清單04垂直平分線角平分線的性質(zhì)與判定（11種題型解讀（30題））

清單04垂直平分線、角平分線的性質(zhì)與判定（11種題型解讀（30題））【知識導(dǎo)圖】【知識清單】【考試題型1】利用角平分的性質(zhì)求線段長度1．（2023上·江蘇徐州·八年級徐州市第十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，若AC=12，AD=8，求點

【答案】4【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)定理，過點D作DE⊥AB于點E，得到DE=CD，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】過點D作DE⊥AB于點E，

∵∠C=90°，BD是∴DE=CD，∵AC=12，∴DE=CD=12-8=4，∴點D到AB的距離為4．2．（2023上·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直．(1)求∠BPC的度數(shù)．(2)若AD=8，求點P到BC的距離．【答案】(1)∠BPC=90°(2)PE=4【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC+∠DCB=180°，然后根據(jù)角平分線的定義得到∠CBP+∠BCP=1（2）過點P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE=PA=PD，然后計算解題即可．【詳解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，又∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，∴∠CBP=12∠ABC∴∠CBP+∠BCP=1∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-90°=90°；（2）解：過點P作PE⊥BC于E，∵PA⊥AB，∴∠BAD=90°，∵∵AB∥CD，∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∴PD⊥CD，∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．3．（2023上·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AB于E，點F在AC上，且DF=BD(1)求證：BE=CF；(2)若AF=8，BE=3，求AB的長．【答案】(1)證明見解析(2)14【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先由角平分線的性質(zhì)得出DC=DE，再由HL證Rt△DCF≌（2）先由HL證Rt△ADC≌Rt△ADE，得出AC=AE，結(jié)合（1）中CF=BE【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE，∠DEB=90°，在Rt△DCF和RtDF=BDDC=DE∴Rt∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADC與RtAD=ADDC=DE∴Rt∴AC=AE，∵AB=AE+BE，AC=AF+CF，由（1）知，CF=BE，∴AB=AC+BE=AF+BE+BE=AF+2BE，∵AF=8，BE=3，∴AB=8+2×3=14．【考試題型2】利用角平分的性質(zhì)求角度4．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，AE平分∠DAB．若∠DAB=75°，求∠ADE的度數(shù)．【答案】52.5°【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)及判定，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，反之，到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上．過點E作EF⊥AD交AD于點F，由角平分線的性質(zhì)可得EF=EB，再證明DE是∠CDA的角平分線，由題意可得∠CDA+∠BAD=180°，求得∠CDA=105°，即可求解．【詳解】解：如圖，過點E作EF⊥AD交AD于點F，∵AE平分∠DAB，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF=EB，∵E是BC的中點，∴CE=EB，∴EF=CE，∵EF⊥AD，EC⊥CD，且EF=CE∴DE是∠CDA的角平分線，∴∠EDA=∠EDC，∵∠B=∠C=90°，∴CD∥∴∠CDA+∠BAD=180°，∵∠DAB=75°，∴∠CDA=105°，∴∠ADE=15．（2023上·浙江湖州·八年級?？计谥校┤鐖D：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分線，且∠B=35°，∠C=65°．(1)求∠DAE的度數(shù)．(2)若AB=5，AC=3，試求△ABE與△AEC的面積之比．【答案】(1)15°(2)5:3【分析】此題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理，角的和差，角平分線的性質(zhì)；（1）求出∠BAC的度數(shù)；根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC的度數(shù)；求出∠DAC，即可求出答案．（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出△ABE與△AEC的面積之比等于AB:AC，即可求解．解題的關(guān)鍵是熟練運用角平分線的性質(zhì)解決問題．【詳解】（1）解：∵∠C=65°，∠B=35°，∴∠BAC=180°-35°-65°=80°，又∵AE為平分線，∴∠EAC=40°．∵AD⊥BC，∴∠DAC=90°-∠C=25°，∴∠DAE=40°-25°=15°；（2）如圖，作EF⊥AB，EG⊥AC，∵AE是∠BAC的平分線，∴EF=EG，∴△ABE與△AEC的面積之比為：12∵AB=5，AC=3，∴△ABE與△AEC的面積之比為：5:3．6．（2023上·甘肅武威·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．

