2025版高考數(shù)學一輪復習高考大題規(guī)范解答系列二-三角函數(shù)學案新人教版

PAGE高考大題規(guī)范解答系列(二)——三角函數(shù)考點一三角函數(shù)的綜合問題例1已知向量a＝(eq\r(2)sin2x，eq\r(2)cos2x)，b＝(cosθ，sinθ)(|θ|<eq\f(π,2))，若f(x)＝a·b，且函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱．(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(A)＝eq\r(2)，且b＝5，c＝2eq\r(3)，求△ABC外接圓的面積．[分析](1)看到求f(x)的解析式，想到對a·b進行化簡；看到求f(x)的單調減區(qū)間，想到y(tǒng)＝sinx的單調減區(qū)間；(2)看到求△ABC外接圓的面積，想到求半徑r和正弦定理．[標準答案]——規(guī)范答題步步得分(1)f(x)＝a·b＝eq\r(2)sin2xcosθ＋eq\r(2)cos2xsinθ＝eq\r(2)sin(2x＋θ)， 2分eq\x(得分點①)∵函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱，∴2×eq\f(π,6)＋θ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴θ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又|θ|<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))). 4分eq\x(得分點②)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.∴f(x)的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z. 6分eq\x(得分點③)(2)∵f(A)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\r(2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝1.∵A∈(0，π)，∴2A＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\f(π,6). 8分eq\x(得分點④)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋12－2×5×2eq\r(3)coseq\f(π,6)＝7，∴a＝eq\r(7). 10分eq\x(得分點⑤)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝2R＝eq\f(\r(7),\f(1,2))＝2eq\r(7)，∴R＝eq\r(7)，∴△ABC外接圓的面積S＝πR2＝7π. 12分eq\x(得分點⑥)[評分細則]①正確化簡求出f(x)的解析式得2分．②正確利用三角函數(shù)的對稱軸求對θ的值，得2分．③正確利用y＝sinx的單調減區(qū)間，求出f(x)的減區(qū)間，得2分．④正確利用特別角的三角函數(shù)值求對角A，得2分．⑤正確利用余弦定理求對a的值，得2分．⑥正確利用正弦定理求對半徑r和圓的面積得2分．[名師點評]1．核心素養(yǎng)：三角函數(shù)問題是高考的必考問題，三角求值與求三角函數(shù)的最值、周期、單調區(qū)間是高考的常見題型；本題型重點考查敏捷運用三角公式進行三角變換的實力，以及“數(shù)學運算”素養(yǎng)的達成度．2．解題技巧：(1)要擅長抓解題關鍵點，解題步驟中明顯呈現(xiàn)得分點，如本題f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))必需求對．(2)要清楚呈現(xiàn)求角A的過程以及用正、余弦定理求出外接圓半徑r.〔變式訓練1〕(2024·石家莊模擬)已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(eq\r(3)cosx，cosx)，f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)＝a·b的最小正周期；(2)在△ABC中，BC＝eq\r(7)，sinB＝3sinC，若f(A)＝1，求△ABC的周長．[解析](1)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由題意可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又0<A<π，所以eq\f(π,6)<2A＋eq\f(π,6)<eq\f(13π,6)，所以2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，故A＝eq\f(π,3).設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則a2＝b2＋c2－2bccosA.所以a2＝b2＋c2－bc＝7，又sinB＝3sinC，所以b＝3c故7＝9c2＋c2－3c2，解得所以b＝3，△ABC的周長為4＋eq\r(7).考點二解三角形問題例2(2024·山東省青島市高三模擬檢測)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知bcosA＋eq\f(\r(3),3)a＝c.(1)求cosB；(2)如圖，D為△ABC外一點，若在平面四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，BC＝eq\r(6)，求AB的長．[分析](1)看到求cosB想到在三角形中利用邊化為三角函數(shù)求解．(2)看到求AB的長想到將AB置于三角形ABC中，利用余弦定理求解．[標準答案]——規(guī)范答題步步得分(1)在△ABC中，由正弦定理得sinBcosA＋eq\f(\r(3),3)sinA＝sinC， 2分eq\x(得分點①)又C＝π－(A＋B)，所以sinBcosA＋eq\f(\r(3),3)sinA＝sin(A＋B)，故sinBcosA＋eq\f(\r(3),3)sinA＝sinAcosB＋cosAsinB， 4分eq\x(得分點②)所以sinAcosB＝eq\f(\r(3),3)sinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，故cosB＝eq\f(\r(3),3). 6分eq\x(得分點③)(2)∵∠D＝2∠B，∴cosD＝2cos2B－1＝－eq\f(1,3)， 7分eq\x(得分點④)又在△ACD中，AD＝1，CD＝3，∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝1＋9－2×3×(－eq\f(1,3))＝12，∴AC＝2eq\r(3)， 9分eq\x(得分點⑤)在△ABC中，BC＝eq\r(6)，AC＝2eq\r(3)，cosB＝eq\f(\r(3),3)，∴由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即12＝AB2＋6－2·AB×eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)，解得AB＝3eq\r(2).故AB的長為3eq\r(2). 12分eq\x(得分點⑥)[評分細則]①正確利用正弦定理化邊為三角函數(shù)，得2分．②正確利用兩角和與差的正弦公式，得2分．③正確化角求對cosB，得2分．④正確利用倍角公式求對cosD，得1分．⑤正確利用余弦定理求對AC，得2分．⑥正確利用余弦定理求對AB，得2分．[名師點評]1．核心素養(yǎng)：解三角形問題是高考的必考問題，解三角形與三角函數(shù)的結合是高考的常見題型；本題型重點考查敏捷運用公式并通過“數(shù)學運算”解決問題的實力．2．解題技巧：要擅長抓解題關鍵點，解題步驟中明顯呈現(xiàn)得分點，如本題(1)中正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R；(2)中利用余弦定理分別在△ADC和△ABC中求出AC、AB.〔變式訓練2〕(2024·全國Ⅱ，17)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＋cosA＝eq\f(5,4).(1)求A；(2)若b－c＝eq\f(\r(3),3)a，證明：△ABC是直角三角形．[解析]本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系、正弦定理．(1)解：由已知得sin2A＋cosA＝eq\f(5,4)，即cos2A－cosA＋eq\f(1,4)＝0.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(1,2)))2＝0，cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)證明：由正弦定理及已知條件可得sinB－sinC＝eq\f(\r(3),3)sinA.由(1)知B＋C＝eq\f(2π,3)，所以sinB－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\v