人教版八年級數學上冊 第十三章 軸對稱知識歸納與題型突破（單元復習 10類題型清單）

第十三章軸對稱知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導圖0202知識速記一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.二、作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.三、等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.0303題型歸納題型一軸對稱圖形的識別例題：（23-24七年級下·山西臨汾·期末）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量，圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是四個省市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．鞏固訓練1．（23-24八年級上·天津·期末）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．2．（23-24八年級下·遼寧鞍山·開學考試）下列圖片是幾所名牌大學的?；?，其中是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．3．（22-23九年級下·四川內江·階段練習）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．C．

D．

題型二根據成軸對稱圖形的特征進行判斷例題：（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④鞏固訓練1．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，△ABC和關于直線l對稱，點P為直線l上一點，則下列說法中錯誤的是（）

A．B．l垂直平分C．D．2．（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，與關于直線對稱，P為上任一點（，P，不共線），下列結論中不正確的是（

）A．B．垂直平分線段C．與面積相等D．直線，的交點不一定在直線上3．（23-24七年級下·山西晉中·期末）如圖是一款運輸機的平面示意圖，它是一個軸對稱圖形，直線是其對稱軸．下列結論不正確的是（

）A． B．∠D=∠DC．平分 D．垂直平分題型三根據成軸對稱圖形的特征進行求解例題：如圖，和關于直線對稱，與的交點在直線上．(1)圖中點的對應點是點，的對應角是；(2)若，，則的長為；(3)若，，求的度數．鞏固訓練1．（23-24七年級上·山東東營·期末）如圖，與關于直線對稱，其中，，，．(1)線段與的關系是什么？(2)求的度數；(3)求的周長2．（23-24八年級上·新疆昌吉·期末）已知點在內．如圖1，點關于射線的對稱點是，點關于射線的對稱點是，連接OG、，．(1)若，求的度數(2)如圖2，若，當△PAB的周長最小值為6時，求的度數．3．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）已知點P在內．

(1)如圖①，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接①若，則是什么特殊三角形？為什么？②若，試判斷與的數量關系，并說明理由；(2)如圖②，若，A、B分別是射線OM、ON上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值．題型四利用線段的垂直平分線性質求解例題：（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，在中，邊的垂直平分線交邊于點，連接．(1)若，的周長為，求的長．(2)若，，求的度數．鞏固訓練1．（23-24八年級下·重慶·開學考試）如圖，中，的角平分線與的中垂線交于點，過點分別作所在直線的垂線，垂足分別為，若，則的長為．2．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，，垂足為，且，連接．(1)求證：；(2)若的周長為，，則的長為多少？3．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，中，的垂直平分線分別交于點的垂直平分線分別交于點，連接．

(1)若的周長為，求線段的長；(2)若，求的度數．題型五線段的垂直平分線的判定例題：如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．鞏固訓練1．如圖，為平分線上一點，于，于．

(1)求證：；(2)求證：垂直平分．2．如圖，是的角平分線，分別是和的高．(1)求證：垂直平分；(2)若的面積是4，則．題型六利用等腰三角形的定義求解例題：（23-24八年級上·河南商丘·階段練習）等腰三角形的一個角是，則它的頂角是．鞏固訓練1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．2．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）（1）等腰三角形的兩邊長分別為、，其周長為；（2）若等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為．3．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，，平分，如果射線上的點滿足是等腰三角形，的度數為．4．（23-24八年級上·安徽合肥·單元測試）在中，．(1)求長度的取值范圍；(2)若的周長為偶數，求的周長，并判斷此時的形狀．題型七根據等腰三角形中三線合一求解例題：如圖，中，，于點D，，若，則的度數為_____．鞏固訓練1．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分，點E在邊上，且．若，則的大小為．2．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知，點M，N在邊上，．若，則的長為．3．（23-24八年級上·四川瀘州·開學考試）如圖，在等邊△ABC中，，是延長線上一點，且，是上一點，且，則的長為．題型八含30°角的直角三角形例題：（23-24八年級下·遼寧盤錦·開學考試）如圖，在中，，點D在線段上，且，，，則的長度為．鞏固訓練1．（23-24八年級下·青海西寧·開學考試）如圖，在中，垂直平分，分別交于點，平分，則的長為．2．（23-24九年級下·青海西寧·開學考試）如圖，平分，，，于點，，則．3．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，，點P是上一點，點Q與點P關于對稱，于點M，若，則的長為．4．（23-24八年級上·浙江杭州·開學考試）如圖，等邊三角形中，D、E分別為邊上的兩動點，與交于點F，于點G，若，則．題型九等腰三角形的性質與判定例題：如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數．鞏固訓練1．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數．2．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接、．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數．3．（23-24七年級下·山東東營·開學考試）如圖，在中，，點D，E，F分別在邊上，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求證：；(3)當時，求的度數．4．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當∠BAD＝20°時，∠EDC＝°；(2)當∠BAD＝____°時，△ABD≌△DCE？請說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數；若不能，請說明理由．題型十等邊三角形的性質與判定例題：如圖，是上一點，點，分別在兩側，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．鞏固訓練1．（23-24八年級上·福建龍巖·階段練習）如圖，在中，，為的中點，于點，于點，且，連接，點在的延長線上，且．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長．2．（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，已知點、、在同一條直線上，和都是等邊三角形．交于，AD交CE于．(1)求證：；(2)求證：；(3)判斷的形狀并說明理由．3．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）如圖，在中，，，于，點是線段上一點，點是延長線上一點，且．(1)證明：是等邊三角形；(2)請寫出線段、、之間的數量關系，并說明理由．4．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，中，，點在邊上，，點在延長線上，連結，點在上，交于點，，．(1)求證：；(2)求證：為等邊三角形；(3)當，時，求的長．

