長x D．三角形的高一定時，面積y與底邊長x題型六建立二次函數(shù)模型例6．（23-24九年級上·安徽合肥·階段練習）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（

）A．y=2.61+2x B．C．y=2.61+x2 鞏固訓練1．（22-23九年級上·四川自貢·期末）一部售價為4000元的手機，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關系式是（

）A．y=40001?x B．y=40001?x2 C．y=80002．（22-23九年級上·河北秦皇島·階段練習）長方形的周長為14cm，其中一邊為x0<x<7cm，面積為ycm2．那么A．y=14?x2 B．y=7?x2 C．3．（21-22九年級上·廣東東莞·階段練習）如圖所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，設直線x=t截此三角形所得的陰影部分的面積為S，則S與t之間的函數(shù)關系式為（）A．S=t B．S=12t2 C．題型七一般式與頂點式互化例7.（23-24九年級下·江蘇無錫·階段練習）拋物線y=2x2?4x+7A．(?1,13) B．(?1,5) C．(1,9) D．(1,5)鞏固訓練1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）若拋物線y=x2?bx+8的頂點在x軸上，則b=A．2 B．?2 C． D．±42．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）用配方法將二次函數(shù)y=x2+8x?9A．y=x?42+7C．y=x+42+73．（23-24九年級下·安徽池州·開學考試）二次函數(shù)y=?4xA．2，?3 B．2，3 C．3，?2 D．3，2題型八二次函數(shù)圖象上點的坐標特征例8.（2022·四川綿陽·三模）拋物線y1＝12（x-h）2＋k與y2=a(x+3)2?1交于點A，分別交y軸于點P，Q，過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結論是：①a=12；②點（2，m）、（33，n）及（52，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④鞏固訓練1．（2024·湖北襄陽·二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，P1x

A． B．b+2a=0C．x1>x2，則y12．（2024·山東淄博·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量xx…?2012…y=a…tm?2?2n…且當x=?12時，與其對應的函數(shù)值①函數(shù)圖象的頂點在第四象限內(nèi)；②?2和3是關于x的方程ax③，其中正確的結論個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）已知二次函數(shù)，當自變量x取兩個不同的值x1，x2時，函數(shù)值相等，則當自變量x取x1+A．時的函數(shù)值相等 B．x=?94C．x=?32時的函數(shù)值相等 D．題型九二次函數(shù)圖象的平移變換例9.（24-25九年級上·浙江·假期作業(yè)）拋物線y=?3x2+bx+c是由拋物線y=?3x2?6x+1向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的，則b=鞏固訓練1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點?2,4，則．2．（24-25九年級上·浙江·假期作業(yè)）將二次函數(shù)y=x2?4x+3的圖象向左平移43．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）把二次函數(shù)y=a(x??)2+k(1)試確定a、h、k的值；(2)指出二次函數(shù)y=a(x??)題型十二次函數(shù)圖象的對稱變換例10.（22-23九年級下·江西上饒·階段練習）拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側，且OB=4OA=4，C為y軸正半軸上一點，拋物線與y軸交于點D，點C和點D關于x軸對稱．當拋物線y=12A．x<?2或x>4 B．?2<x<4 C．x<?3或x>4 D．?3<x<4鞏固訓練1．（2022·陜西渭南·三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與拋物線L2關于x軸對稱，且它們的頂點相距8個單位長度，則k的值是（

）A．或3 B．1或?2 C．1或3 D．1或22．（2024·山西晉城·二模）如圖（1），金橋公園是省城太原一座綜合性城市公園，該公園最大的亮點是中心湖配備的功能強大的音樂噴泉，噴泉呈拁物線型，最高可噴60米高．如圖（2），是兩個連續(xù)噴泉，建立平面直角坐標系后，它們關于y軸對稱，y軸左側噴泉可用y=?548x2

A．104米 B．52米 C．26米 D．120米3．（2024·山東臨沂·模擬預測）拋物線y=?x2+2mx?m2+2與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點Mm?1,y1，NA．m<?1或m>0 B．?12<m<12 題型十一二次函數(shù)圖象與各系數(shù)之間的關系例11.（23-24八年級下·湖南長沙·期末）已知拋物線y=ax2+bx+c①；②；③a?b+c<0；④2a?b>0；⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓練1．（23-24九年級下·黑龍江大慶·期末）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸交于點B，對稱軸為直線x=1，下列四個結論：①bc<0；②3a+2c<0；③若實數(shù)m≠1，則am2+bm>a+b；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+c①bc>0

②（m為任意實數(shù)）

③④若Mx1,y、Nx2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a<0）的頂點為(1,2)．小燁同學得出以下結論：①abc<0；②當x>1時，y隨x的增大而減??；③若ax2+bx+c=0的一個根為3，則a=?12；A．①② B．②③ C．③④ D．②④題型十二圖象共存問題例12.（2024·江蘇揚州·模擬預測）函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=?mx2+2x+2（mA． B．C． D．鞏固訓練1．（2024·廣東深圳·三模）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)y=ax2A． B．C． D．2．（2024·四川德陽·三模）在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=?ax+b與二次函數(shù)的大致圖像可能是（

）A．B． C． D．3．（2024·河北·二模）如圖，已知拋物線y1=?x①當x<0或x>1時，y1<②當x=?2或x=3時，y2③當x>12時y1?④使y1?y其中正確的個數(shù)有（

