6年中考解答題27題壓軸題滿分練（一）（解析版）-2021年中考數(shù)學(xué)6年中考3年模擬題號(hào)對(duì)應(yīng)滿分練（江蘇南京專用）

6年中考解答題27題壓軸題滿分練（一）

（滿分60分時(shí)間：80分鐘）班級(jí)姓名得分

一、解答題：（本題共6小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.）

1.（2020年南京市中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊/上建一個(gè)燃?xì)庹?，?同側(cè)

的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)?試確定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最

短.

（1）如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)A,線段AB與直線/的交點(diǎn)C的位置即為所求，

即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線1上另外任取一點(diǎn)C',連接4C'、BC',證明

AC+CB<AC'+C'B.請(qǐng)完成這個(gè)證明.

（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^(guò)該區(qū)域.請(qǐng)分

別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說(shuō)明理由）.

①生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖③所示；

②生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖④所示.

【答案】證明：（1）如圖②，連接4'。',

???點(diǎn)A,點(diǎn)H關(guān)于/對(duì)稱，點(diǎn)C在/上，

CA=CA',

：.AC+BC=A'C+BCA'B,

1

同理可得AC'+C'B=A'C'+BC,

vA'B<A'C+C'B,

AC+BC<AC+CB；

在點(diǎn)C出建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是AC05,（其中點(diǎn)。是正方形的頂點(diǎn)）;

如圖④，

在點(diǎn)C出建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是4CD+介+EB，（其中C。，8E都與圓相切）

【解析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得。4=CA',可得4c+BC=A'C+BC=A'B,AC'+C'B=

A'C+BC,由三角形的三邊關(guān)系可得48<4C'+C'B,可得結(jié)論；

（2）①由（1）的結(jié)論可求；

②由（1）的結(jié)論可求解.

本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的三邊

關(guān)系，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

2.（2019年南京市中考真題）【概念認(rèn)識(shí)】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按

直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy,對(duì)兩

點(diǎn)4（久1，y1）和8（如、2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離:d（A,B）=\xr-x2\+|yi-y2\-

2

【數(shù)學(xué)理解】

(1)①已知點(diǎn)4(一2,1),則以。,4)=.

②函數(shù)丫=一2%+4(03%式2)的圖象如圖(5)所示，8是圖象上一點(diǎn)，d(0,B)=3,則

點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

(2)函數(shù)y=：(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使

d(O,C)=3.

(3)函數(shù)y=x2-5x+7(x>0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點(diǎn)，求d(O,D)的最小

值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。的坐標(biāo).

【問(wèn)題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿方向到某

處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當(dāng)

的平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)

【答案】解：⑴①3;②(1,2):

(2)假設(shè)函數(shù)y=>0)的圖象上存在點(diǎn)C(x,y)使d(O,C)=3,

根據(jù)題意，得|x-0|+|—0|=3,

,?,%>0,

~>0>|x-0|4~|—-0|=x+

x4—X=3,

二X2+4=3%,

???/—3%+4=0,

???△=b2—4ac=-7<0,

3

.??方程/—3x+4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

.,?該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使d(O,C)=3.

(3)設(shè)。(x,y),

根據(jù)題意得,d(0,D)=\x-0|+l%?—Sx+7—0|=|%|4~|%2-5%+7|,

-5%+7=(%-1)2+：>0,

又%>0,

???d(O,D)=|%|+|%2—5%-I-7|=%4-%2-5x4-7=%2-4x4-7=(%—2)2+3,

.??當(dāng)％=2時(shí),d(。,。)有最小值3,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2,1).

(4)如圖，以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系宜內(nèi)，將函數(shù)y=一》的

圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，

設(shè)交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)E作EHLMN,垂足為H,修建方案是：先沿MN方向修建到“處，再

理由：設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線人與x軸相交于點(diǎn)立在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作

直線，2〃，1，%與不軸相交于點(diǎn)G.

??,乙EFH=45°,

??.EH=HF,d(O,E)=0H+EH=OF,

同理d(O,P)=OG,

???OG>OF,

???d(O,P)Nd(O,E),

???卜.述方案修建的道路最短.

