大學物理磁場習題

1大學物理習題討論、探索發(fā)現(xiàn)穩(wěn)恒電流的靜磁場磁場中的磁介質電磁場探索與發(fā)現(xiàn)

21.如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細導線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈覆蓋住半個球面，設線圈的總匝數(shù)為N，通過線圈的電流為I，求球心O處的磁感應強度。解：設單位弧長上電流線圈匝數(shù)為n，則沿弧長取dl，該圓電流在球心O處激發(fā)的磁場為

公式14.19作業(yè):14.8球心O處總的磁感強度B為

由圖可知：

得：

磁感強度B的方向由電流的流向根據(jù)右手定則確定。

32.（實驗中常用所謂的亥姆霍茲線圈在局部區(qū)域內(nèi)獲得一近似均勻的磁場，其裝置簡圖如圖所示，一對完全相同、彼此平行的線圈，它們的半徑均為R，通過的電流均為I，且兩線圈中電流的流向相同。）兩個共軸圓線圈，每個線圈中的電流強度都是I，半徑為R，兩個圓心間距離O1O2=R，試證：O1、O2中點O處附近為均勻磁場。xxO2IORO12aIR[證明]

一個半徑為R的環(huán)電流在離圓心為x的軸線上產(chǎn)生的磁感應強度大小為：

作業(yè):14.4公式14.19設兩線圈相距為2a，以O點為原點建立坐標，兩線圈在x點產(chǎn)生的場強分別為

方向相同，總場強為B=B1+B2．

設k=μ0IR2/2，則

4一個線圈產(chǎn)生的磁場的曲線是凸狀，兩邊各有一個拐點．兩個線圈的磁場疊加之后，如果它們相距太近，其曲線就是更高的凸狀；如果它們相距太遠，其曲線的中間部分就會下凹，與兩邊的峰之間各有一個拐點．當它們由遠而近到最適當?shù)奈恢脮r，兩個拐點就會在中間重合，這時的磁場最均勻，而拐點處的二階導數(shù)為零．公式14.195B對x求一階導數(shù)得

求二階導數(shù)得

在x=0處d2B/dx2=0，得R2=4a2，所以2a=R．

x=0處的場強為試證：O1、O2中點O處附近為均勻磁場。63.一長直載流導體，具有半徑為R的圓形橫截面，在其內(nèi)部有與導體相切，半徑為a的圓柱形長孔，其軸與導體軸平行，相距b=R–a，導體截有均勻分布的電流I．證明空孔內(nèi)的磁場為均勻場并求出磁感應強度B的值.證：導體中的電流垂直紙面向外，電流密度為長孔中沒有電流，可以當作通有相反電流的導體，兩個電流密度的大小都為δ，這樣，長孔中磁場是兩個均勻分布的圓形電流產(chǎn)生的．baRO1O2如果在圓形截面中過任意點P取一個半徑為r的同心圓，其面積為

S=

r2，包圍的電流為ΣI=

S=

r2

，根據(jù)環(huán)路定理可得方程2

rBr=

0ΣI，磁感應強度為方向與矢徑r垂直．

同理，密度為-

的電流在P點產(chǎn)生的磁感應強度為

方向與矢徑r′垂直．rPBr作業(yè):14.18baRO1O27設兩個磁感應強度之間的夾角為

，則合場強的平方為根據(jù)余弦定理，如圖可知：由于

=

,所以

由于b和

都是常量，可見：長孔中是均勻磁場．

baRO1O2BrrP

84.如圖所示，在磁感應強度B=7.610-4T

的均勻磁場中，放置一個線圈。此線圈由兩個半徑均為3.7cm且相互垂直的半圓構成，磁感應強度的方向與兩半圓平面的夾角分別為620和280。若在4.510-3S

的時間內(nèi)磁場突然減至零，試問在此線圈內(nèi)的感應電動勢為多少？

解：由各種原因在回路中所引起的感應電動勢，均可由法拉第電磁感應定律求解，即但在求解時應注意下列幾個問題：

1．回路必須是閉合的，所求得的電動勢為回路的總電動勢。

2．

應該是回路在任意時刻或任意位置處的磁通量。它由

計算。對于均勻磁場則有其中

為閉會回路在垂直于磁場的平面內(nèi)的投影面積。9對于本題，

1和

2為兩半圓形平面法線與B之間的夾角。

3．感應電動勢的方向可由-d/dt來判定，教材中已給出判定方法。為方便起見，所取回路的正向（順時針或逆時針）應與穿過回路的B的方向滿足右螺旋關系，此時恒為正值，這對符號確定較為有利。

迎著B的方向，取逆時針為線圈回路的正向。由法拉第電磁感應定律，有

，說明感應電動勢方向與回路正向一致。

105.如圖所示，真空中一長直導線通有電流I(t)=I0e

t

，式中為t時間，I0

、

為正常量；另一長為l1、寬為l2的矩形導線框與長直導線平行共面。設時刻t二者相距為a，矩形框正以速率v

向右運動，求此時刻線框內(nèi)的感應電動勢。解:取線框面積的正法向垂直紙面向里，則通過線框的磁通量(由長直電流所提供)為其中a也是隨時間變化的，而且da/dt

