《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）

《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）第13章分式一、單元教學設計：單元教學設計工具表教材版本單元名稱學期建議課時（課標）滬教版第13章分式七年級第一學期10教材內容和內容解析1.教材內容：本章內容分為3節(jié)，分別是“13.1分式及其性質”“13.2分式的運算”和“13.3分式方程”。2.教材內容解析：分式是初中代數的重要學習內容之一，是初中代數的一個基本概念。分式在加減乘除四則運算下是封閉的。分式是整式的延伸，通過學習分式能進一步鞏固整式的學習成果。本章是在整式的運算、因式分解及一元一次方程的解法等知識基礎上展開的?！?3.1分式及其性質”一節(jié)介紹分式的概念及其基本性質，通過約分引入最簡分式的概念。分式的概念是通過類比分數引入的，達到了“數”與“式”的統(tǒng)一，只有在分母的值不為0時，分式才有意義。對于“最簡分式”概念的界定側重于“式”，不在于“數”，只需要“分子和分母沒有一次及以上的公因式”即可。“13.2分式的運算”一節(jié)介紹了分式的四則運算并引入整數指數冪的概念及其運算法則。分式的運算延續(xù)“二期課改”教科書的安排，從乘除法到加減法，先易后難進行編排，結構清晰。負整數指數則通過分式的除法加以定義，從而將冪的性質從正整數指數拓展到整數指數。鑒于此，我們把整數指數冪納入“分式的運算”中，這樣的改變，旨在揭示整數指數冪與分式的運算的本質聯(lián)系。分式運算的學習有助于提高學生的運算能力。“13.3分式方程”一節(jié)介紹分式方程的概念、可化為一元一次方程的分式方程的解法，以及一些分式方程的具體應用實例。由于可以借助分式建立方程的數學模型解決一些實際問題，因此分式的相關知識和技能有助于提高學生解決實際問題的能力。本章的三節(jié)內容按照“概念—運算—應用”開展，整體結構清晰。與整式章節(jié)一致，本章也遵循了從“數”到“式”的抽象以及“數”與“式”的統(tǒng)一。同時，從整式過渡到分式，引入自然，與前述內容契合度高。同時也讓學生體會了類比、化歸、整體、抽象等數學思想和方法。3.教材內容結構圖：《義務教育數學課程標準（2022年版）》：【內容要求】1.通過實際問題的探究，經歷分式形成的過程，理解分式的意義。2.通過與分數的性質類比得出分式的性質，知道約分和最簡分式的概念。3.理解分式的有關概念及其基本性質，掌握分式加、減、乘、除的四則運算法則。4.理解負整數指數冪的意義，理解在負整數指數冪的條件下，整式和分式的統(tǒng)一。知道正整數指數冪的運算性質對整數指數冪仍然適用。5.理解絕對值小于1的有理數的科學記數法，會用科學記數法表示有理數。6.通過實際問題的解決，體會分式方程的意義，領會把分式方程整式化的轉化思想，掌握分式方程的解法，知道分式方程出現增根的原因，理解驗根的必要性?！窘虒W提示】1.通過生活實際中的問題引出分式的概念.在教學時，教師應通過改變分式分母中字母的取值，使學生理解分式定義中對于分式所含字母取值的限制性要求。2.引導學生以整式的運算為基礎，類比分數的性質和運算，通過觀察、聯(lián)想，經歷分式的基本性質和四則運算法則的形成過程。在進行分式四則運算教學時，課本從學生先易后難的認知規(guī)律出發(fā)，先學習分式的乘除法運算，再學習分式的加減法運算。教師應關注課本的這一特點，加強分式乘除法運算技能的訓練和鞏固，為后續(xù)學習分式的異分母加減法打好基礎。對異分母分式加減法的教學，可類比異分母分數的加減法，先通分，轉化為同分母分式的加減法運算。通分時，如果分母是多項式，要先分解因式。在加減運算時，分母可保留因式乘積形式，這樣在約分時較為簡便。