第六節(jié)利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系講義- 高三一輪復(fù)習(xí)

PAGE14-第六節(jié)利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱(chēng)此向量a為直線l的方向向量.注:①一條直線l有無(wú)窮多個(gè)方向向量(非零向量),這些方向向量之間互相平行.②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量.(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.【微點(diǎn)撥】(1)直線的方向向量不唯一,一般取直線上兩點(diǎn)構(gòu)成其一個(gè)方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用賦值法求出平面的一個(gè)法向量.2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λmα⊥βn⊥m?n·m=0【微點(diǎn)撥】利用法向量證明線面平行時(shí),直線的方向向量與平面的法向量垂直是線面平行的必要條件,應(yīng)注明直線在平面外.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A.若兩平面的法向量平行,則兩平面平行B.若兩直線的方向向量不平行,則兩直線不平行C.若a∥b,則a所在直線與b所在直線平行D.若空間向量a平行于平面α,則a所在直線與平面α平行【解析】選AB.易知AB正確;C中向量a和b所在的直線可能重合;D中a所在的直線可能在平面內(nèi).2.(選擇性必修一P30例3·變形式)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k).若α∥β,則k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2【解析】選C.因?yàn)棣痢桅?所以兩平面的法向量平行,所以-21=-42=k-3.(選擇性必修一P32例4·變形式)若直線l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),則有()A.l∥α B.l⊥αC.l與α斜交 D.l?α或l∥α【解析】選B.由a=-n知,n∥a,則有l(wèi)⊥α.4.(忽視線在平面內(nèi))若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=-2,1,1A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交【解析】選C.因?yàn)閍=1,0,2,所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α.【巧記結(jié)論·速算】1.若v是直線的方向向量,則λv(λ≠0)也是直線的方向向量;2.若向量n是平面的法向量,則μn(μ≠0)也是平面的法向量.【即時(shí)練】?jī)蓷l不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則l1與l2的位置關(guān)系是________.

【解析】因?yàn)関2=-2v1,所以v1∥v2.又l1與l2不重合,所以l1∥l2.答案:平行【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問(wèn)題角度1線面平行[例1]如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ∥平面BCD.【證明】如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD,OP所在射線分別為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0),則AC=(x0,y0-2,-2).因?yàn)锳Q=3QC,所以Q34因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),所以M(0,2,1).又因?yàn)镻為BM的中點(diǎn),故P0,所以PQ=34又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為a=(0,0,1),故PQ·a=0.又因?yàn)镻Q?平面BCD,所以PQ∥平面BCD.角度2面面平行[例2]如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn),證明平面EFG∥平面PBC.【證明】由題意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為正方形,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).因?yàn)镋F=(0,1,0),BC=(0,2,0),所以BC=2EF,所以BC∥EF.又因?yàn)镋F?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC,同理可證GF∥PC,從而得出GF∥平面PBC.又因?yàn)镋F∩GF=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.【解題技法】利用空間向量證明線面、面面平行的方法(1)證明線面平行的常用方法:①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個(gè)向量平行;③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明面面平行常用的方法:①利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都平行于另一個(gè)平面;②證明兩個(gè)平面的法向量平行;③證明一個(gè)平面的法向量也是另一個(gè)平面的法向量.提醒:運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系時(shí),仍然離不開(kāi)幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行時(shí),仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【證明】建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE(1)設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一個(gè)法向量,則n1⊥DAn得x1令z1=2,則y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因?yàn)镕C1·n1=-2+2=0,所以FC1又因?yàn)镕C1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.(2)因?yàn)镃1設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量,由n2⊥FC得x2=0z2=-2y2所以n2=(0,-1,2),因?yàn)閚1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問(wèn)題角度1線線、線面垂直[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.【證明】以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1),B(1,0,0).(1)因?yàn)椤螦BC=60°,所以△ABC為正三角形.所以C(12,32,0),E(14,34設(shè)D(0,y,0),由AC⊥CD,得AC·CD=0,即y=233,則D所以CD=-12,36,0.又因?yàn)锳E=(所以AE·CD=-12×14+36所以AE⊥CD,即AE⊥CD.(2)(方法一)由(1)知,D0,23所以PD=0,又因?yàn)锳E·PD=34×233所以PD⊥AE,即PD⊥AE.因?yàn)锳B=(1,0,0),所以PD·AB=0.所以PD⊥AB.又因?yàn)锳B∩AE=A,AB,AE?平面ABE,所以PD⊥平面ABE.(方法二)由(1)知,AB=(1,0,0),AE=(14,34,1設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則x=0令y=2,則z=-3,所以n=(0,2,-3)為平面ABE的一個(gè)法向量.因?yàn)镻D=0,233,-1,因?yàn)镻D∥n,所以PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.角度2面面垂直[例4]如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO⊥平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明:AP⊥BC;(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC⊥平面BMC.【證明】(1)如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線OD,OP為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),所以AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0).所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且點(diǎn)M在線段AP上,所以AM=35AP=(0,95,125)所以BM=BA+AM=-4則AP·BM=(0,3,4)·-4所以AP⊥BM,即AP⊥BM.由(1)知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,所以AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.【解題技法】利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線,或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)槠矫鍼BC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=3.所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3).所以BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).因?yàn)锽D·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,所以PA⊥BD,所以PA⊥BD.(2)取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則M12因?yàn)镈M=32,0,3所以DM·PB=32×1+0×0+32×(-所以DM⊥PB,即DM⊥PB.因?yàn)镈M·PA=32×1+0×(-2)+32×(-所以DM⊥PA,即DM⊥PA.又因?yàn)镻A∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.因?yàn)镈M?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.考點(diǎn)三與平行、垂直有關(guān)的綜合問(wèn)題[例5]如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.(1)若M是A1D的中點(diǎn),求直線CM與平面A1BE所成角的大小;(2)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說(shuō)明理由.【解析】(1)由折疊的性質(zhì)得CD⊥DE,A1D⊥DE.又因?yàn)镃D∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.又因?yàn)锳1C?平面A1CD,所以A1C⊥DE.又A1C⊥CD,CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE.建系如圖,則C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,23),E(-2,2,0),B(0,3,0),所以A1B=(0,3,-23),A1E設(shè)平面A1BE的法向量為n=(x,y,z),則A1B·n取z=3,則x=-1,y=2,所以n=(-1,2,3)為平面A1BE的一個(gè)法向量.又因?yàn)镸(-1,0,3),所以CM=(-1,0,3),所以cos<CM,n>=CM·n|CM||所以CM與平面A1BE所成角的大小為45°.(2)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P滿足條件,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a,0),a∈[0,3],所以A1P=(0,a,-23),DP=(2,a設(shè)平面A1DP的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則ay取y1=6,則x1=-3a,z1=3a,所以n1=(-3a,6,3a).若平面A1DP與平面A1BE垂直,則n1·n=0,所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.因?yàn)?≤a≤3,所以a=-2舍去.所以線段BC上不存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直.【解題技法】1.“是否存在”型問(wèn)題的兩種探索方式(1)根據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證.(2)利用空間向量,先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo),即找到“存在點(diǎn)”,若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出,或有矛盾,則判定“不存在”.2.解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的不變量.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說(shuō)明理由.【解析】(1)連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,則AC⊥BD.連接SO,由題意知SO⊥平面ABCD