(1)若∠B=40°，∠C=76°，求∠EDA的度數(shù)．(2)若AB=20,AC=16,DE=6，求△ABC的面積．【答案】(1)∠EDA的度數(shù)為58°(2)△ABC的面積為108【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，角的平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握直角三角形的特征和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）先利用內(nèi)角和定理計算∠BAC=64°，再利用角的平分線計算∠DAE=32°．最后利用直角三角形的特征計算即可．（2）過點D作DF⊥AC于點F，利用角的平分線的性質(zhì)定理，結(jié)合面積公式計算即可．【詳解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=76°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=64°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠DAE=1∵DE⊥AB，∴∠EDA=90°-∠DAE=58°．（2）解：過點D作DF⊥AC于點F，如圖，

∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=6，∵AB=20,AC=16,∴△ABC的面積為12【考試題型3】利用角平分的性質(zhì)求面積7．（2023上·安徽馬鞍山·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，BD是△ABC的角平分線，BE是△ABC的AC邊上的中線．(1)若△ABE的周長為26，BE=12,CE=8，求AB的長；(2)若∠A=90°,△ABD的面積為12，AB=6,BC=15，求△BCD的面積．【答案】(1)6(2)30【分析】本題考查三角形中線的定義和角平分線的性質(zhì)定理；（1）首先根據(jù)中線的性質(zhì)得到AE=CE=8，然后根據(jù)△ABE的周長為26，即可求出AB的長；（2）首先根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長度，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】（1）∵BE是△ABC的AC邊上的中線，CE=8，∴AE=CE=8．又∵△ABE的周長為26,BE=12，∴AB=26-12-8=6．（2）如圖，過點D作DF⊥BC于點F．∵BD是△ABC的角平分線，∠A=90°，∴AD=DF．又∵∠A=90°,△ABD的面積為12，AB=6，∴S∴AD=DF=4，∴S8．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谥校┤鐖D，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分(1)求證：OP平分∠AOB；(2)若MN=8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長度之和．【答案】(1)證明見解析(2)線段OM與ON的長度之和為20．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理及角平分線的判定，遇角平分線作垂線是解題關(guān)鍵．（1）過點P作PC⊥OA，垂足為C，過點P作PD⊥MN，垂足為D，過點P作PE⊥OB，垂足為E，根據(jù)MP平分∠AMN可得PC=PD，根據(jù)NP平分∠MNB可得PD=PE，據(jù)此即可求證；（2）根據(jù)△PMN的面積=12MN?PD可得PD=4，即PD=PC=PE=4；根據(jù)四邊形MONP的面積=△PMN的面積+△OMN的面積=△POM的面積+△PON【詳解】（1）證明：過點P作PC⊥OA，垂足為C，過點P作PD⊥MN，垂足為D，過點P作PE⊥OB，垂足為E，

∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，∴PC=PD，∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，∴PD=PE，∴PC=PE，∴OP平分∠AOB；（2）解：∵MN=8，△PMN的面積分別是16，∴12MN?PD=16∴PD=4，∴PD=PC=PE=4，∵△OMN的面積是24，∴四邊形MONP的面積=△PMN的面積+△OMN的面積=16+24=40，∴△POM的面積+△PON的面積=40，∴12OM?PC+12∴OM+ON=20，∴線段OM與ON的長度之和為20．9．（2022上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分