第十三章軸對稱知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導圖0202知識速記一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.二、作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.三、等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.0303題型歸納題型一軸對稱圖形的識別例題：（23-24七年級下·山西臨汾·期末）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量，圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是四個省市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】C【知識點】軸對稱圖形的識別【分析】本題考查軸對稱圖形識別．如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．根據定義逐項判斷即可．【詳解】解：A，文字上方的圖案不是軸對稱圖形，不合題意；B，文字上方的圖案不是軸對稱圖形，不合題意；C，文字上方的圖案是軸對稱圖形，符合題意；D，文字上方的圖案不是軸對稱圖形，不合題意；故選C．鞏固訓練1．（23-24八年級上·天津·期末）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知識點】軸對稱圖形的識別【分析】此題考查了軸對稱圖形的識別，根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C2．（23-24八年級下·遼寧鞍山·開學考試）下列圖片是幾所名牌大學的?；眨渲惺禽S對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知識點】軸對稱圖形的識別【分析】本題考查了軸對稱圖形的知識，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解題的關鍵．【詳解】解：A、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，故不符合題意；C、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，故符合題意；D、沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，故不符合題意；故選：C．3．（22-23九年級下·四川內江·階段練習）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．C．

D．

【答案】C【知識點】軸對稱圖形的識別【分析】本題主要考查軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．根據軸對稱圖形的概念，即在平面內，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是這個軸對稱圖形的對稱軸，據此即可解答．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不符合題意；B．是軸對稱圖形，不符合題意；C．不是軸對稱圖形，符合題意；D．是軸對稱圖形，不符合題意；故選：C題型二根據成軸對稱圖形的特征進行判斷例題：（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，與關于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本題考查的是軸對稱的性質，熟知如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線是解題的關鍵．根據軸對稱的性質對各結論進行逐一分析即可．【詳解】解：和關于直線對稱，∴，故①正確，和關于直線對稱，點D與點關于直線對稱的對稱點，∴，故②正確；和關于直線對稱，線段、、被直線垂直平分，直線垂直平分，故③正確；和關于直線對稱，線段、所在直線的交點一定在直線上，故④錯誤，∴正確的有①②③，故選：A．鞏固訓練1．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，△ABC和關于直線l對稱，點P為直線l上一點，則下列說法中錯誤的是（）

A．B．l垂直平分C．D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱的性質．熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．根據軸對稱的性質對各選項進行判斷作答即可．【詳解】解：由軸對稱的性質可知，，l垂直平分，，，∴A、B、C正確，故不符合要求；D錯誤，故符合要求；故選：D．2．（2024七年級下·全國·專題練習）如圖，與關于直線對稱，P為上任一點（，P，不共線），下列結論中不正確的是（

）A．B．垂直平分線段C．與面積相等D．直線，的交點不一定在直線上【答案】D【分析】本題考查軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質：軸對稱圖形的對應角相等，對應邊相等，軸對稱的三角形全等由此面積相等是解題的關鍵．【詳解】解：與關于直線對稱，為上任意一點，∴MN垂直平分，∴，△ABC與面積相等，故A，B，C選項不符合題意；直線，關于直線對稱，因此交點一定在上，故D選項符合題意．故選：D．3．（23-24七年級下·山西晉中·期末）如圖是一款運輸機的平面示意圖，它是一個軸對稱圖形，直線是其對稱軸．下列結論不正確的是（