=

v，有參考：習題16.1011由法拉第電磁感應定律得顯然，它是大于零的，表明感應電動勢在線框內(nèi)取順時針方向，可以通過楞次定律進行驗證。通常用法拉第電磁感應定律來計算閉合路徑中的感應電動勢，得出的是整個回路的總感應電動勢，它可能是動生與感生電動勢的總和。在中固定a，僅對t求導數(shù)得感生電動勢126.長直導線與矩形單匝線圈共面放置，導線與線圈的長邊平行，矩形線圈的邊長分別為a、b，它到直導線的距離為c（如圖），當矩形線圈中通有電流

I=I0sin

t

時，求直導線中的感應電動勢。

解:如果在直導線中通以電流I，在距離為r處產(chǎn)生的磁感應強度為B=

0I/2

r．在矩形線圈中取一面積元dS=bdr，通過線圈的磁通量為互感系數(shù)為

當線圈中通以交變電流I=I0sin

t時，直導線中的感應電動勢大小為

M12=M21=MIbcaM=？參考：習題16.17137.如圖所示，把一半徑為R的半圓形導線OP置于磁感應強度為B的均勻磁場中，當導線以速率v

水平向右平動時，求導線中感應電動勢的大小，哪一端電勢較高？

解1：如圖所示，假想半圓形導線OP在寬為2R的靜止在“[

”形導軌上滑動，兩者之間形成一個閉合回路。設順時針方向為回路正向，任一時刻端點O或端點P距“[”形導軌左側距離為x，

穿過該閉合回路的磁通量：由于靜止的“[”形導軌上的電動勢為零，則導線中感應電動勢負號表示電動勢的方向為逆時針，對OP段來說瑞點P的電勢較高。14解2：建立如圖所示的坐標系，在導體上任意處取導體元dl，則由矢量的指向可知，端點P的電勢較高。

解3：連接OP使導線構成一個閉合回路。由于磁場是均勻的，在任意時刻，穿過回路的磁通量

ld由法拉第電磁感應定律

可知:由上述結果可知，在均勻磁場中，任意閉合導體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；任意曲線形導體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導體上的動生電動勢。Up>U0158.如圖所示，一長為l，質量為m的導體棒CD，其電阻為R，沿兩條平行的導電軌道無摩擦地滑下，軌道的電阻可忽略不計，軌道與導體構成一閉合回路。軌道所在的平面與水平面成

角，整個裝置放在均勻磁場中，磁感應強度B的方向為豎直向上。求：（1）導體在下滑時速度隨時間的變化規(guī)律；（2）導體棒CD的最大速度vm。

參考：習題16.4分析：感應電流所受安培力的方向？如圖所示，導體棒在下滑過程中除受重力P和導軌支持力FN外，還受到一個與下滑速度有關的安培力FA

，這個力是阻礙導體棒下滑的。根據(jù)安培定律，該力的大小為

16導體棒沿軌道方向的動力學方程為將式(1)代入式(2)，并令則有分離變量并兩邊積分

得

由此得導體在t時刻的速度

17此即為導體棒下滑的穩(wěn)定速度，也是導體棒能夠達到的最大速度，其v－t圖線如圖所示。

1978年全國高考物理試題由上式可知，當由此得導體在t時刻的速度

中學:斜面方向合力為零,導體棒達到下滑的穩(wěn)定速度(最大速度).189.在半徑為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場，B的方向與柱的軸線平行。如圖所示，有一長為l的金屬棒放在磁場中，設B隨時間的變化率為常量。試證：棒上感應電動勢的大小為證1：取閉合回路

OPQ,由法拉第電磁感應定律，有OP、QO段，因為Ek（渦旋電場）的方向與徑向垂直，與矢量點積為0。所以：19證2：在r＜R

區(qū)域，感生電場強度的大小設PQ上線元dx處，Ek的方向如圖所示，則金屬桿PQ上的電動勢為20D[]繼續(xù)討論:在圓柱空間內(nèi)有一磁感應強度為B的均勻磁場，如圖所示。B的大小以速度dB/dt變化。在磁場中有A、B兩點，其間可放直導線AB

和彎曲的導線AB

，則電動勢只在導線AB

中產(chǎn)生。電動勢只在AB導線中產(chǎn)生。電動勢在AB和AB中都產(chǎn)生，且兩者的大小相等。

AB導線中的電動勢小于AB導線中的電動勢。連接AO與OB分別與AB、AB

組成閉合回路L。

包含AB的閉合回路L扇形面積S1包含AB的閉合回路L三角形面積S2

B/

t一致，且S1>S2AB導線中的電動勢小于AB

線中的電動勢。2110.兩個線圈的自感分別為L1和L2，它們之間的互感為M．(1)將兩個線圈順串聯(lián)，如圖a所示，求1和4之間的互感；(2)將兩線圈反串聯(lián)，如圖b所示，求1和3之間的自感．參考：習題16.191234(a)234(b)1解：兩個線圈串聯(lián)時，通以電流