(1)若∠ADB=48°，求∠A的度數(shù)；(2)若AB=5cm，△ABC與△ABD的周長之差為8cm，且△ADB的面積為10cm【答案】(1)108°(2)16【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)易求出∠DBC=∠C=24°，再根據(jù)角平分線的定義即得出∠ABD=∠DBC=24°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合△ABC與△ABD的周長之差為8cm，即可求出BC=8cm．過點D作DH⊥AB于H．由△ADB的面積為10cm2，AB=5cm，可求出DH=4【詳解】（1）解：∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠DBC=∠C．∵∠ADB=∠DBC+∠C=48°，∴∠DBC=∠C=24°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=24°，∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=108°；（2）解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE=12BC，DE=BC∵C△ABC-C△ABD=8∴AB+BC+AC-AB+BD+AD∴AB+BC+AC-AB+CD+AD∴AB+BC+AC-AB+AC=8cm過點D作DH⊥AB于H．

∵△ADB的面積為10cm2，且S△ADB∴10=1∴DH=4cm∵BD平分∠ABC，∴DE=DH=4cm∴S△DBC【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及其性質(zhì)．熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．在解（2）時正確作出輔助線也是解題關(guān)鍵．【考試題型4】利用角平分的性質(zhì)探究線段間的數(shù)量關(guān)系10．（2023上·遼寧大連·八年級大連市第79中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，BD牛分∠ABC,CE平分∠ACB,BD與CE交于點O．

圖1

圖2(1)如圖1，若∠A=60°．①求∠BOC的度數(shù)；②作OF⊥AB于點F，探究AE、(2)如圖2，若∠A=90°,OE=kOC,ODOB=47【答案】(1)①120°；②AE+AD=2AF(2)3【分析】①利用三角形內(nèi)角和及角平分線的定義求出即可；②過點O作OM⊥AC于點M，ON⊥BC于點N，連接AO，證明△OEF≌△ODMAAS，得到EF=DM．再證明Rt△AFO≌Rt（2）在BC取點G、F，使BF=BA，CG=CD，過F作FM⊥BD于M，F(xiàn)N⊥OG于N，先證明△OCD≌△OCG，得出S△OCD=S△OCG，∠COD=∠GOC，OD=OG，同理S△BOE=S△BOF，∠BOE=∠BOF，由ODOB=47，得出S△OCDS△OCB=47，設(shè)S△OCD【詳解】（1）解：①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB②過點O作OM⊥AC于點M，ON⊥BC于點N，連接AO．

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，ON⊥BC，∴OF=ON，∠OFA=90°．∵CE平分∠ACB，OM⊥AC,ON⊥BC，∴ON=OM，∠OMA=∠OMD=90°．∴OF=OM，∠OFE=∠OMD．由（1）得：∠BOC=120°．∴∠EOD=∠BOC=120°．在四邊形AEOD中，∠AEO+∠ADO=360°-∠EAD-∠EOD=360°-60°-120°=180°．∵∠AEO+∠FEO=180°，∴∠OEF=∠ODA．在△OEF和△ODM中，∠OEF=∠ODM,∴△OEF≌△ODMAAS∴EF=DM．在Rt△AFO和RtAO=AO,∴Rt△AFO≌∴AF=AM．∴AE+AD=AF-EF+AM+MD=2AF．（2）解：在BC取點G、F，使BF=BE，CG=CD，過F作FM⊥BD于M，F(xiàn)N⊥OG于N，