）A． B．∠D=∠DC．平分 D．垂直平分【答案】D【分析】本題考查軸對稱的性質，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；②如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或對應線段的延長線相交，那么交點在對稱軸上．據此分析即可．【詳解】解：如圖是一個軸對稱圖形，直線是其對稱軸，A．∵與是一組對應邊，∴，故此選項不符合題意；B．∵與是一組對應角，∴∠D=∠DC．∵與是一組對應角，∴平分，故此選項不符合題意；D．∵直線是對稱軸，∴垂直平分，故此選項符合題意．故選：D．題型三根據成軸對稱圖形的特征進行求解例題：如圖，和關于直線對稱，與的交點在直線上．(1)圖中點的對應點是點，的對應角是；(2)若，，則的長為；(3)若，，求的度數．【答案】(1)E，(2)3(3)【分析】本題主要考查了軸對稱，成軸對稱的兩個圖形的全等性：（1）觀察圖形可直接得出答案；（2）根據成軸對稱的兩個圖形的全等性可得，根據全等三角形對應邊相等即可求解；（3）根據，，推出，根據對稱性得到，推出．【詳解】（1）解：∵和關于直線對稱，∴圖中點C的對應點是點E，的對應角是；故答案為：E，．（2）解：∵和關于直線對稱，∴，∴，∵，∴．故答案為：3．（3）解：∵，，∴，根據對稱性知，，∴．鞏固訓練1．（23-24七年級上·山東東營·期末）如圖，與關于直線對稱，其中，，，．(1)線段與的關系是什么？(2)求的度數；(3)求的周長【答案】(1)垂直平分(2)(3)24【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質，掌握關于某條直線對稱的兩個圖形全等是解題的關鍵．（1）利用關于某條直線對稱的兩個圖形的對稱點的連線被對稱軸垂直平分，得出答案即可；（2）利用關于某條直線對稱的三角形全等可以得到對應角相等，得出答案即可；（3）利用關于某條直線對稱的三角形全等，對應邊相等，計算的周長即可．【詳解】（1）解：∵與關于直線對稱，∴垂直平分；（2）解：∵與關于直線對稱，∴△ABC≌△DEF，∴；（3）解：∵與關于直線對稱，∴△ABC≌△DEF，∵，∴，∴的周長．2．（23-24八年級上·新疆昌吉·期末）已知點在內．如圖1，點關于射線的對稱點是，點關于射線的對稱點是，連接OG、，．(1)若，求的度數(2)如圖2，若，當△PAB的周長最小值為6時，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了軸對稱的性質：（1）利用軸對稱的性質得，，進而可求解；（2）作點關于對稱點，作點關于對稱點，連接，，，，根據軸對稱的性質得，，，，，，則△PAB的周長為，當共線時，△PAB的周長有最小值，進而可得，進而可得，進而可求解；熟練掌握軸對稱的性質及準確找到△PAB的周長的最小值時的位置是解題的關鍵．【詳解】（1）解：點關于射線的對稱點是，，點關于射線的對稱點是，，，．（2）作點關于對稱點，作點關于對稱點，連接，，，，如圖：根據軸對稱的性質得：，，，，，，△PAB的周長為，當共線時，△PAB的周長有最小值，，△PAB的周長最小值為6，，為等邊三角形，，．3．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）已知點P在內．

(1)如圖①，點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H，連接①若，則是什么特殊三角形？為什么？②若，試判斷與的數量關系，并說明理由；(2)如圖②，若，A、B分別是射線OM、ON上的點，于點B，點P、Q分別為上的兩個定點，且，，在上有一動點E，試求的最小值．【答案】(1)①是等邊三角形，理由見解析；②，理由見解析(2)的最小值為5．【分析】（1）①由軸對稱的性質可得，，．根據“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得出是等邊三角形；②當時，，G、O、H在同一直線上，由此可得與的數量關系；（2）過Q作的對稱點Q′，連接，交于點E，連接，則的最小值為，由已知條件可得，易得，，由此可得是等邊三角形，即可得的長，即的最小值．【詳解】（1）解：①是等邊三角形，∵點P關于對稱的點為G，∴，，同理，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形．②，當時，，∴G、O、H在同一直線上，．∵，∴；（2）解：過Q作的對稱點Q′，連接，交于點E，連接，

