高中數(shù)學(xué)不動點(diǎn)與函數(shù)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁不動點(diǎn)與函數(shù)不動點(diǎn)與函數(shù)一、一次函數(shù)的不動點(diǎn)設(shè)是一個關(guān)于x的代數(shù)函數(shù)（即函數(shù)解析式為代數(shù)式），稱方程的根為的不動點(diǎn)，如果把自變量的值x用數(shù)軸上的點(diǎn)（記為）來表示，其對應(yīng)的函數(shù)值也用數(shù)軸上的點(diǎn)（記為）來表示（如圖）．這樣，我們可以把函數(shù)看成是給了數(shù)軸上的點(diǎn)的一個移動，即把x移動至處．在這個意義下，就表示沒有被移動，這個點(diǎn)就稱為不動點(diǎn)．我們知道，一個函數(shù)有自己的定義域和值域，若函數(shù)有不動點(diǎn)，那么這個點(diǎn)既在的定義域內(nèi)，又在其值域內(nèi)，即定義域和值域有公共點(diǎn)．所以，一個函數(shù)有不動點(diǎn)的必要條件之一是它的定義域和值域有公共點(diǎn)．如果函數(shù)的值域完全包含在定義域內(nèi)，也就具備了這種必要條件．定理1：一次函數(shù)的不動點(diǎn)為，且定理2：一次函數(shù)的不動點(diǎn)也是的n次迭代函數(shù)的不動點(diǎn)，且證明：（1）當(dāng)時，由定理1可知，不動點(diǎn)，且，所以結(jié)論成立．（2）設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即的不動點(diǎn)為，且則當(dāng)時，其不動點(diǎn)即的不動點(diǎn)亦為，且所以當(dāng)時也成立，綜上，對一切，結(jié)論正確．應(yīng)當(dāng)指出的是，在一次函數(shù)中：①當(dāng)時，不動點(diǎn)有無窮多個，也就是說，任何實數(shù)都是的不動點(diǎn)，②當(dāng)時，函數(shù)無不動點(diǎn)，這時函數(shù)的n次迭代式不能用不動點(diǎn)來表示，但容易得到，③當(dāng)時，，不能再迭代下去．定義1．對于給定的函數(shù)和，若存在一個可逆函數(shù)，使得，則稱和關(guān)于相似，記作，其中稱為橋函數(shù)．橋函數(shù)相似有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則；③若，則從上面性質(zhì)可知，要求一個已知函數(shù)的n次迭代，只需找出一個橋函數(shù)以及簡單函數(shù)，確定和可從的不動點(diǎn)來考慮．若，則，所以，若，則，即是g的不動點(diǎn)，也就是橋函數(shù)具有的性質(zhì)．即它將f的不動點(diǎn)映成g的不動點(diǎn)，通常為了便于求常取，這時的不動點(diǎn)為0或，此時，若有唯一不動點(diǎn)時，則可考慮?。ɑ颍@（或）；若有兩個不動點(diǎn)，則可考慮，這時以下先給出一些較簡單的函數(shù)的n次迭代式：①若，則②若，則③若，則④若，則例1．已知，求解：的不動點(diǎn)為或，若，由④即可求得，若，構(gòu)造函數(shù)（顯然以，），所以計算，得因為所以例2．若，求解：函數(shù)的不動點(diǎn)為或1，取，則因為（請讀者自算）．所以（由②迭代式）．故例3．已知，求的解析式．解：因為，，易知，事實上，上述解析式出現(xiàn)了十分有趣的“循環(huán)”現(xiàn)象．即所以定義2．若存在最小自然數(shù)n，使得對定義域中的一切x均有，則稱n為的迭代周期，二、函數(shù)的一階不動點(diǎn)、二階不動點(diǎn)、二階周期點(diǎn)的關(guān)系相關(guān)概念一階不動點(diǎn)：對于函數(shù)，定義域為I，如果存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動點(diǎn)，簡稱不動點(diǎn)．根據(jù)該定義，我們可以從以下兩個方面來理解不動點(diǎn)：①從代數(shù)的角度，不動點(diǎn)是方程組的解中的；②從圖象的角度，不動點(diǎn)是和圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；二階不動點(diǎn)：對于函數(shù)，定義域為I，如果存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動點(diǎn)，簡稱穩(wěn)定點(diǎn)．根據(jù)該定義，我們可以從以下兩個方面來理解穩(wěn)定點(diǎn)：①從代數(shù)的角度，穩(wěn)定點(diǎn)是方程組的解（這里的可能相等）．顯然這兩個點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．當(dāng)時，A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱．②從圖象的角度，穩(wěn)定點(diǎn)是和圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)以及圖象上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．二階周期點(diǎn)：對于函數(shù)，定義域為I，如果存在，使得，且，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，簡稱周期點(diǎn)．