∵BD平分∠ABC，∴∠OCD=∠OCG，又CG=CD，OC=OC，∴△OCD≌△OCG，∴S△OCD=S△OCG，同理S△BOE=S∵ODOB∴S△OCD設(shè)S△OCD=4x，則∴S△OCD∴S△BOG在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-90°=90°．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=1∴∠OBC+∠OCB=1在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB∴∠COD=∠BOE=45°，∴∠GOC=∠BOF=45°，∴∠GOF=45°=∠BOF，又FM⊥BD，F(xiàn)N⊥OG，∴FM=FN，∴S△OFG∴S△OEB∴OEOC∵OE=kOC，∴k=OE【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2021下·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）已知OM是∠AOB的平分線，點P是射線OM上點，點C，D分別在射線OA，OB上，連接PC，PD．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，當PC⊥OA，PD⊥OB時，則PC與PD的數(shù)量關(guān)系是．（2）探究問題：如圖2，點C，D在射線OA，OB上滑動，且∠AOB=90°，當PC⊥PD時，PC與PD在（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由．（過P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F）【答案】（1）PC=PD，（2）成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可知PC=PD；（2）過點P點作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)垂直的定義得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE=PF，利用四邊形內(nèi)角和定理可得到∠PCE=∠PDF，然后根據(jù)“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到PC=PD．【詳解】解：（1）PC=PD，理由：∵OM是∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC=PD（角平分線上點到角兩邊的距離相等），故答案為：PC=PD；（2）成立理由：過點P點作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如圖，∴∠PEC=∠PFD=90°，∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF，∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，∴∠PCE+∠PDO=360°90°90°=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，∴∠PCE=∠PDF，在△PCE和△PDF中∠PCE=∠PDF∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC=PD．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．12．（2021上·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在∠EAF的平分線上取點B作BC⊥AF于點C，在直線AC上取一動點P．在直線AE上取點Q使得BQ=BP．（1）如圖1，當點P在點線段AC上時，∠BQA+∠BPA=°；（2）如圖2，當點P在CA延長線上時，探究AQ、AP、AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）在滿足（1）的結(jié)論條件下，當點P運動到在射線AC上時，直接寫出AQ、AP、PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為：．【答案】（1）180；（2）AQ-AP=2AC；理由見解析；（3）AQ-AP=2PC或AP-AQ=2PC．【分析】（1）作BM⊥AE于點M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM=BC，證明RtΔBMQ≌RtΔBPC(HL),（2）作BM⊥AE于M，先證明RtΔABM≌RtΔABC（HL），繼而得到∠ABM=∠ABC，AM=AC，BM=BC，再證明RtΔBMQ≌Rt（3）分兩種情況討論，當點P在線段AC上時，或當點P在線段AC的延長線上時，分別畫出適合的圖，再由ΔQBM≌ΔPBC（AAS）可得∠QBM=∠PBC，QM=PC，BM=BC，再由RtΔABM≌RtΔABC（HL【詳解】（1）證明：過點B作BM⊥AE于M，∵BA平分∠EAF，BC⊥AF，∴BM=BC，在RtΔBMQ和RtBQ=BPBM=BC∴RtΔBMQ≌RtΔBPC∴∠BQA=∠BPC，又∵∠BPC+∠BPA=180°，∴∠BQA+∠BPA=180°，故答案為180；（2）解：AQ-AP=2AC理由如下：如圖2，作BM⊥AE于M，∵AB平分∠EAF，BC⊥AF∴BM=BC，∠BMA=∠BCA=90°在RtΔABM和RtΔABC中BM=BC∴RtΔABM≌RtΔABC∴∠ABM=∠ABC，AM=AC，在RtΔBMQ和RtBQ=BP∴RtΔBMQ≌RtΔBCP∴PC=QM∴AQ-AP=（3）當點P在線段AC上時，如圖，AQ-AP=2PC理由如下：作BM⊥AE于M，∵BC⊥AF，∴∠BMA=∠BCA=90°，∵∠BQA+∠BPA=180°，∠BPC+∠BPA=180°，∴∠BPC=∠BQM，在ΔQBM和ΔPBC中∠BMQ=∠BCP∴ΔQBM≌ΔPBC（AAS）∴∠QBM=∠PBC，QM=PC，BM=BC在RtΔABM和RtΔABC中BM=BC∴RtΔABM≌RtΔABC∴AM=AC，∴AQ-AP=AM+QM-當點P在線段AC的延長線上時，如圖，AP-AQ=2PC理由如下：作BM⊥AE于M，∵BC⊥AF，∴∠BMA=∠BCA=90°，∵∠BQA+∠BPA=180°，∠BQM+∠BQA=180°，∴∠BPC=∠BQM，在ΔQBM和ΔPBC中∠BMQ=∠BCP∴ΔQBM≌ΔPBC（AAS）∴∠QBM=∠PBC，QM=PC，BM=BC在RtΔABM和RtΔABC中BM=BC∴RtΔABM≌RtΔABC∴AM=AC，∴AP-AQ=AC+CP-故答案為：AQ-AP=2PC或AP-AQ=2PC．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，分類討論思想等知識，掌握相關(guān)知識，利用輔助線畫出準確圖形是解題關(guān)鍵．【考試題型5】角平分線的判定定理13．（2023上·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，A，B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內(nèi)部且CA=CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD=BE．(1)求證：OC平分∠MON；(2)如果AO=12，BO=4，求OD的長．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法，熟記到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，得到Rt△ACD≌Rt△BCEHL，所以CD=CE，再根據(jù)已知條件，得到（2）根據(jù)題意，得到Rt△ODC≌Rt△OECHL，所以O(shè)D=OE，設(shè)BE=x，再根據(jù)已知條件，得到【詳解】（1）證明：由題意得：CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDA=∠CEB=90°，在Rt△ACD和RtAC=BCAD=BE∴Rt△ACD≌∴CD=CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON．（2）在Rt△ODC和RtCD=CEOC=OC∴Rt△ODC≌∴OD=OE，設(shè)BE=x，∵BO=4，∴OE=OD=4+x，∵AD=BE=x，∴AO=OD+AD=4+2x=12，∴x=4，∴OD=4+4=8．14．（2023上·山東聊城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點F，且∠BDE=∠CDF．那么AD平分∠BAC嗎？為什么？【答案】AD平分∠BAC，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是求證DE=DF．先證明△BED≌△CFD(AAS)，從而得到【詳解】解：AD平分∠BAC，理由是：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∵D是BC的中點，∴BD=CD，在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD∴△BED≌△CFD(AAS∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴點D在∠BAC的角平分線上，∴AD平分∠BAC．【考試題型6】角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用15．（2023上·全國·八年級課堂例題）如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉點A處的距離為1cm