I之后，總磁場等于兩個線圈分別產(chǎn)生的磁場的矢量和：（16.16）221234(a)234(b)1（1）當兩個線圈順串時，兩磁場的方向相同，

=

0，所以（16.19）自感系數(shù)為（2）當兩個線圈反串時，兩磁場的方向相反，

=

，所以自感系數(shù)為2311.電磁渦流制動器是一個電阻率為

，厚度為b的圓盤，此盤繞通過其中心的垂直軸旋轉，且有一覆蓋小面積為a2的均勻磁場B垂直于圓盤，小面積離軸r（r>>a）．當圓盤角速度為

時，試導出阻礙圓盤轉動的磁力矩的近似表達式。raaBωb解:將圓盤與磁場相對的部分當成長、寬和高分別為a、a和b的小導體，其橫截面積為

S=ab，aabSI電流將從橫截面中流過，小塊長a，因此其電阻為寬為a的邊掃過磁場，速度大小為v=r

，產(chǎn)生的動生電動勢為

=Bav

=Bar

，通過小導體的電流強度為I=

/R=Bar

b/

，所受的安培力為F=IaB=B2a2r

b/

，方向與速度方向相反．產(chǎn)生的磁力矩為參考：習題16.524PASCO磁懸浮實驗裝置二十世紀七十～九十年代間，由于磁懸浮技術應用于陸地高速運輸系統(tǒng)的可能性，在全球掀起了一股研究磁懸浮及相關技術的熱潮。八十年代末美國著名物理學教授ThomasD.Rossing得到美國國家自然科學基金的資助，研究非磁性金屬導軌熱膨脹縫寬度對高速運行的磁懸浮列車穩(wěn)定性的影響。以永磁體和運動非磁性導體模擬磁懸浮列車與導軌的相互作用，發(fā)明了一種實驗裝置對二者的相互作用力進行測量。探索與發(fā)現(xiàn)（湖南大學物電院版）25工作原理磁懸浮力和水平拽力可定性地由磁通穿透金屬的行為來理解。當非磁性導體在磁體下方運動得足夠快時，磁通不能穿透導體，磁通在磁體與運動導體間被壓縮而產(chǎn)生浮力，磁通不能穿過運動導體被導體拖拽并由此產(chǎn)生水平方向的拽力。PASCO磁懸浮實驗裝置26但當測力杠桿與半徑不重合時，前述的解釋與觀察到實驗現(xiàn)象矛盾。原因何在？圓盤轉動方向杠桿支點圓形永磁體向上的磁懸浮力，難道與相對運動速度的方向有關！？27實驗現(xiàn)象的解釋磁體磁場分布設鋁盤上方的磁體N朝下，由于磁通是閉合的，可將導體中的磁感應強度分解為水平分量和垂直分量。如下圖所示：磁體對稱軸兩側的磁場垂直分量相同，水平分量方向相反。磁體永磁體非磁性運動導體導體中感應電流的分布為了簡化起見，假設是一個長方形的永磁體下方有一無窮大的運動非磁性導體。在不考慮電流回路中電感的情況下，運動導體中產(chǎn)生的感應電流在磁場區(qū)域呈對稱分布。1.歐姆定律的微分形式

2.

電阻最小原理Matlab

數(shù)據(jù)計算與圖形處理28磁體導體運動方向在磁體磁場的分量Bv的作用下:感應電流在垂直方向磁場中受水平磁阻尼力感應電流垂直于運動方向向外永磁體受水平拖拽力磁體中心對稱軸在磁體磁場的分量Bh的作用下:磁體投影區(qū)域導體內(nèi)感應電流在左右兩半邊水平磁場中受力方向不同,如圖所示.29磁體導體運動方向在磁體磁場的分量Bv的作用下:感應電流在垂直方向磁場中受水平磁阻尼力感應電流垂直于運動方向向里永磁體受水平拖拽力磁體中心對稱軸在磁體磁場的分量Bh的作用下:磁體投影區(qū)域導體內(nèi)感應電流在左右兩半邊水平磁場中受力方向不同,如圖所示.30導體運動方向永磁體受水平拖拽力導體運動方向永磁體受水平拖拽力圓盤轉動方向杠桿支點圓形永磁體力臂L力臂L'圓盤轉動方向杠桿支點圓形永磁體力臂L力臂L'磁體(向上)懸浮磁體(向下)無懸浮31一種全新的非接觸驅動方式

若在磁體的中心對稱軸位置上安裝一轉動軸，磁體就可在運動導體的驅動下作旋轉運動。這是一種全