）

A．1 B．2 C．3 D．4題型十三根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質比較大小例13.（23-24八年級下·福建福州·期末）已知二次函數(shù)y=x?12+2的自變量x1，x2，x3對應的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當?1<x1A．y1<y2<y3 鞏固訓練1．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）設二次函數(shù)y=kx2?4kx+c（k，c為實數(shù)）的圖象過點Ax1,y1，Bx2,A．若k>0，則y3=y1>C．若k<0，則y1>y2>2．（23-24九年級上·浙江寧波·期中）若A0,y1、B?2,y2、C?3,y3為二次函數(shù)的圖象上的三點，則A．y1<y2<y3 B．3．（2024·福建南平·一模）已知拋物線y=?x2+bx+c過點A?2,y1，B1,y2A．?2<b<2 B． C．?1<b<2 D．?2<b<1題型十四根據(jù)二次函數(shù)的性質求字母取值例14.（23-24八年級下·重慶江北·期末）已知拋物線y=x2?x?1與x軸的一個交點為m,0，則代數(shù)式mA．2023 B．2024 C．2025 D．2026鞏固訓練1．（2024·浙江·模擬預測）已知二次函數(shù)y=x2?4x+3的圖象經(jīng)過點P，點P的橫坐標為m，當時，總有，則m的值為（

A．4+13 B．4?13 C．4±132．（2024·浙江·模擬預測）已知n為實數(shù)，點Pp,q在二次函數(shù)y=nx2+nx的圖象上．若n<0，A．p>0 B．p<?1 C．p>0或p<?1 D．?1<p<03.（23-24九年級上·江蘇蘇州·開學考試）已知二次函數(shù)y=?ax2+2ax+3a>0，若點Pm,3題型十五根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值例15.（2024·河北石家莊·模擬預測）如圖，點A，B的坐標分別為1,4和4,4，拋物線y=ax?m2+n的頂點在線段AB上運動．與x軸交于C、D兩點（C（1）n=；（2）若點C的橫坐標最小值為?3，則點D的橫坐標最大值為．鞏固訓練1．（2024·吉林長春·二模）已知拋物線y=x2?(a+2)x+2a+1．若拋物線過點?1,y0，且對于拋物線上任意一點x1,y12．（23-24八年級下·湖南長沙·期末）已知關于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)求當?2≤x≤2時，y的最大值與最小值．3．（2022·浙江紹興·中考真題）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)當﹣4≤x≤0時，求y的最大值．(3)當m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．題型十六待定系數(shù)法求解析式例16.（23-24九年級上·云南保山·階段練習）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過?1,?22，0,?8鞏固訓練1．（23-24九年級上·江西南昌·階段練習）如圖，已知拋物線交x軸于A?1,0，B3,0兩點，交y軸于點C，OC=2

2．（23-24九年級上·江蘇南京·階段練習）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點，B(0,3)和點(1)求該二次函數(shù)的關系式，并求出它的頂點M的坐標；(2)若，兩點都在該函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大小．3．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的表達式．(1)已知拋物線的頂點坐標是1,2，且過點2,3；(2)已知拋物線過點?1,0、3,0、2,?6；(3)已知拋物線過點?1,2、、2,?7．題型十七二次函數(shù)的圖象與x軸的交點和一元二次方程的解的關系例17.（2024·山東·模擬預測）已知拋物線y=2x2+4x?a+3與x軸沒有公共點，則參數(shù)a鞏固訓練1．（2023·湖北荊州·一模）已知函數(shù)y=kx2?k+2x+2與x軸的交點橫坐標為2．（23-24九年級上·陜西西安·期末）若二次函數(shù)y=?ax+12?k的圖象與x軸交于A?4,0,B兩點，則點3．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）拋物線y=2x?1x?2與x軸的交點坐標是題型十八拋物線與坐標軸的交點與系數(shù)的關系例18.（23-24九年級上·江蘇無錫·期末）若二次函數(shù)y=x2+2x?b的圖象與坐標軸有兩個公共點，則b鞏固訓練1．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）拋物線y=x2?2x+32．（23-24九年級上·海南?？凇て谥校佄锞€y=x2?3x+2與y軸的交點坐標是，與x軸的交點坐標是3．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）若函數(shù)y=mx2?m?3x?4題型十九利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解例19.（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列表格對應值：x3.243.253.26a0.02?0.01?0.03判斷關于x的方程ax2+bx+c=0A．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．x>3.26鞏固訓練1．（2023·浙江·模擬預測）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca>0，已知函數(shù)與x軸相交于?2，0，且函數(shù)的對稱軸為直線，則ax2A．?2<x1<C．x1<?2<x2．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）下表給出了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量xx…11.11.21.31.4…y…?0.67?0.290.140.62…那么關于x的方程ax2+bx+c=0A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.373．（23-24九年級上·安徽黃山·期末）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，圖象上有兩點分別為A(2.18,?0.51)，B(2.68,0.54)，則方程的一個解只可能是（

A．1.59 B．2.68 C．3.45 D．3.72題型二十利用圖像法解一元二次方程例20.（23-24八年級下·北京海淀·期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0與二次函數(shù)y=ax2a≠0的圖象分別交于點A?2,2，B4,8．則關于鞏固訓練1．（2024·山東聊城·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標是1,m，若關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則m的取值范圍是2．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)y=|x2?4|的大致圖象如圖所示，對于方程|x2?4|=m（3．（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0圖象經(jīng)過點1,?2，且圖象對稱軸為直線，則方程a題型二十一利用圖象法解一元二次不等式例21.（23-24九年級上·山東德州·開學考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，點A（1）拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為；（2）當x=時，y=0；（3）當時，；（4）當時，ax鞏固訓練1．（22-23九年級下·北京西城·開學考試）在平面直角坐標系中，函數(shù)y1=x?2m+2與y2=x2?mx的圖象交于AxA,y2．（23-24九年級上·安徽合肥·階段練習）如圖，拋物線y=px2?q與直線交于A?2,m，B4,n兩點，則不等式

3．（22-23九年級上·吉林白山·期末）如圖，二次函數(shù)y1=x2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+n的圖象相交于A題型二十二反比例函數(shù)的定義例22.（2024九年級下·全國·專題練習）已知反比例函數(shù)y=k?1xkA．1 B．2 C．4 D．±4鞏固訓練1．（2024·云南昆明·模擬預測）已知反比例函數(shù)y=?12x，則它的圖象不經(jīng)過點（A．1,?12 B．?1,?12 C．2,?6 D．?6,22．（2023·云南·模擬預測）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點1,3，若該反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點?1,n，則n是（