∴最小值為．∵，，∴．∵，，∴，∴，∴．∵點Q與Q′關于對稱，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，即的最小值為5．【點睛】本題主要考查了軸對稱--最短路線問題，軸對稱的性質和等邊三角形的判定和性質．熟練掌握軸對稱的性質及等邊三角形的判定和性質，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關鍵．題型四利用線段的垂直平分線性質求解例題：（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，在中，邊的垂直平分線交邊于點，連接．(1)若，的周長為，求的長．(2)若，，求的度數．【答案】(1)；(2)．【知識點】三角形內角和定理的應用、線段垂直平分線的性質【分析】本題考查垂直平分線和三角形內角和等知識點．（1）根據垂直平分線的性質，則，，再根據的周長為，則，即可；（2）根據題意，對頂角相等，則，根據垂直平分線的性質，則，根據三角形的內角和，求出的角度，再根據三角形的內角和，求出，即可．【詳解】（1）解：∵垂直平分，∴，，∵，∴，，∵的周長為，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．鞏固訓練1．（23-24八年級下·重慶·開學考試）如圖，中，的角平分線與的中垂線交于點，過點分別作所在直線的垂線，垂足分別為，若，則的長為．【答案】【知識點】角平分線性質定理及證明、全等的性質和HL綜合（HL）、線段垂直平分線的性質【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質．根據題意，連接，由垂直平分得到平分，，則，即可證明，則，即可得到的長．，通過等邊代換計算即可．【詳解】連接，如圖：∵垂直平分，∴又∵平分，，∴，∴，∴，，故答案為：2．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，，垂足為，且，連接．(1)求證：；(2)若的周長為，，則的長為多少？【答案】(1)見解析；(2)．【知識點】線段垂直平分線的性質【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題關鍵．（1）根據線段垂直平分線的性質得到，，等量代換證明結論；（2）根據三角形的周長公式得到，根據，計算，得到答案．【詳解】（1）證明：垂直平分，，，，，；（2）解：的周長為，，，，，，，．3．（2024八年級上·浙江·專題練習）如圖，中，的垂直平分線分別交于點的垂直平分線分別交于點，連接．

(1)若的周長為，求線段的長；(2)若，求的度數．【答案】(1)(2)【知識點】三角形內角和定理的應用、線段垂直平分線的性質【分析】本題主要考查垂直平分線的性質，三角形內角和定理的運用，圖形結合分析，掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．（1）根據垂直平分線的性質可得，再根據的周長為，即可求解；（2）根據三角形內角和定理可得，由（1）可得，再根據即可求解．【詳解】（1）解：∵垂直平分垂直平分，∴，∵的周長為，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．題型五線段的垂直平分線的判定例題：如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）連接、，通過證明，得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵點P為的平分線上一點∴∵，∴在和中∴∴（2）證明：連接、，如下圖：由（1）可得：又∵，∴∴∴點P在的垂直平分線上【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質．鞏固訓練1．如圖，為平分線上一點，于，于．