4

【解析】

解：(1)①由題意得：d(。,力)=|0+2|+|0—1|=2+1=3：

②設(shè)B(x,y),由定義兩點(diǎn)間的距離可得：|O-x|+|O-y|=3,

v0<x<2,

?,?％+y=3,

.儼+y=3

**ly=-2x+4'

解得:{J：2'

故答案為：①3;②(1,2)；

(2)見(jiàn)答案;

(3)見(jiàn)答案；

(4)見(jiàn)答案.

【分析】

(1)①根據(jù)定義可求出d(。,4)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②由兩點(diǎn)間距離：d(4,B)=|xx-x2\+\yi-yzl及點(diǎn)B是函數(shù)y=-2x+4的圖象上的一點(diǎn),

可得出方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)由條件知%>0,根據(jù)題意得X+￡=3,整理得/一3%+4=0,由△<()可證得該函數(shù)

的圖象上.不存在點(diǎn)C,使d(O,C)=3.

(3)根據(jù)條件可得|x|+|X2-5X+7|,去絕對(duì)值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；

(4)以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,將函數(shù)y=-x的圖象沿

y軸正方向平移,直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止,設(shè)交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)E作EH1MN,

垂足為“，修建方案是：先沿方向修建到“處，再沿方向修建到E處，可由d(O,P)>

d(O,E)證明結(jié)論即可.

考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有新定義，解方程(組)，二次函數(shù)的性質(zhì)等.

3.(2018年南京市中考真題)結(jié)果如此巧合！

下面是小穎對(duì)一道題目的解答.

題目：如圖，RtA/lBC的內(nèi)切圓與斜邊A8相切于點(diǎn)￡>,AD=3,BD=4,求的

面積.

5

解：設(shè)△力BC的內(nèi)切圓分別與AC、8c相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x.

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得2E=4D=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根據(jù)勾股定理，得(x+3/+。+4)2=(3+4)2.

整理，得/+7x=12.

所以SMBC="C-BC

=|(x+3)(%+4)

=|(X2+7X+12)

=|x(12+12)

=12.

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3x4,即△4BC的面積等于4。與的積.這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索.

已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)。，AD=m,BD=n.

可以一般化嗎？

(1)若Z/?=90。，求證：△4BC的面積等于

倒過(guò)來(lái)思考呢？

(2)若4C-BC=2nm,求證NC=90。.

改變一下條件...

(3)若/C=60。，用機(jī)、〃表示△ABC的面積.

【答案】解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、8c相切于點(diǎn)E、F,CE的長(zhǎng)為x,

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得：AE=AD=m,BF=BD=n、CF=CE=x,

(1)如圖1.

6

A

D

圖1

在RtzMBC中，根據(jù)勾股定理，得：(x+m)2+(%+n)2=(m+n)2,

整理，得：x24-(?n4-n)x=mnf

所以，A8C="C-BC

=1(x+m)(x+n)

=j[x2+(m+n)x+mri]

=g(mn+mn)

=mn,

(2)由4c-BC=2mn,得：(%4-7n)(x4-n)=2mnf

整理，得：x2+(m+n)x=mrif

??.AC2+BC2=(%+m)2+(x+n)2

=2[%2+(m+n)x]+m2+n2

=2mn4-m24-n2

=(m4-n)2

=AB2,

根據(jù)勾股定理逆定理可得4C=90°；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作4G1BC于點(diǎn)G,

7

A

在RtZk/CG中，AG=AC-sin60°=y(x+m),CG=71C-cos60°=|(x4-m),

???BG=BC—CG=(%4-n)—(x+m),

在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理可得：[號(hào)(x+m)]24-[(x4-n)—|(x+m)]2=(m+n)2,

整理，得：x24-(m+n)x=3mn,

?*,S^ABC=2BC,4G

=1x(x+n)-y(x+m)

=[x2+(m+n)x+mn]

百

=Yx(3mn+mn)

=V3mn.