《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）3.教學時要注意將分式方程轉化為整式方程求解的“轉化思想”的滲透，要使學生知道解分式方程中可能產生增根的原因，從而使學生認識驗根的必要性。教師要特別注意本章中的分式方程都是指可化為一元一次方程的分式方程。不要隨意增加難度。4.在冪的運算教學中，要幫助學生經歷整數指數冪的擴展過程，理解正整數指數冪、零指數冪、負整數指數冪的概念和關系，將冪的運算性質歸納合并為三條：。并用整數指數冪的性質完善用科學記數法表示絕對值較小的數?！緦W業(yè)要求】知道分式的分母不能為零，能利用分式的基本性質進行約分、通分，并化簡分式，能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算并將運算結果化為最簡分式?？傮w學情分析：1.學習背景：在前幾章中，學生已經學習了整式，分式與整式一樣也是代數式，因此研究與學習的方法與整式相類似;另一方面，“分式”是“分數”的“代數化”，學生可以通過類比進行分式的學習。另外，在學習本章之前，學生已經分兩次學習過整式方程(一元一次方程、二元一次方程組)，他們對于整式方程特別是一元一次方程的解法及其基本思路已經比較熟悉。分式方程的未知數在分母中，它的解法比以前學過的方程復雜，隨著問題復雜性的增加,人們需要不斷地提高認識問題的水平，這里包括提高對新事物與已熟悉的事物之間的聯(lián)系的認識?！斗质健飞虾Ｐ陆滩钠吣昙墧祵W單元教學設計（滬教版）2.學習偏好：鑒于學生的年齡特點，教師可以注重課堂觀察學生在具體活動中能否積極、主動進行數學活動；發(fā)揮小組互評：學生能否有條理地表達自己的活動過程和活動體會，能否有獨特地解決問題的想法促進學生參與課堂活動；提倡自我反思：是否積極參與課堂活動過程并提出一些新的想法，鼓勵大膽發(fā)言。目標與目標解析1.單元教學目標：1.通過實際生活中的例子，類比分數理解分式的概念，會求分式有意義時字母所滿足的條件。2.掌握分式的基本性質，了解最簡分式，能熟練約分至最簡分式，提高運算能力。3.類比分數有關概念和運算法則，掌握分式的加、減、乘、除的四則運算，體會類比與轉化的數學思想和從數到式的數學抽象，提高運算能力。4.理解負整數指數冪的定義，經歷整數指數冪的運算性質的推導過程，掌握整數指數冪的性質及其運算，發(fā)展推理能力。5.理解分式方程的概念以及分式方程的求解方法，會求解可化為一元一次方程的分式方程。6.理解解分式方程時產生增根的原因，掌握解分式方程的驗根方法，逐步養(yǎng)成重依據、尊重邏輯的思維習慣。7.會根據實際問題的背景建立分式方程，運用分式方程的知識解應用題，初步感知數學建模的基本過程，增強應用意識。2.單元教學目標解析：（目標的具體化）理解分式的概念含義解析：“理解”要求學生不僅要知道分式的定義，還要能夠解釋分式在數學中的作用和意義，以及它與其他數學概念的關聯(lián)。教學策略：通過類比分數的概念引導學生觀察和分析，從而理解分式的概念。掌握分式的基本性質和分式的加、減、乘、除的四則運算的方法以及會解分式方程的方法的解析：“掌握”意味著學生應能夠熟練運用這些方法解決具體問題，包括熟練約分至最簡分式，提高運算能力。正確使用運算方法。教學策略：設計由簡到難的練習題，逐步提高學生的運算能力。通過示范、練習和應用題目，加強學生對這些方法的掌握。通過鼓勵學生對知識本身進行前后聯(lián)系，利用類比、化歸等數學思想和方法，感受解決數學問題的過程，降低難度，從而對數學產生持久的興趣。再利用小組學習，讓學生在小組學習中相互支持、相互幫助，共同完成任務，增加學習動力。同時，結合生活實際問題的解決，體現數學與生活的聯(lián)系。