）A．3 B．?3 C． D．?13．（23-24九年級下·湖北黃岡·開學考試）關于反比例函數(shù)y=3x，下列結論正確的是（A．圖象位于第二、四象限 B．圖象經(jīng)過點a,a+2，則a=1C．圖象與坐標軸有公共點 D．圖象所在的每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小題型二十三利用點的坐標確定反比例函數(shù)的表達式例23.（23-24九年級上·廣東韶關·階段練習）已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A(?4,3)，試判斷點，C(?2,?6)鞏固訓練1．（23-24九年級上·湖南株洲·期中）已知反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx，并且當x=3時，(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)當x=?2時，求y的值．2．（23-24九年級上·湖南長沙·階段練習）一次函數(shù)y=k1x+b和反比例函數(shù)y=k2x的圖象的相交于A2,3

(1)求反比例函數(shù)y=k(2)求△AOB3．（2024年6月浙江省金衢十二校中考模擬數(shù)學試題）如圖所示，直線y=?12x+4與雙曲線y=kxx>0交于A2,n(1)求k,n的值；(2)求△AOB(3)請結合上述兩個函數(shù)的圖象，請直接寫出6x題型二十四建立反比例函數(shù)的模型例24.（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）如果一個三角形的面積為10，底邊長為x，底邊上的高為y，則y與x的函數(shù)表達式為（）A．y=10x B．y=5x C．鞏固訓練1．（23-24六年級上·黑龍江哈爾濱·期末）下列四個說法：①書的總頁數(shù)一定，未讀的頁數(shù)與已讀的頁數(shù)成正比例；②如果保持圓的半徑不變，圓的周長與圓周率成正比例；③小麥的總產(chǎn)量一定，每公頃產(chǎn)量與公頃數(shù)成反比例；④圓柱體積一定，圓柱的底面積與高成反比例．其中正確說法的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（22-23九年級上·廣東佛山·期末）一個菱形的面積為20cm2，它的兩條對角線長分別為ycm，xcm，則3．（21-22八年級下·江蘇南京·期末）小明要把一篇27000字的調查報告錄入電腦，則其錄入的時間t（分）與錄入文字的平均速度v（字/分）之間的函數(shù)表達式應為t=（v>0）．題型二十五反比例函數(shù)的圖象與性質例25.（23-24八年級下·浙江紹興·期末）對于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點3,?3B．圖象關于直線y=x對稱C．圖象位于第二、四象限D．在每一個象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大鞏固訓練1．（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）反比例函數(shù)y=k2+4A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限2．（23-24八年級下·山西晉城·階段練習）已知反比例函數(shù)y=2x，則下列描述不正確的是（A．圖象位于第一、三象限 B．圖象必經(jīng)過1,2C．圖象不可能與坐標軸相交 D．y隨x的增大而減小3．（23-24八年級下·湖南株洲·期末）對于反比例函數(shù)y=1x，下列說法錯誤的是（A．它的圖象分布在第一、三象限 B．它的兩支圖象關于原點對稱C．當x1<x2<0時，則y2題型二十六反比例函數(shù)中k的性質例26.（23-24九年級上·重慶·開學考試）如圖，△AOB的頂點A在第一象限內(nèi)，AB⊥x軸于點B．反比例函數(shù)y=kx（k>0）在第一象限的圖象與邊OA，AB分別交于點E，F(xiàn)，且OE=AE，AF=2BF，連接EF，若△AEF的面積為6時，則k鞏固訓練1．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖，點P在函數(shù)y=kxk>0，x>0的圖像上，過P作PA⊥x軸于點A，交直線y=?x+8于點D，作PF⊥y軸于點F，交直線y=?x+8于點C，分別在矩形APFO的外側構造矩形APCB，PDEF．若P是CF的中點，圖中陰影部分的面積為7，則k2．（2024·河南駐馬店·模擬預測）如圖，已知點P?6,3，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，反比例函數(shù)y=kx的圖象交PM于點A，交PN于點B．若四邊形OAPB的面積為10，則3．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）如圖，平行四邊形OABC的頂點O在坐標原點上，點B在y軸上，點A在反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象上，點C在反比例函數(shù)y=8xx>0題型二十七反比例函數(shù)的應用例27.（2024·浙江杭州·模擬預測）某種新藥在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.1微克，第100分鐘達到最高，接著開始衰退，衰退時y與x成反比例函數(shù)關系．血液中含藥量y(微克)與時間x(分鐘)的函數(shù)關系如圖所示，(1)求血液中含藥量y(微克)與時間x(分鐘)的函數(shù)表達式；(2)如果每毫升血液中含藥量不低于5微克時是有效的，一次服藥后的有效時間能超過130分鐘嗎？鞏固訓練1．（2024·寧夏固原·模擬預測）如圖，已知反比例函數(shù)y=k1x的圖象與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于(1)求n的值；(2)求一次函數(shù)的表達式；(3)在直線AB上是否存在一點P(P不與點B重合)，使△APO與△AOB的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2024·遼寧鐵嶺·二模）小明家飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱[此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）滿足一次函數(shù)關系]，當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降[此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）成反比例關系]，當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序（如圖所示），根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)當0≤x≤8時，求水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關系式；(2)求圖中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水溫20℃），開機通電后去上學，中午放學回到家時間剛好11:56，飲水機內(nèi)水的溫度約為多少℃？并求：在7:10?11:56這段時間里，水溫共有幾次達到100℃？3．（23-24九年級上·廣東湛江·期末）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=mx的圖像交于A1,4(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)連接OA、OB，求△OAB(3)是否存在x軸上的一個動點P，使PA+PB最小，若存在求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點1二次函數(shù)1、二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做x2、二次函數(shù)的三要素：（1）自變量的最高次數(shù)必須是2；（2）等號右邊的ax2+bx+c（3）二次項系數(shù)a不等于0.