(1)求證：；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據角平分線的性質得到，進而利用證明，即可證明；（2）根據，即可證明結論．【詳解】（1）證明：∵為平分線上一點，，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∴垂直平分．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的判定，全等三角形的性質與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．2．如圖，是的角平分線，分別是和的高．(1)求證：垂直平分；(2)若的面積是4，則．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由角平分線的性質得，再由，得，從而證明結論；（2）根據三角形的面積公式，代入計算即可．【詳解】（1）∵是的角平分線，分別是和的高，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴垂直平分；（2）∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．題型六利用等腰三角形的定義求解例題：（23-24八年級上·河南商丘·階段練習）等腰三角形的一個角是，則它的頂角是．【答案】或【知識點】三角形內角和定理的應用、等邊對等角【分析】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．分兩種情況討論：①當角為頂角；②當為底角，根據三角形內角和定理求解即可．【詳解】解：①當角為頂角時，頂角度數為；②當為底角時，頂角：，故答案為：或．鞏固訓練1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別為6和2，則第三邊長為．【答案】6【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系，熟練掌握分類討論思想是解題的關鍵．分兩種情況討論：當6為一腰長時；當2為一腰長時；分別求出第三條邊長，并根據三角形三邊關系判斷是否能構成三角形，即可得出答案．【詳解】解：當6為一腰長時，則另一腰長為6，底邊長為2，，能構成三角形，第三邊長為6；當2為一腰長時，則另一腰長為2，底邊長為6，，不能構成三角形，舍去；綜上，第三邊長為6，故答案為：6．2．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）（1）等腰三角形的兩邊長分別為、，其周長為；（2）若等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為．【答案】3213或14【知識點】構成三角形的條件、等腰三角形的定義【分析】本題考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．（1）根據等腰三角形的性質，分兩種情況：①當腰長為時，②當腰長為時，解答出即可．（2）根據等腰三角形的性質，分為當腰長為時，腰長為時，解答出即可．【詳解】解：（1）由題意知，應分兩種情況：當腰長為時，三角形三邊長為，不能構成三角形；當腰長為時，三角形三邊長為6，13，13，能構成三角形，周長．故答案為：32．（2）∵三角形是等腰三角形，兩條邊長分別為和，∴三角形三邊可以是、或、，∴三角形的周長為或，故答案為：13或14．3．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，，平分，如果射線上的點滿足是等腰三角形，的度數為．【答案】或或【知識點】與角平分線有關的三角形內角和問題、等腰三角形的定義【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用，用了分類討論思想．求出，根據等腰得出三種情況，，，，根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可．【詳解】解：如圖，∵，平分，∴，①當E在時，，∵，∴，；②當E在點時，，則；③當E在時，，則；故答案為：或或．4．（23-24八年級上·安徽合肥·單元測試）在中，．(1)求長度的取值范圍；(2)若的周長為偶數，求的周長，并判斷此時的形狀．【答案】(1)(2)的周長為16，是等腰三角形【知識點】確定第三邊的取值范圍、等腰三角形的定義【分析】本題考查三角形的三邊關系，三角形的分類：（1）根據三角形的三邊關系進行求解即可；（2）根據（1）中的范圍，結合的周長為偶數，得到，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵在中，∴，∴；（2）∵的周長為偶數，為奇數，∴的長為奇數，∵，∴，∴的周長為，是等腰三角形．題型七根據等腰三角形中三線合一求解例題：如圖，中，，于點D，，若，則的度數為_____．【答案】【解析】【分析】如圖（見詳解），根據等腰三角形的三線合一性質，過點A作于點E，可證，即可求出的度數．【詳解】解：如圖，過點A作于點E，∵AB=AC，∴E是BC的中點，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關鍵．鞏固訓練1．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分，點E在邊上，且．若，則的大小為．【答案】/20度【分析】本題主要考查了等腰三角形的等邊對等角的性質，三線合一的性質，以及三角形內角和問題，由等腰三角形的性質和三角形三角和定理分別求出，，由等腰三角形三線合一的性質得出，再根據角的和差關系即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴．∵，∴．∵，平分，∴，∴，∴．故答案為：2．（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知，點M，N在邊上，．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查的知識點是等腰三角形的性質及含30度角的直角三角形，解題的關鍵是熟練的掌握等腰三角形的性質及含30度角的直角三角形．首先過點P作于點D，利用直角三角形中所對邊等于斜邊的一半得出的長，再利用等腰三角形的性質求出的長．【詳解】如圖，過點P作于點D，∵，∴．∵，∴．∵，，，∴，∴．3．（23-24八年級上·四川瀘州·開學考試）如圖，在等邊△ABC中，，是延長線上一點，且，是上一點，且，則的長為．【答案】3【分析】過點作于，先根據含的直角三角形的性質求出，再根據等腰三角形的三線合一性質求出，即可得出．本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質以及含的直角三角形的性質等知識；熟練掌握等邊三角形的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于；如圖所示：則，是等邊三角形，，，，，，，，，，；故答案為：3．題型八含30°角的直角三角形例題：（23-24八年級下·遼寧盤錦·開學考試）如圖，在中，，點D在線段上，且，，，則的長度為．【答案】9【知識點】根據等角對等邊求邊長、含30度角的直角三角形【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，含角直角三角形的性質，等腰三角形的判定，根據三角形外角的性質可得，從而得到，再求出，然后根據直角三角形的性質可得，進而求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴．故答案為：9．鞏固訓練1．（23-24八年級下·青海西寧·開學考試）如圖，在中，垂直平分，分別交于點，平分，則的長為．【答案】6【知識點】線段垂直平分線的性質、含30度角的直角三角形、角平分線的性質定理、等邊對等角【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，含的直角三角形的性質，先線段垂直平分線的性質得出，利用等邊對等角得出，利用角平分線的定義得出，利用三角形內角和定理求出，利用角平分線的性質得出，利用含的直角三角形的性質求出，進而即可求解．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴∴，故答案為：6．2．（23-24九年級下·青海西寧·開學考試）如圖，平分，，，于點，，則．【答案】【知識點】含30度角的直角三角形、角平分線的性質定理【分析】本題主要考查角平分線的性質及含的直角三角形的性質，能夠熟練運用性質是解題關鍵．過作于，根據角平分線的性質可得，根據平行線的性質可得，由直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得，即可求得．