課時內容1單元下的節(jié)課名稱第1課時：13.1（1）分式具體內容：教材76～78頁作業(yè)：練習冊13.1（1）第2課時：13.1（2）分式的基本性質具體內容：教材78～80頁作業(yè)：練習冊13.1（2）第3課時：13.2（1）分式的乘除具體內容：教材82～85頁作業(yè)：練習冊13.2（1）第4課時：13.2（2）分式的加減具體內容：教材85～88頁作業(yè)：練習冊13.2（2）第5課時：13.2（3）整數指數冪具體內容：教材88～91頁作業(yè)：練習冊13.2（3）第6課時：習題課具體內容：熟練掌握分式的概念和運算法則熟練掌握整數指數冪的運算性質作業(yè)：教材習題91～92頁、整理錯題第7課時：13.3（1）分式方程具體內容：教材93～95頁作業(yè)：練習冊13.3（1）第8課時：13.3（2）分式方程具體內容：教材95～98頁作業(yè)：練習冊13.3（2）第9課時：習題課具體內容：熟練掌握分式方程的解法和解決實際問題作業(yè)：教材習題98～99頁、整理錯題2復習與小結第10課時：單元復習具體內容：本章概念、分式運算和分式方程作業(yè)：教材復習題103～104頁、整理錯題單元教學建議1.單元教學問題診斷分析本章中，分式與整式的關系可類比分數與整數：分數可以看作在分母不為0的情況下，兩個整數相除；分式可以看作在分母為非零整式的情況下，兩個整式相除.在教學中，可以通過改變分式分母中字母的取值，使學生理解分式分母的值不為0即分式有意義.要訓練分式的四則運算，發(fā)展運算能力.基于通分和約分法則，分式的四則運算可以化歸為整式的四則運算.通過分式運算的訓練，既可以強化整式的運算，也有助于加深對分式的理解.結合實際問題的分析和解題。讓學生理解解分式方程過程中可能產生增根的原因，明確解分式方程驗根的必要性，體會思維的嚴密性.此外，通過解決以具體的生活實例為背景的可化為一元一次方程的分式方程的應用問題，讓學生感知數學建模的過程，積累處理實際問題的經驗。2.單元教學支持條件分析合理利用參考書，確保教學內容的準確性和適宜性；設計合理計算練習，增強計算能力；鼓勵合作探究學習，促進學生間互助互學；利用互動白板等多媒體工具輔助教學，使學生更直觀感受所學內容，構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，讓學生運用分式的知識解決實際問題。單元評價建議1.單元過程性評價1、課堂觀察：學生在具體活動中能否積極、主動進行數學活動；2、小組互評：學生能否有條理地表達自己的活動過程和活動體會，能否有獨特地解決問題的想法；3、自我反思：是否積極參與課堂活動過程并提出一些新的想法4、隨堂提問、作業(yè)反饋2.單元終結性評價單元測驗、學習小報《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）二、單元主要學習活動設計：第1課時13.1（1）分式活動13.1（1）分式活動目標1.理解分式的概念，并會求使分式無意義、有意義、分式值為零時的字母取值．2.經歷分式形成的過程，體會類比、化歸的數學思想.3.在探索思考、討論交流的過程中，提高邏輯思維能力，增強學習數學的興趣.活動中的關鍵問題（及說明）問題：(1)長方形的面積是S，長是x，寬是多少？(2）走一段10km的路，騎車需用th,步行需用的時間是騎車的2倍還多1h.步行的速度是多少？（3）一名籃球運動員在一場比賽中投進a個罰球(每1球得1分），投進6個2分球，投進c個3分球.這名籃球運動員的3分球得分占其總得分的幾分之幾？這些答案的代數式的分子和分母中都會有字母.出示課題一分式.【設計意圖】根據生活中的實例以及用字母表示數的代數式引出新的課題--分式。由上述向題，可得分式的概念：對于兩個整式A、B，A?B可以表示為的形式，叫作分式，也稱為有理式，其中A稱為分子，B稱為分母.