【注意】二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項包括它們前面的符號，不要漏掉；二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c特殊形式二次項一次項常數(shù)項y=aa無0y=aabx0y=aa無c知識點2根據(jù)實際問題列二次函數(shù)表達式在實際問題中，列二次函數(shù)表達式的一般步驟：審清題意：找出問題中的已知量(常量)和未知量(變量)，把問題中的文字或圖形語言轉化成數(shù)學語言；找相等關系：分析常量和變量之間的關系，列出等式；列二次函數(shù)表達式：設出表示變量的字母，把相等關系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函數(shù)的一般形式；確定自變量的取值范圍：根據(jù)自變量所表示的實際意義確定其取值范圍.【注意】（1）二次函數(shù)自變量的取值范圍一般是全體實數(shù)，但是在實際問題中，自變量的取值范圍應使實際問題有意義；（2）確定自變量的取值范圍時，需正確列其出不等式或不等式組.知識點3二次函數(shù)y=函數(shù)y=ax2+a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下對稱軸直線x=?頂點坐標?增減性當x<?b2a時，y隨當x>?b2a時，y隨當x<?b2a時，y隨當x>?b2a時，y隨最值當x=?b2a當x=?b2a【注意】（1）如圖，若拋物線上x=m和x=n對應的函數(shù)值相等，則拋物線的對稱軸為直線x=（2）如圖，若拋物線與x軸的交點為（x1，0），（x知識點4二次函數(shù)y=ax2+bx+c二次函數(shù)的y=ax2+bx+c中，字母（或式子）符號特征aa>0開口向上a<0開口向下?b=0對稱軸為y軸ab>0(a,b對稱軸在y軸左側ab<0(a,b對稱軸在y軸右左側cc=0圖象過原點c>0圖象與y軸正半軸相交c<0圖象與y軸負半軸相交【注意】對于二次函數(shù)y=（1）當x=1時，y=a+b+c，此時：若y=0，則a+b+c=0；若y>0，則a+b+c>0；若y<0，則a+b+c<0.（2）當x=?1時，y=a?b+c，此時：若y=0，則a?b+c=0；若y>0，則a?b+c>0；若y<0，則a?b+c<0.知識點5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式方法名稱函數(shù)表達式適用情形一般步驟待定系數(shù)法一般式：y已知二次函數(shù)圖象上任意三個點的坐標或x，y的三組對應值頂點式：y已知拋物線的定點坐標或對稱軸和最值交點式：y=a(x?其中x1，x2是拋物線與已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的坐標【注意】：特殊位置拋物線對應的函數(shù)表達式的設法技巧：（1）頂點在原點，可設為y=ax（2）對稱軸是y軸（或頂點在y軸），可設為y=ax（3）頂點在x軸上，可設為y=a(x??)（4）拋物線過原點，可設為y=ax知識點6二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系1、二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標與一元二次方程根的關系：一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知：如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸由交點，交點的橫坐標是x02、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別：bbb一元二次方程ax有兩個不等的實數(shù)根x=有兩個相等的實數(shù)根x沒有實數(shù)根二次函數(shù)y=axa>0a>0拋物線與x軸的交點（x1，0），（（?b沒有交點知識點7二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的近似解的關系二次函數(shù)y=ax2+1、利用二次函數(shù)y=ax2+（1）作出二次函數(shù)y=ax2+（2）觀察圖象，函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0（3）交點橫坐標即為一元二次方程ax2、利用二次函數(shù)y=ax2的圖象與直線（1）將方程ax2+bx+c=0（2）在平面直角坐標系中畫出拋物線y=ax（3）公共點的橫坐標即為一元二次方程ax知識點8二次函數(shù)與一元二次不等式的關系求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集，就是求x為何值時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值y>0b2bbbax2+bx+c>0(a>0)ax兩個等實數(shù)根x=兩個相等實數(shù)根x沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集ax<x1x≠?全體實數(shù)ax無解無解知識點9用二次函數(shù)解決實際問題1、一般步驟：（1）審：仔細審題，厘清題意；（2）設：找出問題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，把實際問題轉化成數(shù)學問題，根據(jù)題中的數(shù)量關系列出二次函數(shù)的表達式；（4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的表達式、圖象和性質等求解實際問題；（5）檢：檢驗結果，得出符合實際意義的結論.知識點10反比例函數(shù)的定義1、定義：一般地，表達式形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).自變量2、反比例函數(shù)的三種表達形式：（1）y=k（2）y=kx（3）xy=k（k為常數(shù)，且k≠0）【注意】反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=k知識點11反比例函數(shù)圖象與性質圖象的特點：（1）反比例函數(shù)y=k（2）反比例函數(shù)圖象的兩支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限；（3）雙曲線的兩支都無限接近坐標軸，但永遠不與坐標軸相交；（4）雙曲線既是中心對稱圖形(對稱中心是原點)，又是軸對稱圖形(對稱軸是直線y=x和直線y=-x).如圖：2、反比例函數(shù)的性質：反比例函數(shù)ykx（K的符號k>0k<0圖象圖像位置第一、三象限第二、四象限增減性在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大知識點12求反比例函數(shù)的表達式1、確定反比例函數(shù)表達式的方法由于在反比例函數(shù)y=k2、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達式的一般步驟【注意】用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式的實質是代入一對對對應值，解一元一次方程.當題目中已經(jīng)明確“y是x的反比例關系”時，可直接設函數(shù)的表達式為y=k知識點13反比例函數(shù)中k的幾何性質1、矩形面積如圖，過雙曲線y=kx上任意一點p（x，y）分別作x軸、y軸的垂線PM，PN，所得的矩形PMON的面積S=PMS=PM?PN=x?2、三角形的面積如圖，過雙曲線y=kx上的任意一點E作EF垂直于y軸，垂足為F，連接EO，則S?EOF0303題型歸納題型一二次函數(shù)的定義例1.（2024·上海寶山·三模）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A．y=2x2C．y=x2+2x?1【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的概念和解析式的形式，知識點簡單，比較容易掌握．整理后根據(jù)二次函數(shù)的定義和條件判斷即可．【詳解】A.y=2xB.y=x+3C.y=xD.y=xx?1故選：D．鞏固訓練1．（23-24九年級上·安徽安慶·階段練習）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=2x?1 B．y=x2?1 C．y=【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關鍵，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c【詳解】解：A、函數(shù)y=2x?1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；B、函數(shù)y=x2?1C、函數(shù)y=xD、函數(shù)y=12x分母中含有故選：C．