根據(jù)該定義，我們可以從以下兩個方面來理解周期點(diǎn)：①從代數(shù)的角度，周期點(diǎn)是方程組的解；②從圖象的角度，周期點(diǎn)是圖象上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．三者的關(guān)系根據(jù)上述定義以及分析，我們從兩方面來理解三者的關(guān)系：①從集合的角度：設(shè){穩(wěn)定點(diǎn)}，{不動點(diǎn)}，則{周期點(diǎn)}因此，不動點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)，穩(wěn)定點(diǎn)不一定是不動點(diǎn)．不動點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)的充分不必要條件．②從圖象的角度：不動點(diǎn)是和圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；周期點(diǎn)是圖象上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；穩(wěn)定點(diǎn)是和圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)以及圖象上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．最后，再給出函數(shù)“二階不動點(diǎn)”的幾何解釋．由函數(shù)不動點(diǎn)的定義可知，函數(shù)的一階不動點(diǎn)，就是方程的解，也就是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)的二階不動點(diǎn)，就是方程的解，也就是方程組的解．顯然，點(diǎn)與都在函數(shù)的圖象上，且當(dāng)時，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱當(dāng)時為函數(shù)的一階不動點(diǎn)，所以函數(shù)的二階不動點(diǎn)就是函數(shù)）圖象上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，或直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．三、二次函數(shù)的“不動點(diǎn)”與“穩(wěn)定點(diǎn)”對于連續(xù)函數(shù)，若，則稱為的“不動點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．記函數(shù)的“不動點(diǎn)”的集合為，“穩(wěn)定點(diǎn)“的集合為則有：（1）；②若，則證明：（1）設(shè)，則，則，即，因此（2）函數(shù)“不動點(diǎn)”的幾何意義是函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因為，則函數(shù)圖象與直線無交點(diǎn)．①若圖象在直線的上方，則恒成立．則有恒成立，即②若圖象在直線的下方，則恒成立．則有恒成立，即綜上：若，則上述結(jié)論用文字語言敘述為：函數(shù)的“不動點(diǎn)”必為“穩(wěn)定點(diǎn)”；若函數(shù)無“不動點(diǎn)”，則必?zé)o“穩(wěn)定點(diǎn)”．近年來，有關(guān)函數(shù)“不動點(diǎn)”與“穩(wěn)定點(diǎn)”的試題在高考及數(shù)學(xué)競賽中時有出現(xiàn)，特別是對于“穩(wěn)定點(diǎn)”——方程的根，由于方程一般較為復(fù)雜，處理起來比較麻煩．對于二次函數(shù)，下面探究它的“不動點(diǎn)”與“穩(wěn)定點(diǎn)”個數(shù)．方程可化為：（1）當(dāng)時，方程無實根，即函數(shù)無“不動點(diǎn)”，則無“穩(wěn)定點(diǎn)”；（2）當(dāng)時，方程有兩相等實根，即只有一個“不動點(diǎn)”，不妨設(shè)為，則，即則∵，∴方程只有一個實根，即函數(shù)只有一個“穩(wěn)定點(diǎn)”，且“穩(wěn)定點(diǎn)”就是“不動點(diǎn)”．（3）當(dāng)時，方程有兩不相等實根，即有兩個“不動點(diǎn)”，不妨設(shè)為，則，即則記①當(dāng)，即，即時，方程無實根，則方程只有兩個實根即函數(shù)只有兩個“穩(wěn)定點(diǎn)”，且“穩(wěn)定點(diǎn)”就是“不動點(diǎn)”．②，即，即時時，方程有兩相等實根，不妨設(shè)為又則，即或，則或，則方程只有兩個實根，即函數(shù)只有兩個“穩(wěn)定點(diǎn)”，且“穩(wěn)定點(diǎn)”就是“不動點(diǎn)”．③當(dāng)，即，即時，方程有不相等的實根，不妨設(shè)為又則，即且，即不是方程的根，即方程有四個實根，即函數(shù)有四個“穩(wěn)定點(diǎn)”．