青海省2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

青海省2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（）A. B.C. D.2．已知定義在R上的函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則（）A.3 B.6C.3e D.與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)3．的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B.C. D.4．設(shè)，，，則下列正確的是（）A. B.C. D.5．如圖，點(diǎn)，，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角是（）A. B.C. D.6．設(shè)函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.7．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B.C. D.8．《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)，是中國古代乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.書中記載這樣一個(gè)問題“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”（一步=1.5米）意思是現(xiàn)有扇形田，弧長為45米，直徑為24米，那么扇形田的面積為A.135平方米 B.270平方米C.540平方米 D.1080平方米9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.B.f（x）的圖象關(guān)于直線對稱C.f（x）在[－，－]上單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象10．已知，則的最小值是（）A.2 B.C.4 D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．_____________12．給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)y＝2sin(2x－)的一條對稱軸是x＝；②函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱；③正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)；④存在實(shí)數(shù)α，使sinα＋cosα＝.以上四個(gè)命題中正確的有____(填寫正確命題前面的序號).13．已知實(shí)數(shù)滿足，則________14．已知扇形的半徑為2，面積為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為______.15．設(shè)，若存在使得關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解，則b的取值范圍是______16．已知函數(shù)，若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)（1）求，的值；（2）用定義證明在上為減函數(shù)；（3）若對于任意，不等式恒成立，求的范圍18．已知函數(shù)（其中）的圖象過點(diǎn)，且其相鄰兩條對稱軸之間的距離為，（1）求實(shí)數(shù)的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域19．如圖所示，一塊形狀為四棱柱的木料，分別為的中點(diǎn).（1）要經(jīng)過和將木料鋸開，在木料上底面內(nèi)應(yīng)怎樣畫線？請說明理由；（2）若底面是邊長為2菱形，，平面，且，求幾何體的體積.20．已知函數(shù).（1）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知且，，求證：方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根.21．甲地到乙地的距離大約為240，某汽車公司為測試一種新型號的汽車的耗油量與行駛速度的關(guān)系，進(jìn)行了多次實(shí)地測試，收集到了該車型的每小時(shí)耗油量Q（單位：）與速度v（單位：）（）的數(shù)據(jù)如下表：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為了描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①；②；③.（1）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，并說明理由；（2）從甲地到乙地，該型號的汽車應(yīng)以什么速度行駛才能使總耗油量最少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，根據(jù)，得到是等邊三角形，求得外接圓的半徑r，再根據(jù)直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半徑即可.【詳解】如圖所示：設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，因?yàn)?，所以，又，所以等邊三角形，所以，又直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，所以外接球的半徑為，所以直三棱柱的外接球的表面積是，故選：C2、B【解析】可證，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，故，故選：B3、C【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷即可【詳解】，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得，則的零點(diǎn)所在區(qū)間為故選C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存性定理，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】計(jì)算得到，，，得到答案.【詳解】，，.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性比較數(shù)值大小，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.5、C【解析】通過平移的方法作出直線和所成的角，并求得角的大小.【詳解】依題意點(diǎn)，，分別是正方體的棱，的中點(diǎn)，連接，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線和所成的角，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，是等邊三角形，所以，所以直線和所成的角為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間的端點(diǎn)值的乘積小于零可得答案.【詳解】函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，可得設(shè),則是的零點(diǎn)，由，，∴，∴所在的區(qū)間是(1,2).故選：B.7、A【解析】求出的范圍，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為的增區(qū)間，即可得到答案.