2．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）下列函數(shù)中，y與x之間的關系是二次函數(shù)的是（）A．y=1?3x3 C．y=x4+2【答案】B【分析】根據(jù)形如y=ax【詳解】A.y=1?3x3B.y=xC.y=x4D.y=1x故選B．3．（23-24九年級上·安徽黃山·期末）下列函數(shù)解析式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=ax2+bx+cC．y=?23x【答案】C【分析】根據(jù)：形如y=ax【詳解】解：A、當a=0時，y=axB、y=?5x+1，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、y=?2D、y=2x故選C．題型二由二次函數(shù)的定義求值例2．（2024九年級下·廣東·專題練習）若y=(m+1)xm2+m是關于A．?2 B．1 C．?2或1 D．2或1【答案】C【分析】根據(jù)y=ax2+bx+c(a是不為0【詳解】解：若y=(m+1)xm2+m是關于x的二次函數(shù)，則解得：m=?2或m=1．故選：C．鞏固訓練1．（23-24九年級上·江西贛州·期末）如果函數(shù)y=k?3xk2?3k+2A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=4【答案】A【分析】本題側重考查知識點二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c二次函數(shù)中，自變量最高此項的次數(shù)的值是2．二次函數(shù)中，自變量最高此項的系數(shù)(k?3)不為0．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的定義，得k2解得k=0或k=3．∵k?3≠0∴k≠3∴當k=0時，這個函數(shù)是二次函數(shù)．故選：A．2．（23-24九年級上·湖南衡陽·期末）已知函數(shù)y=(m+2)xm2?2+3x?4A．±2 B．2 C．?2 D．6【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．根據(jù)二次函數(shù)的定義，令【詳解】解：∵y=(m+2)x∴m2?2=2且∴m=±2且m≠?2，∴m=2故選：B．3．（23-24九年級上·河南周口·階段練習）若函數(shù)y=m?2x2+3x是二次函數(shù)，則常數(shù)A．m≠0 B．m≠2 C．m=2 D．m為任意實數(shù)【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c【詳解】解；∵函數(shù)y=m?2∴m?2≠0，∴m≠2，故選B．題型三二次函數(shù)的一般形式例3.（23-24八年級下·廣西南寧·期末）二次函數(shù)y=3x2+6x+1A．?6 B．1 C．3 D．6【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的基本概念，屬于應知應會題型，熟知二次函數(shù)的基本知識是關鍵.根據(jù)二次函數(shù)的相關概念即可得.【詳解】解：函數(shù)y=3x故選：D.鞏固訓練1．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）若二次函數(shù)y=?x2?1的二次項系數(shù)為a，一次項系數(shù)為b，常數(shù)項為c，則a=，b=，【答案】0?1【分析】本題主要考查了二次函數(shù)有關概念．熟練掌握二次函數(shù)各項系數(shù)的概念，是解決問題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)各項的系數(shù)填空．【詳解】∵二次函數(shù)為y=?x∴二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為?1，∴a=?1，b=0，c=?1．故答案為：，0，?1．2．（23-24九年級上·安徽六安·階段練習）二次函數(shù)y=x?25?2x的二次項系數(shù)是【答案】?2【分析】先進行多項式的乘法運算，再合并同類項化成一般式即可．【詳解】解：y=x?2=?2x∴二次項系數(shù)是?2，故答案為：?2．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的一般形式，解題的關鍵是掌握化成一般形式，確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項．3．（23-24九年級上·浙江紹興·階段練習）已知二次函數(shù)，則二次項系數(shù)a=，一次項系數(shù)b=．【答案】3-5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的二次項系數(shù)a=3，一次項系數(shù)b=?5，故答案為：3；-5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．題型四求自變量或函數(shù)值例4.（23-24九年級下·四川達州·階段練習）標準大氣壓下，質量一定的水的體積Vcm3與溫度t°C之間的關系滿足二次函數(shù)，則當溫度為4°C【答案】106【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，細心計算是解題的關鍵．將t=4【詳解】解：∵V=當t=4°C時，∴水的體積為106cm故答案為：106．鞏固訓練1．（23-24九年級上·河北保定·階段練習）若函數(shù)y=ax?32過2,9點，求當x=4時，y=【答案】9【分析】題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點2,9代入函數(shù)解析式求出a的值，再把x=4代入函數(shù)解析式計算即可求出的值．【詳解】解：把2,9代入y=ax?32得∴y=9x?3∴當x=4時，y=9，故答案為：9．2．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）拋物線經(jīng)過點A2,m，B3,n．則mn【答案】<【分析】分別把點A2,m和B3,n代入得到m、n【詳解】解：把A2,m代入得，m=2×2把B3,n代入得，n=2×3∴m<n，故答案為：<3．（23-24九年級上·福建廈門·期中）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P1，a，則a的值為（）A．3 B．2 C．32 【答案】A【分析】直接把P1，a代入中可計算出a的值．【詳解】解：把P1，a代入得a=2×1+1=3．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．題型五判斷函數(shù)關系例5.（2024·北京·三模）已知地面溫度是20℃，如果從地面開始每升高1km，氣溫下降6℃，那么氣溫t(℃)與高度?(km)的函數(shù)關系是（A．正比例函數(shù) B．反比例函數(shù) C．二次函數(shù) D．一次函數(shù)【答案】D【分析】本題考查了所學四種函數(shù)的識別，掌握各函數(shù)的特征是解題的關鍵，求出函數(shù)解析式，根據(jù)各函數(shù)概念進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，溫度隨高度的變化是均勻的，那么氣溫t(℃)與高度?(km)的函數(shù)關系是t=20?6?故選：D．鞏固訓練1．（2024·北京大興·二模）下面的三個問題中都有兩個變量：①扇形的圓心角一定，面積S與半徑r；②用長度為20的線繩圍成一個矩形，矩形的面積S與一邊長x；③汽車在高速公路上勻速行駛，行駛路程s與行駛時間t．其中，兩個變量之間的函數(shù)關系可以利用二次函數(shù)表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：①扇形的面積S=nπ360r2，扇形的圓心角n一定，面積②矩形的面積S=x10?x=?x2+10x③行駛路程s=vt，行駛路程s與行駛時間tx兩個變量之間的函數(shù)關系可以利用一次函數(shù)表示，不符合題意，則①②符合題意，故選：A．2．（23-24九年級上·福建泉州·期末）如圖，分別在正方形ABCD邊AB、AD上取E、F點，并以AE、AF的長分別作正方形．已知．設正方形ABCD的邊長為x，陰影部分的面積為y，則y與x滿足的函數(shù)關系是（