【答案】見解析【分析】先根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作出圖，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：如圖，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AE、AF于點B、C，分別以點B、C為圓心，大于12BC的長度為半徑畫弧，兩弧交∠EAF內(nèi)部于點P，作射線AP，以點A為圓心，

，理由：∵由作圖步驟可知，AP是∠EAF的角平分線，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，∴AP上的點到AE、∵AD=1cm∴工廠應(yīng)該選在點D處．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022上·遼寧大連·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P．【答案】見解析【分析】作∠AOB的角平分線OD，OD與MN的交點到∠AOB的兩邊OA，OB的距離相等．【詳解】如圖所示：作∠AOB的平分線交MN于點P，點P即為該超市的位置．【點睛】此題主要考查了角平分線的作法，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．17．（2021上·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習(xí)）太和中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形(Rt△ABC)空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在△ABD區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了牡丹花，并量得兩直角邊AB＝10m，AC＝6m，分別求月季花與牡丹花兩種花草的種植面積．【答案】154，【分析】過點D分別作DE⊥AB,DF⊥AC，E、F是垂足，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，進而根據(jù)SΔABC【詳解】解：過點D分別作DE⊥AB,DF⊥AC，E、由SΔABC=SΔADB+∵AD是∠BAC的平分線，∴DE=DF=15∴【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考試題型7】利用角平分線的性質(zhì)解決多結(jié)論問題18．（2023上·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC于點E，交AD于點F，下面結(jié)論：①∠BAD=∠C；②∠AFB=∠BEC；③S△BCE=12BC?AE

【答案】①②③④【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，∴∠ABC+∠C=90∴∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=2∠CBE，故①④正確；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠C=∠BAD又∵∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD，∴∠AFB=∠BEC，故②正確；如圖，過點E作EP⊥BC于P，

∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，∴AE=EP∴S故③正確；故答案為：①②③④【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（2023下·福建三明·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠FCA的平分線BP、CP交于點P，延長BA，BC，PM⊥BE于點M，PN⊥BF于點N，則下列結(jié)論：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S

【答案】①②③④【分析】①過點P作PD⊥AC于點D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可進行判斷；②證Rt△PAM≌Rt△PAD，Rt△PCD≌Rt△PCN即可進行判斷；③根據(jù)“PA平分∠CAE，BP平分∠ABC【詳解】解：①如圖，過點P作PD⊥AC于點D，

∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM=PN，PN=PD，∴PM=PD，∵PM⊥BE，PD⊥AC，∴AP平分∠EAC，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，在Rt△PAM和RtPM=PD∴Rt∴∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌∴∠CPD=∠CPN，∴∠MPN=2∠APC，∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正確；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM，∠PAM=1∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=∠ABC+2∠APB∴∠ACB=2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD∴S△APD=∴S△PAC=故答案為：①②③④【點睛】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)、全等三角形的判斷及性質(zhì)等知識點．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．20．（2022上·新疆烏魯木齊·八年級?？计谀┤鐖D，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，其兩邊分別與OA、OB相交于M、

①PM=PN恒成立；②△OMN的周長不變；③OM+ON的值不變；④四邊形PMON的面積不變，其中正確的為（請?zhí)顚懻_結(jié)論前面的序號）．【答案】①③④【分析】如圖所示，作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，可證△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，根據(jù)三角形全等的判定即可求解．【詳解】解：如圖所示，作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，

∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，在Rt△POE和RtOP=OPPE=PF∴Rt△POE∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，∠MPE=∠NPFPE=PF∴△PEM≌∴EM=NF，PM=PN，故①正確；∴S△PEM=∴S四邊形PMON=∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE，∴OM+ON為定值，故③正確，在旋轉(zhuǎn)過程中，△PMN是頂角不變的等腰三角形，∵PM的長度是變化的，∴MN的長度是變化的，故②錯誤，故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識，掌握添加輔助線，勾股全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·福建福州·七年級福州華倫中學(xué)校考期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°∠ABC>∠A，角平分線BD、CE交于點O，OF⊥AB于點F．下列結(jié)論；①S△BOC:S△BOE=BC:BE；②∠EOF=∠ABC-∠A；

【答案】①③④【分析】過點O作OG⊥BC于點G，由角平分線的性質(zhì)定理可得OF=OG，然后結(jié)合三角形面積公式即可判斷結(jié)論①；首先求得∠BOE=60°，假設(shè)∠ABC=80°，則∠OBA=40°，可求得∠EOF=10°，再根據(jù)∠ABC-∠A=20°，即可判斷結(jié)論②；在BC上截取BM=BE，連接OM，分別證明△BOE≌△BOM和△COD≌△COM，由全等三角形的性質(zhì)可得CD=CM，即可判斷結(jié)論③；由全等三角形的定義和性質(zhì)易得S△BOE=S△BOM，S△COD【詳解】解：如下圖，過點O作OG⊥BC于點G，

∵BD平分∠ABC，OF⊥AB，OG⊥BC，∴OF=OG，∴S△BOC故結(jié)論①正確；∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=1∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=1設(shè)∠ABC=80°，則∠OBA=1∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°-∠OBA=50°，∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=60°-50°=10°，又∵∠ABC-∠A=80°-60°=20°，∴∠EOF≠∠ABC-∠A，故結(jié)論②錯誤；在BC上截取BM=BE，連接OM，