本章主耍討論分母中含有字母的分式。用數值代替分式中的字母，計算得出的代數式的值就是分式的值?！驹O計意圖】通過思考,逐步探究，發(fā)現規(guī)律?！驹O計意圖】例1及思考的提出加深學生對分式中分母不為零的理解例2和例3考查不同情況下分式中的x的取值，加深學生對分式有意義的條件、分式的值為零等知識的理解.活動說明教師引導，板演，講解．學生獨立思考，小組交流、合作，回答．《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）13.1(2)分式的基本性質活動13.1(2)分式的基本性質活動目標1理解并掌握分式的基本性質及能運用分式的基本性質進行約分。2.理解最簡分式的概念，并對約分的最后結果進行檢驗，3.在分式的基本性質的探究過程中，領悟類比的數學思想;再次感受數與式之間的內在聯(lián)系與區(qū)別活動中的關鍵問題（及說明）一、復習舊知問1：小學階段學過分數的基本性質．什么是分數的基本性質？（板書：分數的基本性質）答1：分數的分子和分母乘（或除以）同一個不為零的數，分數的值不變.問2：分數基本性質的作用有哪些？答2：可以進行分數的約分、通分【設計意圖】復習舊知，為新知做鋪墊二、探究新知1.分式的基本性質我們將“數”拓展到“式”（板書：數-式），類似地，分式也有這樣的性質.對照分數的基本性質，能否嘗試改寫成分式的基本性質？學生嘗試概括：分式的分子與分母乘(或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變．比較：分式的基本性質與分數的基本性質有哪些不同？分式的基本性質：分式的分子和分母乘(或除以)同一個不為零的整式，分式的值不變.分數的基本性質：分數的分子和分母乘(或除以）同一個不為零的數，分數的值不變.師：分式的基本性質應該注意什么？生1:(1)“同”：分子和分母都要乘(或除以）同一個整式；(2）“同”：同一種變換，或乘或除以，不能是加或減；（3）“整式不為0”生2：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母中公因式約去的過程，叫作約分。師：什么是最簡分式？帶著問題我仃繼續(xù)學習.【設計意圖】由分數的基本性質類比引出分式的基本性質。【設計意圖】通過例4,直觀地感受分式的基本性質的運用通過例5,進一步加深對分式的基本性質的應用的掌握活動說明教師引導，板演，講解．學生獨立思考，小組交流、合作，回答．13.2(1)分式的乘除活動13.2(1)分式的乘除活動目標1.掌握分式的乘除法運算法則,并能正確運用2.在經歷探究分式的乘除法的法則和運用法則的過程中，感受類比和化歸的數學恩想活動中的關鍵問題（及說明）新課引入1.類比分數的乘法探究分式的乘法法則：觀察，，如何計算？2.類比分數的除法探究分式的除法法則：，，如何計算？設計意圖：通過回憶分數的乘除法法則，類比得出分式的乘除法法則．新知講授類比得到分式的乘除法法則：（1）文字歸納：兩個分式相乘，將分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母．分式除以分式，將除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘．用式子表示為：，.【設計意圖】通過文字歸納和字母表示熟悉法則并規(guī)范書寫．例題講解例1計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.適時小結：注意分式的乘法與分數的乘法一樣，先約分，再分子乘分子，分母乘分母，運算過程比較簡單．例2計算：（1）；（2）；（3）.說明：(1)中除法能夠進行的前提是且．在本章中做分式的除法時，總是默認除式的值不為0．