）

A．一次函數(shù)關系 B．二次函數(shù)關系 C．正比例函數(shù)關系 D．反比例函數(shù)關系【答案】A【分析】本題考查函數(shù)關系的識別，完全平方公式，列函數(shù)關系式，根據(jù)題意表示出AE、的長度，再結合陰影部分的面積等于以AE、AF的長的正方形的面積之差可得y=4x?16，理解題意，列出函數(shù)關系式是解決問題的關鍵．【詳解】解：由題意可得：AE=AB?BE=x?5，AF=AD?DF=x?3，則陰影部分的面積為y=x?3即：y=4x?16，為一次函數(shù)，故選：A．3．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）下列變量具有二次函數(shù)關系的是（）A．正方形的周長y與邊長x B．速度v一定時，路程s與時間tC．正方形的面積y與邊長x D．三角形的高一定時，面積y與底邊長x【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，掌握形如y=ax【詳解】解：A、y=4x，是一次函數(shù)，錯誤；B、s=vt，v一定，是一次函數(shù)，錯誤；C、y=xD、y=12?故選C．題型六建立二次函數(shù)模型例6．（23-24九年級上·安徽合肥·階段練習）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（

）A．y=2.61+2x B．C．y=2.61+x2 【答案】C【分析】第二季度總值為2.61+x，第三季度為2.61+x【詳解】解：第三季度總值為y=2.61+x(1+x)=2.6(1+x故選：C【點睛】本題考查增長率問題，理解固定增長率下增長一期、二期后的代數(shù)式表達是解題的關鍵．鞏固訓練1．（22-23九年級上·四川自貢·期末）一部售價為4000元的手機，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關系式是（

）A．y=40001?x B．y=40001?x2 C．y=8000【答案】B【分析】根據(jù)兩次降價后的價格等于原價乘以（1?每次降價的百分率）2，列出函數(shù)關系式，即可求解．【詳解】解：∵每次降價的百分率都是x，∴兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關系式是y=40001?x故選：B【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．2．（22-23九年級上·河北秦皇島·階段練習）長方形的周長為14cm，其中一邊為x0<x<7cm，面積為ycm2．那么A．y=14?x2 B．y=7?x2 C．【答案】D【分析】根據(jù)題意，先根據(jù)周長，將長方形的另一邊表示出來，再根據(jù)長方形的面積=長×寬，即可進行解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵長方形的周長為14cm，其中一邊為x∴長方形的另一邊長為7?xcm∴y=x7?x故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是掌握長方形的面積計算方法.3．（21-22九年級上·廣東東莞·階段練習）如圖所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，設直線x=t截此三角形所得的陰影部分的面積為S，則S與t之間的函數(shù)關系式為（）A．S=t B．S=12t2 C．【答案】B【分析】Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，可得∠AOB=∠A=45°；再由平行線的性質得出∠OCD=∠A=45°，即∠COD=∠OCD=45°，進而證明CD=OD=t，最后根據(jù)三角形的面積公式，求出S與t之間的函數(shù)關系式．【詳解】解：如圖所示，∵Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∵CD⊥∴CD∥∴∠OCD=∴∠COD=∴CD=OD=t，∴S=1即：S=1故選：B．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識點．解題的關鍵是能夠找到題目中的有關面積的等量關系．題型七一般式與頂點式互化例7.（23-24九年級下·江蘇無錫·階段練習）拋物線y=2x2?4x+7A．(?1,13) B．(?1,5) C．(1,9) D．(1,5)【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，把解析式化為頂點式，即可得到答案.【詳解】∵y=2∴拋物線y=2x2故選：D鞏固訓練1．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）若拋物線y=x2?bx+8的頂點在x軸上，則b=A．2 B．?2 C． D．±4【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，正確求出頂點坐標是解題關鍵．先將拋物線配方化為頂點式，進而得到頂點坐標，再根據(jù)頂點在x軸上可知縱坐標為0，即可求出b的值．【詳解】解：∵y=∴拋物線的頂點坐標為b2∵頂點在x軸上，∴8?，故選：D．2．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）用配方法將二次函數(shù)y=x2+8x?9A．y=x?42+7C．y=x+42+7【答案】D【分析】本題考查將二次函數(shù)的一般式轉化為頂點式，利用配方法進行求解即可．【詳解】解：y=x故選D．3．（23-24九年級下·安徽池州·開學考試）二次函數(shù)y=?4xA．2，?3 B．2，3 C．3，?2 D．3，2【答案】A【分析】本題考查了求二次函數(shù)的頂點坐標，熟練掌握二次函數(shù)頂點坐標的求法是解題的關鍵．將二次函數(shù)配方，即得答案．【詳解】∵y=?4∴該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為2，?3．故選A．題型八二次函數(shù)圖象上點的坐標特征例8.（2022·四川綿陽·三模）拋物線y1＝12（x-h）2＋k與y2=a(x+3)2?1交于點A，分別交y軸于點P，Q，過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正確結論是：①a=12；②點（2，m）、（33，n）及（52，p）都在y1上，則p＜n＜m；③y1A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)題意得：拋物線y1＝12（x-h）2＋k與y2=a(x+3)2?1的對稱軸分別為直線x=?和x=?3，設直線x=?和x=?3分別交BC于點M、N，則MN=h+3，根據(jù)BC=10，可得MN=5，從而得到h=2，可得得到y(tǒng)1=12x?22+52，進而得到點A（1，3），繼而得到a=14，故①錯誤；根據(jù)點（52，P）關于對稱軸x=2的對稱點為32,p，且2<33<32【詳解】解∶根據(jù)題意得：拋物線y1＝12（x-h）2＋k與y2=a(x+3)2如圖，設直線x=?和x=?3分別交BC于點M、N，則MN=h+3，∴AM=BM，AN=CN，∴MN=AN+AM=1∵BC=10，∴MN=5，∴h+3=5，∴h=2，∵點B（3，3），∴3＝12（3-2）2＋k，解得：k=∴y1∵BC∥x軸，∴點A、C的縱坐標為3，令y1=3，則解得：x1∴點A（1，3），把點A（1，3）代入y23=a(1+3)2?1，解得：a=∵y1=1∴當x＞2時，y1隨x的增大而增大；當x＜2時，y1隨x的增大而減小，∵26∴2<∵點（52，p）關于對稱軸x=2的對稱點為3∴p＜n＜m，故②正確；∵a=1∴y2∵y1≥y2，∴12整理得：x2解得：x≤1或x≥13，故③錯誤；∵y1=1當x=0時，y1=9∴點P0,∴PQ=92?∴正確的有②④．故選：A【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，并利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2024·湖北襄陽·二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，P1x