綜上，對于二次函數(shù)：①當(dāng)時，函數(shù)無“不動點(diǎn)”，也無“穩(wěn)定點(diǎn)”；②當(dāng)時，函數(shù)有一個“不動點(diǎn)”和一個“穩(wěn)定點(diǎn)”，且“穩(wěn)定點(diǎn)”就是“不動點(diǎn)”：③當(dāng)時，函數(shù)有兩個“不動點(diǎn)”和兩個“穩(wěn)定點(diǎn)”，且“穩(wěn)定點(diǎn)”就是“不動點(diǎn)”；④當(dāng)時，函數(shù)有兩個“不動點(diǎn)”和四個“穩(wěn)定點(diǎn)”，其中兩個“穩(wěn)定點(diǎn)”就是“不動點(diǎn)”．四、基本初等函數(shù)不動點(diǎn)個數(shù)的相關(guān)結(jié)論1．若m，n是二次函數(shù)的兩個不動點(diǎn)，求證：m和n也是四次函數(shù)的兩個不動點(diǎn)．2．解方程3．對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)；(2)若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．4．命題“若定義在上的奇函數(shù)圖象上存在有限個不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)有奇數(shù)個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．5．已知函數(shù)(1)若函數(shù)上有兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求a，b應(yīng)滿足的條件；(2)在（1）的條件下，取的圖象上A、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)不動點(diǎn)，P為函數(shù)圖象的另一個點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)大于3，求點(diǎn)P到直線距離的最小值及取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．6．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)的不動點(diǎn)；(2)若對任意實數(shù)b，函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求b的最小值．7．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0，b，c∈R）．設(shè)集合A={x∈R|f（x）=x}，B={x∈R|f（f（x））=f（x）}，C={x∈R|f（f（x））=0}．（Ⅰ）當(dāng)a=2，A={2}時，求集合B；（Ⅱ）若，試判斷集合C中的元素個數(shù)，并說明理由．8．設(shè)函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使得，則a的取值范圍是（

）．A． B．C． D．9．已知函數(shù)，a為常數(shù)且．若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，如果有兩個二階周期點(diǎn)，，試確定a的取值范圍．10．已知函數(shù)，且沒有實數(shù)根，則是否有實數(shù)根？證明你的結(jié)論．11．對于任意定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱為函數(shù)在D上的一個不動點(diǎn)．(1)求函數(shù)在上的不動點(diǎn)；(2)若函數(shù)在上沒有不動點(diǎn)，求a的取值范圍．12．的定義域是，若，使，則稱是的一個不動點(diǎn)．設(shè)的不動點(diǎn)數(shù)目是有限多個，下述命題是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一個例子說明．(1)是奇函數(shù)，則的不動點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)；(2)是偶函數(shù)，則的不動點(diǎn)數(shù)目是偶數(shù)．13．對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn)．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)；(2)若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．14．解方程：．15．設(shè)其中a為常數(shù)，，若滿足，但，則稱為的二階周期點(diǎn)，若函數(shù)有且僅有兩個二階周期點(diǎn)，請求出二階周期點(diǎn)．16．已知函數(shù)，a為常數(shù)且．若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點(diǎn)，如果有兩個二階周期點(diǎn)，，試確定a的取值范圍．17．對于函數(shù)，若，則稱為函數(shù)的不動點(diǎn)；若，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)．如果函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)恰是它的不動點(diǎn)，求a的取值范圍．18．對于函數(shù)，若，則稱為函數(shù)的“不動點(diǎn)”；若，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”．