【詳解】解：如圖，過作于，∵，，，∴（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），∵，∴，∵，∴，∴在中，（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），∴，故答案是：．3．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，，點P是上一點，點Q與點P關于對稱，于點M，若，則的長為．【答案】3【知識點】含30度角的直角三角形、根據成軸對稱圖形的特征進行求解【分析】本題考查軸對稱的性質，直角三角形30度角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題．如圖，連接．構造特殊直角三角形解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵點Q與點P關于對稱，，，，，，故答案為：3．4．（23-24八年級上·浙江杭州·開學考試）如圖，等邊三角形中，D、E分別為邊上的兩動點，與交于點F，于點G，若，則．【答案】/0.5【知識點】等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定義及性質、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，證得是解答的關鍵．先根據題意推出，可知，因此，所以，即可推出結論．【詳解】解：∵等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．題型九等腰三角形的性質與判定例題：如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數．【答案】(1)見解析；(2)25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，則∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根據ASA可證明△ABD≌△ECB，可得結論；（2）由（1）知BD＝BC，根據等邊對等角可求得∠BDC的度數，再根據外角的性質求得∠DCE的度數．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；(2)解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【點睛】此題主要考查了三角形全等的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形外角的性質，證明△ABD≌△ECB是解題的關鍵．鞏固訓練1．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數．【答案】(1)見解析(2)∠ACB的度數為22.5°【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根據AAS證明△ABC≌△DEC，即可證明結論；（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根據AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，從而得出答案．(1)證明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；(2)解：由（1）知，AC＝CD，∵∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ACB的度數為22.5°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，證明△ABC≌△DEC是解題的關鍵．2．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，點為的中點，邊的垂直平分線交，，于點，，，連接、．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)15°【知識點】三角形的外角的定義及性質、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和判定【分析】本題主要考查等腰三角形的判定及性質、線段垂直平分線的性質、三角形的外角的性質，牢記等腰三角形的性質（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合）是解題的關鍵．（1）根據線段垂直平分線的性質，先求得，根據等腰三角形三線合一的性質，可求得．（2）根據等腰三角形三線合一的性質，可求得，根據三角形內角和定理可求得的度數，結合即可求得答案．【詳解】（1）證明：為線段的垂直平分線，．，點為的中點，為線段的垂直平分線．．．為等腰三角形．（2）解：，點為的中點，為的平分線．．．．為等腰三角形，．．3．（23-24七年級下·山東東營·開學考試）如圖，在中，，點D，E，F分別在邊上，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求證：；(3)當時，求的度數．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質和判定、等邊對等角【分析】本題主要考查的是全等三角形的性質和判定，等腰三角形的判定與性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵．（1）首先根據條件證明，根據全等三角形的性質可得，進而可得到是等腰三角形；（2）根據，可知，即可得出結論；（3）由（2）知，再根據等腰三角形的性質即可得出的度數．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）證明：∵，∴，∴；（3）解：由（2）知，∵，∴．4．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當∠BAD＝20°時，∠EDC＝°；(2)當∠BAD＝____°時，△ABD≌△DCE？請說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數；若不能，請說明理由．【答案】(1)20(2)15，理由見解析(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由見解析【解析】【分析】（1）先利用平角的意義求出∠CDE，再用三角形外角的性質求出∠AED，最后用三角形的內角和定理求出∠DAE；（2）利用三角形內角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性質及等量代換確定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，結合圖形利用全等三角形的判定即可證明；（3）先求出∠BAC＝80°，再分三種情況，利用等腰三角形的性質求出∠DAE，即可得出結論．(1)∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，∴∠ADC＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，故答案為：20；(2)解：∠BAD＝15°時，△ABD

≌△DCE，理由如下：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAE＝65°，又∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝∠DAE＝65°，∴AD＝DE，在△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝130°，∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠CAD＝DE，∴△ABD≌△DCE；(3)能，當∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，①當DA＝DE時，∵∠ADE＝50°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，②當EA＝ED時，∴∠DAC＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，③當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此時，點D與點B重合，不符合題意，綜上所述，當∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，平角的意