【解析】(1)由切線長(zhǎng)知力E=AD=m、BF=BD=九、CF=CE=%,根據(jù)勾股定理得。+

m)2+(%4-n)2=(m+n)2,即產(chǎn)4-(m4-n)x=mn,再利用三角形的面積公式計(jì)算可得；

(2)由由24c,BC=2nm得(％+?n)(%+n)=2nm,B|J%24-(m4-n)x=mn,再利用勾股定理

逆定理求證即可；

(3)作AG1BC,由三角函數(shù)得4G=AC-sin60°=y(x+m),CG=AC-cos60°=i(x+m),

BG=BC-CG=(x+n)-|(x+m),在RtAABG中，根據(jù)勾股定理可得/+(m+n)x=

3mn,最后利用三角形的面積公式計(jì)算可得.

本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握切線長(zhǎng)定理的運(yùn)用、三角函數(shù)的應(yīng)用及勾股

定理及其逆定理等知識(shí)點(diǎn).

4.（2017年南京市中考真題）折紙的思考.

【操作體驗(yàn)】

8

用一張矩形紙片折等邊三角形.

第一步，對(duì)折矩形紙片力BCDQ4B>BC)(圖①)，使A8與。C重合，得到折痕所，把

紙片展平(圖②).

第二步，如圖③，再一次折疊紙片，使點(diǎn)C落在上的P處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,得

到折痕3G,折出PB、PC,得到APBC.

(1)說(shuō)明△PBC是等邊三角形.

【數(shù)學(xué)思考】

(2)如圖④，小明畫(huà)出了圖③的矩形ABC。和等邊三角形P8C.他發(fā)現(xiàn)，在矩形A8C。

中把^PBC經(jīng)過(guò)圖形變化，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形，請(qǐng)描述圖形變化的

過(guò)程.

(3)已知矩形一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為acm,對(duì)于每一個(gè)確定的〃的值，在矩形中都

能畫(huà)出最大的等邊三角形，請(qǐng)畫(huà)出不同情形的示意圖，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍.

【問(wèn)題解決】

(4)用一張正方形鐵片剪一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為4a”和lew的直角三角形鐵片，所需正方

【答案】(1)證明：由折疊的性質(zhì)得：E尸是BC的垂直平分線，8G是PC的垂直平分線，

???PB=PC,PB=CB,

：.PB=PC=CB,

:.△PBC是等邊三角形.

(2)解：以點(diǎn)B為中心，在矩形ABCD中把△PBC逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?得到△P.BC^

再以點(diǎn)B為位似中心，將△PiBG放大，使點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在CO上，得到AP2BC2；

如圖⑤所示

9

D

(3)解：本題答案不唯一，舉例如圖6所示，

3cm

巴?-0

3cm_____

acm1/\“1

OK苧孚<a<2點(diǎn)a"石

圖6

，八16

(4)y.

【解析】(1)見(jiàn)答案；

(2)見(jiàn)答案；

(3)見(jiàn)答案:

(4)解；如圖7所示：

圖7

△CEF是直角三角形，4cEF=90°,CE=4,EF=1,

Z.AEF+Z.CED=90°,

???四邊形A8CO是正方形,

???乙4=乙。=90°,AD=CD,

???乙DCE+乙CED=90°,

???Z.AEF=Z.DCE?

10

???△AEF^h.DCE,

AEEFi

*t_______.

"DC~~CE~4’

設(shè)4E=%,則4。=CD=4x,

???DE=AD-AE=3x,

在Rt^CDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42,

解得：x=l，

AD=4x-=-.

55

故答案為：器

(1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和位似的性質(zhì)即可得出答案；

(3)由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫(huà)出圖形即可；

(4)證明△AEFfDCE,得出差=熊=%設(shè)4E=X,則AD=CD=4x,DE=AD-AE=3x,

在RtACDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

本題是幾何變換綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直

角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、位似的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合

性強(qiáng)，難度較大.

5.(2016年南京市中考真題)如圖,把函數(shù)y=x的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，

橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2x的圖象：也可以把函數(shù)y=x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來(lái)的：倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2%的圖象.