適時小結：注意分式的除法與分數的除法一樣，先將除法轉化成乘法，再按乘法的運算法則進行計算．分式的分子、分母為含多個項的整式時，通常先因式分解，再進行計算．分式的運算結果一般要化為最簡分式．【設計意圖】嘗試運用分式的乘除法法則進行計算.例3如圖13-2-1，用一個半徑為rm的半圓和一個一邊長度為hm的長方形，組成一扇窗．根據設計要求，整扇窗的面積應為4m2．（1）用r的代數式表示h；（2）當r＝1時，求窗的高度（π取3.14，結果精確到0.01m）．圖13-2-1解：（1）由，得圖13-2-1從而因此（2）當r＝1時，，（m）答：窗的高度約為2.22m．活動說明教師引導，板演，講解．學生獨立思考，小組交流、合作，回答．13.2(2)分式的加減《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）活動13.2(2)分式的加減活動目標1.類比同分母分數加減法得到同分母分式的加減法運算法則，會進行同分母分式加減運算.2.類比異分母分數加減法得到異分母分式的加減法運算法則，會進行異分母分式加減運算.活動中的關鍵問題（及說明）新課引入計算：回顧同分母分數加減法法則：類比上述算式，如何計算：得到同分母分式的加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．【設計意圖】通過類比得到同分母分式加減法法則.例題講解例4計算：（1）??x3x-1+解：（1）??x（2）.變式計算：解：.【設計意圖】探索分母為互為“相反數”的分式加減的方法.（3）.【設計意圖】總結易錯知識點，如果減數的分子是一個多項式，再減去一個多項式時，一定要添加括號.適時小結：同分母分式加減法的注意點：（1）計算時先觀察是不是同分母分式加減，如果分母互為“相反數”，可以轉化為同分母分式加減；（2）如果減數的分子是一個多項式，再減去一個多項式時，一定要添加括號；（3）如果計算結果不是最簡分式，一定要化成最簡分式.活動說明教師引導，板演，講解．學生獨立思考，小組交流、合作，回答．《分式》上海新教材七年級數學單元教學設計（滬教版）13.2(2)分式的加減活動13.2(2)分式的加減活動目標1.在教學過程中滲透類比思想，能類比異分數的加減運算，得出異分母分式的加減法法則.2.理解異分母分式的加減法法則的形成過程;利用異分母分式的加減法法則進行異分母分式的加減運算3.在課堂活動中培養(yǎng)學生樂于探究、合作學習的習慣;滲透類比、化歸的數學思想方法，提高運算能力?；顒又械年P鍵問題（及說明）一、復習引入1.計算：2.思考：異分母分數的加減法法則是否可以推廣到異分母分式的加減呢？3.計算：4.分式通分的定義：將幾個異分母的分式分別化為與原來分式的值相等的同分母分式的過程叫作通分.5.類比得到異分母分式加減法法則：異分母分式相加減，先將它們通分，然后進行加減.【設計意圖】了解分式通分得依據及方法，通過類比得到異分母分式加減法的運算法則.二、例題講解例5計算：（1）（2）（3）.解：（1）（2）（3）（3）y【設計意圖】利用異分母分式的加減法則進行異分母分式的加減運算.適時小結：異分母分式加減法的注意點：（1）在異分母分式加減法運算時，解題的關鍵在于找出各分式的公分母；（2）通分是對分式基本性質的運用；（3）通分時，如果分母是多項式，要先因式分解，便于找出各分式的公分母.活動說明教師引導，板演，講解．學生獨立思考，小組交流、合作，回答．13.2(3)整數指數冪活動13.2(3)整數指數冪活動目標1.理解在引人負整數指數冪的條件下整式和分式在形式上的統(tǒng)一,并理解整數指數冪2.在正整數指數冪到整數指數冪的擴充過程中，體驗“從特殊到一般”的數學研究方法，3.掌握整數指數冪運算的性質，會用性質進行簡單的整數指數冪的相關計算活動中的關鍵問題（及說明）【設計意圖】通過計算幫助學生回憶同底數冪的除法法