在△BOE和△BOM中，BE=BM∠OBE=∠OBM∴△BOE≌△BOM(SAS∴OE=OM，∠BOM=∠BOE=60°，∵∠COD=∠BOE=60°，∠COM=180°-∠BOE-∠BOM=60°，∴∠COD=∠COM，∴在△COD和△COM中，∠OCD=∠OCMOC=OC∴△COD≌△COM(ASA∴CD=CM，∴BE+CD=BM+CM=BC，故結(jié)論③正確；∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，∴S△BOE=S∴S△BOE∴S四邊形故結(jié)論④正確．綜上所述，結(jié)論正確的為①③④．故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識并熟練運用是解題關(guān)鍵．【考試題型8】利用垂直平分線的性質(zhì)求線段長度22．（2019·江蘇·八年級校考階段練習(xí)）如圖,△ABC中,AB,AC邊的垂直平分線分別交BC于點D,E,垂足分別為點F,G,△ADE的周長為6cm(1)求△ABC中BC邊的長度;(2)若∠B+∠C=64°,求∠DAE的度數(shù).【答案】（1）6;(2)52°.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到BD=AD,AE=CE，再根據(jù)周長的定義即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和即可求解.【詳解】解：（1）∵DF垂直平分AB，EG垂線平分AC∴AD=DB,AE=EC∵△ADE的周長=AD+DE+AE=6∴BC=BD+DE+EC=AD+DE+AE=6∴BC=6(2)∵AD=DB,AE=EC∴∠BAD=∠B,∠EAC=∠C.∵∠B+∠C=64°∴∠BAD+∠EAC=64°∴∠DAE=180°（∠B+∠C+∠BAD+∠EAC）=52°【點睛】此題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線上的點到線段端點距離相等.23．（2023上·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，AC>BC,AB⊥DE，點D是AB的中點，點E在AC上，連接BE．若AC=12,△BCE周長為17，求BC的長度．【答案】BC=5【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，由△BEC的周長是17得到BC=5，即可得到答案．【詳解】解：∵DE⊥AB，D是AB的中點，∴DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∵△BEC的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=17，∵AC=12，∴BC=5．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解此題的關(guān)鍵．24．（2019上·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點E，D，F(xiàn)M垂直平分AC，分別交AC，BC于點M，F(xiàn)．（1）若△AFD的周長為29，F(xiàn)D=4.5，求BC的長度；（2）若∠BAC=80°，求∠FAD的度數(shù)．【答案】(1)BC=20(2)20°【分析】（1）根據(jù)三角形的周長可得AD+AF+FD=29,故AD+AF=24.5，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD,AF=CF,根據(jù)BC=BD+CFDF即可求解；（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD,再根據(jù)等邊對等角可得∠BAD＝∠B，同理可得，∠CAF＝∠C，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠B＋∠C，再根據(jù)∠FAD＝∠BAD＋∠CAF?∠BAC代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】（1）∵△AFD的周長為29，∴AD+AF+FD=29,∵FD=4.5∴AD+AF=294.5=24.5∵DE垂直平分AB，F(xiàn)M垂直平分AC，∴AD=BD,AF=CF,∴BD+CF=AD+AF=24.5∴BC=BD+CFDF=24.54.5=20即BC=20；(2)∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠BAD＝∠B，同理可得∠CAF＝∠C，∴∠FAD＝∠BAD＋∠CAF?∠BAC＝（∠B＋∠C）?∠BAC，在△ABC中，∠B＋∠C＝180°?∠BAC＝100°，∴∠FAD＝100°?80°＝20°．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．【考試題型9】利用垂直平分線的性質(zhì)求角度25．（2023上·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=76°，AD平分∠BAC交BC于點D，P為線段AD上一動點，Q為邊AB上一動點，當BP+PQ的值最小時，∠APB=°．

【答案】128【分析】本題考查的角平分線的性質(zhì)，角平分線的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，如圖，過B作BG⊥AC于G，交AD于P，此時BP+PQ=BP+PG=BG【詳解】解：如圖，過B作BG⊥AC于G，交AD于P，

當PQ⊥AB時，而AD平分∠BAC，∴PQ=PG，∴BP+PQ=BP+PG=BG，此時最短，∵∠BAC=76°，AD平分∠BAC，∴∠ABG=90°-76°=14°，∠ABP=1∴∠APB=180°-14°-38°