類似地，我們可以認(rèn)識(shí)其他函數(shù).

11

(1)把函數(shù)y=：的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

y的圖象；也可以把函數(shù)y=：的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)

不變，得到函數(shù)y=：的圖象.

(2)已知下列變化：①向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度；②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度；③向右平移

1個(gè)單位長(zhǎng)度；④縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，橫坐標(biāo)不變；⑤橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1倍，縱

坐標(biāo)不變；⑥橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變.

(I)函數(shù)y=/的圖象上所有的點(diǎn)經(jīng)過(guò)④-②一①，得到函數(shù)的圖象；

(11)為了得到函數(shù)丫=一；(％-1)2-2的圖象，可以把函數(shù)y=—/的圖象上所有的點(diǎn)

A.①7⑤T③B.①T⑥T③C.①T②T⑥D(zhuǎn).①T③T⑥

(3)函數(shù)y=:的圖象可以經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到函數(shù)y=-急的圖象？(寫(xiě)出一種即可)

【答案】(1)6,6；

(2)(I)y=40-1)2-2；(n)D;

/「、2x+l-2%-4+33t

()■'-2x+4-2x+4-2(x+2)'

.??函數(shù)y=(的圖象先將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的:倍，橫坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=5；再向左平移2個(gè)單

位，向下平移1個(gè)單位即可得到函數(shù)y=-驊的圖象.

【解析】解：(1)把函數(shù)y=(的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的6倍，橫坐標(biāo)不變，

設(shè)V=6y,x'=x,將、=?,x=x'帶入xy=1可得y'=?,得到函數(shù)、=:的圖象；

也可以把函數(shù)y=：的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的6倍，縱坐標(biāo)不變，

設(shè)y'=y,x'=6%,將曠=y',x=￡代入xy=1可得y'=：,得到函數(shù)y=：的圖象；

故答案為：(1)6,6；

(2)(I)函數(shù)y="的圖象上所有的點(diǎn)經(jīng)過(guò)“縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，橫坐標(biāo)不變”的變化

后，得到y(tǒng)=4x2的圖象；y=4"的圖象經(jīng)過(guò)“向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度”的變化后，得到y(tǒng)=

4(%-1產(chǎn)的圖象；y=4(x—1)2的圖象經(jīng)過(guò)“向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度”的變化后，得到y(tǒng)=

4(4一1)2—2的圖象.

12

(口)為了得到函數(shù)y=-J(x-l)2-2的圖象，可以把函數(shù)y=-/的圖象上所有的點(diǎn)先向

下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=-x2-2的圖象，再把y=-x2-2的圖象向右平移！個(gè)單位

長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=—(工一》2一2的圖象；最后把、=一(％-》2-2的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

2倍，得到)/=一^x—今2-2的圖象，即y=-；(%-1)2-2的圖象.

故答案為：(2)(I)y=4(X-1)2-2；(n)￡);

2x+l—2x-4+33v

()，/―-2X+4-2X+4-2(X+2)-，

.??函數(shù)y=:的圖象先將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的|倍，橫坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=~再向左平移2個(gè)單

位，向下平移1個(gè)單位即可得到函數(shù)y=-綁的圖象.

(1)根據(jù)閱讀材料中的規(guī)律即可求解；

(2)根據(jù)閱讀材料中的規(guī)律以及“左減右加，上加下減”的規(guī)律即可求解；

(3)首先把函數(shù)解析式變?yōu)閥=-2=子等=高-1,然后根據(jù)(2)的規(guī)律即可求解.

本題考查圖形的平移變換和函數(shù)解析式之間的關(guān)系.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖

形上某點(diǎn)的平移相同.平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下

移減.平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”.關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的

解析式有什么關(guān)系.

6.(2015年南京市斗「考真題)某企業(yè)生產(chǎn)并銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷(xiāo)售量與產(chǎn)量相等，如

圖中的折線A8。、線段C。分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本%(單位：元)、銷(xiāo)售價(jià)為(單

位：元)與產(chǎn)量式單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系.

(1)請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)。的橫坐標(biāo)、縱坐