新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理第3課時(shí)余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例時(shí)課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理、正弦定理第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．理解測量中的基線等有關(guān)名詞、術(shù)語的確切含義直觀想象2．會(huì)利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離、高度、角度等問題數(shù)學(xué)建模3．掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|基線的概念與選擇原則1．定義在測量上，根據(jù)測量的需要而確定的________叫做基線．2．性質(zhì)在測量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的____________，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越______．線段

基線長度高3．實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角名稱定義圖示方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向?yàn)槭歼?，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角)方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角【預(yù)習(xí)自測】李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個(gè)方向？【提示】東南方向．三角形的面積公式(1)三角形的面積公式適用于所有的三角形嗎？(2)已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角及一邊能求三角形的面積嗎？【提示】(1)適用．三角形的面積公式對任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的邊或角，再根據(jù)面積公式求解．|課堂互動(dòng)|題型1測量距離問題海上A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是(

)【答案】D測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點(diǎn)間不可達(dá)或不可視A，B兩點(diǎn)間可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)A，B兩點(diǎn)都不可達(dá)圖形

類型A，B兩點(diǎn)間不可達(dá)或不可視A，B兩點(diǎn)間可視，但有一點(diǎn)不可達(dá)A，B兩點(diǎn)都不可達(dá)方法先測∠C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以點(diǎn)A不可達(dá)為例，先測角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB1．如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為________m．【答案】60題型2測量高度問題如圖，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C和D，測得CD＝200米，在點(diǎn)C和點(diǎn)D測得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，則塔高AB為__________米．【答案】200測量高度問題的基本類型和解決方案當(dāng)AB的高度不可直接測量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計(jì)算方法底部可達(dá)測得BC＝a，C的大小，AB＝a·tanC類型簡圖計(jì)算方法底部不可達(dá)點(diǎn)B與C，D共線測得CD＝a及∠ACB與∠ADB的度數(shù)．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值點(diǎn)B與C，D不共線測得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數(shù)．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值2．在200米高的山頂上測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°和60°，則塔高為 (

)【答案】A測量角度問題的基本思想測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．

3．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇的發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|_________，大小為_________km/h．【解析】如圖，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，題型4三角形的面積問題易錯(cuò)警示錯(cuò)用公式、解題方法不當(dāng)致誤易錯(cuò)防范：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難．其原因是公式不熟、方法不當(dāng)．|素養(yǎng)達(dá)成|1．正、余弦定理在實(shí)際測量中應(yīng)用的一般步驟．(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖．(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．2．解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況．(體現(xiàn)直觀想象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng))(1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．1．(題型4)在△ABC中，a＝6，b＝4，C＝30°，則△ABC的面積是 (

)A．6 B．12【答案】A2．(題型1)如圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)最適宜選用的數(shù)據(jù)是 (

)A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b【答案】C3．(題型3)小強(qiáng)站在地面上觀察一個(gè)建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時(shí)測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫? (

)A．α＋β B．α－βC．β－α D．α【答案】C【解析】如圖，設(shè)小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫棣?，則β－γ＝α，因此γ＝β－