如果函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，那么實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．19．設(shè)函數(shù)的不動點(diǎn)（滿足）、穩(wěn)定點(diǎn)（滿足）的集合分別為A、B．若，求實數(shù)a的取值范圍．20．的定義域是，若，使，則稱是的一個不動點(diǎn)．設(shè)的不動點(diǎn)數(shù)目是有限多個，下述命題是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一個例子說明．(1)是奇函數(shù)，則的不動點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)；(2)是偶函數(shù)，則的不動點(diǎn)數(shù)目是偶數(shù)．21．已知函數(shù)，記函數(shù)，，，…，，…(1)求證：如果存在一個實數(shù)，滿足，那么對一切，都成立；(2)若實數(shù)滿足，則稱為穩(wěn)定不動點(diǎn)，試求出所有這些穩(wěn)定不動點(diǎn)；(3)考察區(qū)間，以任意實數(shù)，有，，且時，試問是否存在區(qū)間，對于區(qū)間B內(nèi)的任意實數(shù)x，只要，都有22．已知函數(shù)，且沒有實數(shù)根，則是否有實數(shù)根？證明你的結(jié)論．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．證明見解析【分析】利用不動點(diǎn)的定義證明.【詳解】證明：因為m，n是二次函數(shù)的兩個不動點(diǎn)，所以，，消去b、c，得則，∴m，n是的兩個不動點(diǎn)．且的另外不動點(diǎn)由方程給出．2．【分析】令，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的不動點(diǎn)問題求解.【詳解】解：令，則原方程變?yōu)?，方程，解得；又方程，即，解得∴所求方程的根為?．（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【詳解】解：(1)∵a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x?x2－2x－3＝0?x＝－1，x＝3，∴函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)為－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不等實根，需有判別式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0?Δ1＝(－4a)2－4×4a<0?0<a<1，∴a的取值范圍為(0,1)．(3)設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)，則x1＋x2＝－，則A，B中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，即M(－，－)．∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對稱，且A，B在直線y＝x上，∴k＝－1，A，B的中點(diǎn)M在直線y＝kx＋上．∴－＝＋?b＝－＝－，利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)a＝時，b的最小值為－.4．正確，證明見解析．【分析】利用新定義“不動點(diǎn)”的性質(zhì)及奇函數(shù)相關(guān)知識即可求解.【詳解】證明：因為是奇函數(shù)，所以.又∵，令，則，∴0是的不動點(diǎn)．設(shè)是奇函數(shù)的一個不動點(diǎn)，則∵，∴也是函數(shù)的一個不動點(diǎn)，且，這說明奇函數(shù)的非零不動點(diǎn)如果存在，則必成對出現(xiàn)．又根據(jù)題設(shè)只有有限個不動點(diǎn)，故函數(shù)的不動點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)個．5．(1)且(2)點(diǎn)P到直線距離的最小值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為【分析】（1）由不動點(diǎn)定義列方程，根據(jù)兩個不動點(diǎn)互為相反數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理可得；（2）先求不動點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合基本不等式可解.(1)設(shè)是圖象上的不動點(diǎn)，則有，整理得（*）根據(jù)題意可知方程（*）有兩個根，且絕對值相等，符號相反．故由韋達(dá)定理，得∴，∴，故a、b應(yīng)滿足且(2)在（1）的條件下，當(dāng)時，由得函數(shù)的兩個不動點(diǎn)為，故設(shè)點(diǎn)，因為，即，解出直線的方程為設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號．