A． B．b+2a=0C．x1>x2，則y1【答案】B【分析】該題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)關系，解答該題的關鍵是掌握二次函數(shù)圖像和性質的相關知識點，根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關系解答即可．【詳解】解：A、根據(jù)函數(shù)圖像可得當x=1時，y=a+b+c>0，故A錯誤；B、根據(jù)對稱軸為直線x=1可得：?b2a=1C、根據(jù)函數(shù)圖像可得當1>x1>D、根據(jù)函數(shù)的對稱性得：y1=y故選：B．2．（2024·山東淄博·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量xx…?2012…y=a…tm?2?2n…且當x=?12時，與其對應的函數(shù)值①函數(shù)圖象的頂點在第四象限內(nèi)；②?2和3是關于x的方程ax③，其中正確的結論個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)表格數(shù)據(jù)得出對稱軸為直線x=12，當x=?12時，與其對應的函數(shù)值y>0，則a>0，b<0，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知：關于對稱軸x=12的對稱點為(3,t)，即可判斷②；根據(jù)對稱軸可得b=?a，根據(jù)當x=?12時，與其對應的函數(shù)值y>0，得出14a?12b?2>0，進而可得a>83，根據(jù)對稱性可得二次函數(shù)y=ax【詳解】解：①根據(jù)圖表可知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(0,?2)∴對稱軸為直線x=0+12=∵當x=?12時，與其對應的函數(shù)值∴a>0，b<0，∴函數(shù)圖象的頂點在第四象限內(nèi)；故①正確：②根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知：關于對稱軸x=12的對稱點為(3,t)即?2和3是關于x的方程ax∴②正確；③∵對稱軸為直線x=1∴?∴b=?a∵當x=?12時，與其對應的函數(shù)值14a?12．∵對稱軸為直線x=12，二次函數(shù)y=ax2+bx+c∴m=n，當x=?1時，m=a?b+c=a+a?2=2a?2，∴，∵a>∴4a?4>∴③錯誤．故選：C．3．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）已知二次函數(shù)，當自變量x取兩個不同的值x1，x2時，函數(shù)值相等，則當自變量x取x1+A．時的函數(shù)值相等 B．x=?94C．x=?32時的函數(shù)值相等 D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的軸對稱性質，根據(jù)解析式找到對稱軸，結合對稱性求解即可得到答案；【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為：x對=?∵自變量x取兩個不同的值x1，x∴x1∴的對稱點為：2×1?2=0，∴當自變量x取x1+x故選：D．題型九二次函數(shù)圖象的平移變換例9.（24-25九年級上·浙江·假期作業(yè)）拋物線y=?3x2+bx+c是由拋物線y=?3x2?6x+1向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的，則b=【答案】?18?20【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關鍵．由題意知，y=?3x2?6x+1=?3【詳解】解：由題意知，y=?3x∴拋物線y=?3x2?6x+1∴b=?18，c=?20，故答案為：?18，?20．鞏固訓練1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點?2,4，則．【答案】2【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點的坐標代入得到2a?b=3，再整體代入變形后代數(shù)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移5個單位長度后得到，把點?2,4代入得到，，得到2a?b=3，∴6a?3b?7=32a?b故答案為：22．（24-25九年級上·浙江·假期作業(yè)）將二次函數(shù)y=x2?4x+3的圖象向左平移4【答案】y=x2【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移及對稱軸，先把二次函數(shù)轉化為頂點式，再根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”求出新拋物線的表達式，最后根據(jù)對稱軸公式x=?b【詳解】解：y=∵二次函數(shù)y=x2?4x+3的圖象向左平移4∴新拋物線的表達式為y=x?2+4∴新拋物線的對稱軸為直線x=?43．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）把二次函數(shù)y=a(x??)2+k(1)試確定a、h、k的值；(2)指出二次函數(shù)y=a(x??)【答案】(1)a=?12，，(2)開口向下，對稱軸為直線x=1，頂點坐標為(1,?5)，當x≥1時，y隨x的增大而減小；當x<1時，y隨x的增大而增大【分析】本題考查了二次函數(shù)的幾何變換，二次函數(shù)的性質，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關鍵．（1）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質，可得答案．【詳解】（1）解：二次函數(shù)y=?12(x+1)2?1的圖象的頂點坐標為所以原二次函數(shù)的解析式為，所以a=?12，，k=?5（2）解：二次函數(shù)y=a(x??)2∵a=?1∴圖象開口向下，二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=1，頂點坐標為(1,?5)，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小，∴當x≥1時，y隨x的增大而減??；當x<1時，y隨x的增大而增大．題型十二次函數(shù)圖象的對稱變換例10.（22-23九年級下·江西上饒·階段練習）拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側，且OB=4OA=4，C為y軸正半軸上一點，拋物線與y軸交于點D，點C和點D關于x軸對稱．當拋物線y=12A．x<?2或x>4 B．?2<x<4 C．x<?3或x>4 D．?3<x<4【答案】A【分析】先求解拋物線為：y=12x2?【詳解】解：∵OB=4OA=4，∴OA=1，∵C為y軸正半軸上一點，拋物線與y軸交于點D，點C和點D關于x軸對稱．∴D在負半軸，∴A?1,0，B∴拋物線為：y=1當x=0時，y=?2，∴D0,?2∴C0,2設直線BC為，∴b=24k+b=0，解得k=?∴直線BC為y=?1∴y=12x2?∴直線與拋物線的另一個交點H?2,3當拋物線y=12x2+bx+c在直線BC的上方時，x故選A．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解拋物線與直線的交點坐標，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．鞏固訓練1．（2022·陜西渭南·三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與拋物線L2關于x軸對稱，且它們的頂點相距8個單位長度，則k的值是（