【詳解】由可得或函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為的增區(qū)間故選：A8、B【解析】直接利用扇形面積計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)扇形的面積公式，計(jì)算扇形田的面積為Slr45270（平方米）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積，屬于簡單題.9、C【解析】先根據(jù)圖像求出即可判斷A，利用正弦函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可判斷BC，通過平移變換即可判斷D.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得所以，故A正確；利用五點(diǎn)法作圖，可得，可得，所以，令x，求得，為最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；把f（x）的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D正確故選：C.10、C【解析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算可得,,再由以及基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?所以,所以,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號成立.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算,基本不等式求最值,屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，需要注意，屬于基礎(chǔ)題12、①②【解析】對于①,將x＝代入得是對稱軸,命題正確;對于②,由正切函數(shù)的圖象可知,命題正確;對于③,正弦函數(shù)在上是增函數(shù)，但在第一象限不能說是增函數(shù)，所以③不正確；對于④,,最大值為,不正確;故填①②.13、4【解析】方程的根與方程的根可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，即可求出答案.【詳解】，，令，，此方程的解即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)為，如下圖所示；，此方程的解即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)為，如下圖所示，與互反函數(shù)，關(guān)于對稱，聯(lián)立方程，解得，即，.故答案為：4.14、【解析】由扇形的面積公式和弧度制的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】由扇形的面積公式可得，所以圓心角為.故答案為：15、【解析】作出f(x)的圖像，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.令，則，則該關(guān)于t的方程有兩個(gè)解、，設(shè)＜，則，.令，則，據(jù)此求出a的范圍，從而求出b的范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則f(x)圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，則，∵關(guān)于x的方程恰有六個(gè)解，∴關(guān)于t的方程有兩個(gè)解、，設(shè)＜，則，，令，則，∴且，要存a滿足條件，則，解得故答案為：16、【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍，再求出的表達(dá)式并其范圍作答.【詳解】因函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此有，解得，所以.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，利用且，列出關(guān)于、的方程組并解之得；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取實(shí)數(shù)、，通過作差因式分解可證出：當(dāng)時(shí)，，即得函數(shù)在上為減函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為：對任意的都成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得的取值范圍【詳解】解：（1）為上的奇函數(shù)，，可得又（1），解之得經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)且時(shí)，，滿足是奇函數(shù).（2）由（1）得，任取實(shí)數(shù)、，且則，可得，且，即，函數(shù)在上為減函數(shù)；（3）根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)是奇函數(shù)且在上為減函數(shù)不等式恒成立，即也就是：對任意的都成立變量分離，得對任意的都成立，，當(dāng)時(shí)有最小值為，即的范圍是【點(diǎn)睛】本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，研究了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，并且用之解關(guān)于的不等式，考查了基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題18、（1）m＝1；單調(diào)增區(qū)間；（2）[0，3]【解析】解：（1）由題意可知，，，所以所以，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)樗运?，所以，所以的值域?yàn)榭键c(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域點(diǎn)評：解本題的關(guān)鍵是由函數(shù)圖象上的點(diǎn)和函數(shù)的周期確定函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用角的范圍求出函數(shù)的值域19、(1)見解析(2)3【解析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)，兩個(gè)平行平面，被第三個(gè)平面所截，截得的交線互相平行，故得到就是應(yīng)畫的線；（2）幾何體是由三棱錐和四棱錐組成，分割成兩個(gè)棱錐求體積即可解析：（1）連接,則就是應(yīng)畫的線；事實(shí)上，連接,在四棱柱中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，所以平行四邊形,所以，又在四棱柱中，所以，所以點(diǎn)共面，又面，所以就是應(yīng)畫線.（2）幾何體是由三棱錐和四棱錐組成.因?yàn)榈酌媸沁呴L為的菱形，，平面，連接，即為三棱錐的高，又，所以，連接，為四棱錐的高,又，所以,所以幾何體的體積為.20、⑴見解析;⑵;⑶見解析.【解析】（1）利用判別式定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用判別式處理即可；（3）方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，即有零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可以證明.試題解析：⑴,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)⑵已知，則對于恒成立,即恒成立；所以,從而解得.⑶設(shè)，則,在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解21、（1）最符合實(shí)際的模型為①，理由見解析（2）從甲地到乙地，該型號的汽車以80的速度行駛時(shí)能使總耗油量最少【解析】（1）根據(jù)定義域和單調(diào)性來判斷；（2）根據(jù)行駛時(shí)間與單位