此時故點(diǎn)P到直線距離的最小值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為6．(1)或3(2)(3)【分析】（1）根據(jù)不動點(diǎn)的定義解方程即可的解；（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，則方程恒有兩個不同的根，則恒成立，從而可得出答案；（3）利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的兩個結(jié)論，一是中點(diǎn)在已知直線上，二是兩點(diǎn)連線和已知直線垂直，找到之間的關(guān)系式，整理后利用基本不等式求解可得.(1)解：,解方程，得或,∴函數(shù)的不動點(diǎn)為或3；(2)解：∵函數(shù)對任意實數(shù)b，恒有兩個相異不動點(diǎn)，∴方程恒有兩個不同的根，∴方程對任意的實數(shù)b，恒有，即恒成立，所以，∴；(3)解：由題意可設(shè)，∵，∴，∴，又A、B的中點(diǎn)在的圖象上，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故b的最小值為7．（Ⅰ）B=；（Ⅱ）詳見解析．【詳解】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2，A={2}時,先由此確定的值，再根據(jù)f（f（x））=f（x）等價于方程f（x）=2,求出集合B．（Ⅱ）思路一：由及a>0，得方程f（x）=0有兩個不等的實根，記為，利用配方法說明，從而方程與各有兩個不相等的實根，集合C中的元素有4個．思路之二：先考慮方程f（x）=0，即ax2+bx+c=0．證明方程有兩個不等的實根x1，x2，再由方程f（f（x））=0等價于方程f（x）=x1或f（x）=x2．分別考慮方程f（x）=x1、方程的判別式，以說明它們各有兩個不等的實根且互不相同，從而集合C中的元素有4個．試題解析：解：（Ⅰ）由a=2，A={2}，得方程f（x）=x有且只有一根2，∴，即．由韋達(dá)定理可得方程①的另一根為，故集合B=．（Ⅱ）法一：由及a>0，得方程f（x）=0有兩個不等的實根，記為，且有．從而可設(shè)，∴．由，得，又a>0，∴，∴方程也有兩個不等的實根．另一方面，，∴方程也有兩個不等的實根．由是方程f（x）=0的兩個不等實根，知方程f（f（x））=0等價于或．另外，由于，可知方程與不會有相同的實根．綜上，集合C中的元素有4個．法二：先考慮方程f（x）=0，即ax2+bx+c=0．由及，得，得，所以，方程有兩個不等的實根，記為x1，x2，其中．由x1，x2是方程f（x）=0的兩個不等實根，知方程f（f（x））=0等價于方程f（x）=x1或f（x）=x2．考慮方程f（x）=x1的判別式．當(dāng)，即時，顯然有；當(dāng)，即時，由，得所以，；總之，無論取何值，都有，從而方程有2個不等的實根．考慮方程的判別式．由，得，從而有，所以，方程也有2個不等的實根．另外，由于，可知方程與不會有相同的實根．綜上，集合C中的元素有4個．考點(diǎn)：1、一元二次函數(shù)；2、集合的概念；3、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根．8．A【分析】由題可得，再利用函數(shù)的單調(diào)性即求.【詳解】顯然為增函數(shù)，于是等價于，即，又，故，從而，令，則，令，則，可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，從而，故在上單調(diào)遞增，從而.故選：A．9．【分析】首先函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，分，和三種情況求解，根據(jù)函數(shù)的二階周期點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，由可解得，而，故不是二階周期點(diǎn)，所以不合題意．當(dāng)時，由得解集為，而當(dāng)時，恒成立，故不合題意．當(dāng)時，由解得或或或又，所以恰有兩個二階周期點(diǎn)．綜上，a的取值范圍是10．不存在實數(shù)根；證明見解析．【分析】由題意化簡，從而化為解方程；再由判別式判斷即可．【詳解】解：沒有實數(shù)根，證明如下，，∵沒有實數(shù)根，∴，且；即，所以,所以，∴一定沒有實數(shù)根．11．(1)1(2)【分析】（1）解方程，求得其在上的根即可；（2）先求出在上有解時的a的取值范圍，其反面即為函數(shù)在上沒有不動點(diǎn)時a的范圍.(1)設(shè)是在上的不動點(diǎn)，則，解得，即1是在上的不動點(diǎn)．(2)設(shè)在上有解，則在上有解，∴，∴或當(dāng)時，方程的兩根都是負(fù)數(shù)；當(dāng)時，方程的兩根都是正數(shù)．因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，在上有不動點(diǎn)．于是，在上沒有不動點(diǎn)時，12．(1)正確，證明見解析(2)錯誤，答案見解析【分析】（1）分析出是的一個不動點(diǎn)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)分析可知的非零不動點(diǎn)如果存在，則必以互為相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)，即可證得結(jié)論成立；（2）取特例，利用不動點(diǎn)的定義求出函數(shù)的不動點(diǎn)個數(shù)，即可得出結(jié)論.