）A．或3 B．1或?2 C．1或3 D．1或2【答案】C【分析】根據(jù)題意，由可得到頂點對應的y值的代數(shù)式，再分情況討論即可求解；【詳解】解：∵兩拋物線頂點相距8個單位長度∴4ac?當8?4k=4時，解得k=1當8?4k=?4時，解得k=3綜上，k的值是1或3故選：C【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質及應用，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．2．（2024·山西晉城·二模）如圖（1），金橋公園是省城太原一座綜合性城市公園，該公園最大的亮點是中心湖配備的功能強大的音樂噴泉，噴泉呈拁物線型，最高可噴60米高．如圖（2），是兩個連續(xù)噴泉，建立平面直角坐標系后，它們關于y軸對稱，y軸左側噴泉可用y=?548x2

A．104米 B．52米 C．26米 D．120米【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質，根據(jù)兩條拋物線的對稱性，可知軸左面拋物線的頂點到y(tǒng)軸的距離即為兩個最高點的距離．【詳解】解：y軸左側拋物線對稱軸為：x=?b∴左面拋物線的頂點到y(tǒng)軸的距離為?26=26∵兩條拋物線關于y軸對稱，∴兩個最高點之間的距離為：2×26=52米，故選：B．3．（2024·山東臨沂·模擬預測）拋物線y=?x2+2mx?m2+2與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點Mm?1,y1，NA．m<?1或m>0 B．?12<m<12 【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、軸對稱變換，通過計算可得m?1,1，m+1,1是關于拋物線y=?x2+2mx?m2+2對稱軸對稱的點，再分三種情況：若m?1≥0，即m?1,1和m+1,1在y軸右側（包括m?1,1在y軸上）；當m+1≤0時，即m?1,1和m+1,1在y軸左側（包括m+1,1在y軸上）；當m?1<0<m+1，即m?1,1在【詳解】解：在y=?x2+2mx?m2令x=m+1，y=?m+1∴m?1,1，m+1,1是關于拋物線y=?x若m?1≥0，即m?1,1和m+1,1在y軸右側（包括m?1,1在y軸上），則點m?1,1經(jīng)過翻折得Mm?1,y1，點m+1,1由對稱性可得：y1=y當m+1≤0時，即m?1,1和m+1,1在y軸左側（包括m+1,1在y軸上），則點m?1,1即為Mm?1,y1，點m+1,1∴y1=y當m?1<0<m+1，即m?1,1在y軸左側，m+1,1在y軸右側時，如圖：此時Mm?1,1，m+1,1翻折后得N，滿足y由m?1<0<m+1得：?1<m<1，故選：D．題型十一二次函數(shù)圖象與各系數(shù)之間的關系例11.（23-24八年級下·湖南長沙·期末）已知拋物線y=ax2+bx+c①；②；③a?b+c<0；④2a?b>0；⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：觀察圖象得：拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸位于x軸負半軸，與x軸有2個交點，∴a>0,c<0,?b2a<0∴b>0，，故②正確；∴abc<0，故①錯誤；當x=?1時，，故③正確；∵，∴2a>b，即2a?b>0，故④正確；當x=1時，，∴a+c=2?b，∴2?b?b<0，即b>1，∴2?b<1，∴，故⑤正確；故選：D．鞏固訓練1．（23-24九年級下·黑龍江大慶·期末）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸交于點B，對稱軸為直線x=1，下列四個結論：①bc<0；②3a+2c<0；③若實數(shù)m≠1，則am2+bm>a+b；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，數(shù)形結合是解題的關鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出c=?3a，進一步得到13<a<23，又根據(jù)b=?2a得到【詳解】解：①∵函數(shù)圖象開口方向向上，∴a>0∵對稱軸在y軸右側，、b異號，∴b<0∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c<0，故①錯誤；②∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸交于點∴?∵b=?2a∴x=?1時，y=0，∴a?b+c=0∴3a+c=0∴3a+2c<0，故②③∵對稱軸為直線x=1，a>0，∴y=a+b+c∵m≠1，∴am∴am故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應方程的根與系數(shù)的關系可得x1∴c=?3a，，∵b=?2a∴a+b+c=a?2a?3a=?4a∴?故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：C2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+c①bc>0

②（m為任意實數(shù)）

③④若Mx1,y、Nx2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得a<0，b=2a<0即可判斷①，x=?1時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)x=1時，y<0，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得x1+x【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下∴a<0∵對稱軸為直線x=?1，∴∴b=2a<0∵拋物線與y軸交于正半軸，則c>0∴bc<0，故∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=?1,∴當x=?1時，y取得最大值，最大值為∴am2+bm+c≤a?b+c即，故②正確；∵x=1時，y<0即∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1，故③正確；