(1)證明：正確，證明如下：是定義在上的奇函數(shù)，則，即，因此，是的一個不動點(diǎn)．假設(shè)是的不動點(diǎn)，則由定義知，因為為奇函數(shù)，所以，從而也是的不動點(diǎn)．又因為，所以的非零不動點(diǎn)如果存在，則必以互為相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)．又根據(jù)題設(shè)，只有有限個不動點(diǎn)，因此的不動點(diǎn)數(shù)目為奇數(shù)．(2)解：不正確．例如：是偶函數(shù)，因為，所以是的一個不動點(diǎn)．設(shè)是的不動點(diǎn)，則，又，所以，因此有且只有一個不動點(diǎn)，故命題不正確．13．（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【詳解】解：(1)∵a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x?x2－2x－3＝0?x＝－1，x＝3，∴函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)為－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為ax2＋bx＋b－1＝0有兩個不等實根，需有判別式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0?Δ1＝(－4a)2－4×4a<0?0<a<1，∴a的取值范圍為(0,1)．(3)設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)，則x1＋x2＝－，則A，B中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，即M(－，－)．∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝kx＋對稱，且A，B在直線y＝x上，∴k＝－1，A，B的中點(diǎn)M在直線y＝kx＋上．∴－＝＋?b＝－＝－，利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)a＝時，b的最小值為－.14．原方程的4個根分別為【分析】將方程變形為設(shè)，令，求出的兩個不動點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)綜合除法求出結(jié)果.【詳解】將方程變形為設(shè)，令，可得，求出的兩個不動點(diǎn)為和顯然，這兩個不動點(diǎn)也是的兩個不動點(diǎn)，故是原方程的兩個根．根據(jù)綜合除法，可得由可得或，所以原方程的4個根分別為15．和【分析】根據(jù)的二階周期點(diǎn)的定義，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，若滿足，但，設(shè)函數(shù)的二階周期點(diǎn)為，不妨設(shè)，由二階周期點(diǎn)的性質(zhì)可知，不能屬于同一個單調(diào)區(qū)間，因此必有，因為為函數(shù)二階周期點(diǎn)，可得，即，解得，所以函數(shù)的二階周期點(diǎn)為和16．【分析】首先函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，分，和三種情況求解，根據(jù)函數(shù)的二階周期點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，由可解得，而，故不是二階周期點(diǎn)，所以不合題意．當(dāng)時，由得解集為，而當(dāng)時，恒成立，故不合題意．當(dāng)時，由解得或或或又，所以恰有兩個二階周期點(diǎn)．綜上，a的取值范圍是17．【分析】根據(jù)函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)恰是它的不動點(diǎn)說明函數(shù)有不動點(diǎn)沒有周期點(diǎn)，建立不等式與方程求解即可.【詳解】由已知有解，即二次方程有解．令，解得，又函數(shù)沒有二階周期點(diǎn)，所以方程無解．由兩式相減得，再代入其中一個表達(dá)式，得因為該方程為二次方程，它無解或有兩個相等實根，則，解得綜上【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題條件為穩(wěn)定點(diǎn)恰好是周期點(diǎn)，說明不存在周期點(diǎn)，因此利用周期點(diǎn)的代數(shù)條件或者幾何意義來的反面來做．18．D【分析】函數(shù)的“不動點(diǎn)”一定是“穩(wěn)定點(diǎn)”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，即不存在非“不動點(diǎn)”的“穩(wěn)定點(diǎn)”，所以有解，但方程組無解，然后利用判別式即得.【詳解】因為函數(shù)的“不動點(diǎn)”一定是“穩(wěn)定點(diǎn)”，而函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動點(diǎn)”，即不存在非“不動點(diǎn)”的“穩(wěn)定點(diǎn)”，所以有解，但方程組無解