2022年考研數(shù)學(xué)二真題(含答案)

2022年考研數(shù)學(xué)二真題(含答案)一、選擇題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增2.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增3.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增5.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增6.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增7.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增8.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增9.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增10.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞增，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增二、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）11.函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的定義域?yàn)開_____。12.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的值域?yàn)開_____。13.函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$的導(dǎo)數(shù)為______。14.函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的二階導(dǎo)數(shù)為______。15.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的積分表達(dá)式為______。16.函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$的積分表達(dá)式為______。17.函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$處的極限為______。18.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$在$x=0$處的極限為______。19.函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=0$處的極限為______。20.函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)為______。三、解答題（本題共5小題，每小題10分，滿分50分）21.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)。22.求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)。23.求函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)。24.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的積分表達(dá)式。25.求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的積分表達(dá)式。2022年考研數(shù)學(xué)二真題(含答案)四、解答題（本題共5小題，每小題10分，滿分50分）26.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，求$f(x)$的極值點(diǎn)。27.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，求$f(x)$的極值點(diǎn)。28.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，求$f(x)$的極值點(diǎn)。29.求函數(shù)$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的拐點(diǎn)。30.求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的拐點(diǎn)。五、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）31.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\geq0$。32.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\leq1$。六、應(yīng)用題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）33.設(shè)某商品的需求函數(shù)為$D(x)=100\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，其中$x$為商品的價(jià)格。求該商品的最大需求量。34.設(shè)某商品的供給函數(shù)為$S(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，其中$x$為商品的價(jià)格。求該商品的最小供給量。七、計(jì)算題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）35.計(jì)算定積分$\int_{1}^{1}\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx$。36.計(jì)算定積分$\int_{1}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$。答案部分：一、選擇題答案1.A2.B3.D4.C5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空題答案11.$(\infty,+\infty)$12.$[0,1]$13.$\frac{2x}{(1+x^2)^2}$14.$\frac{2(1x^2)}{(1+x^2)^3}$15.$\int\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx$16.$\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$17.018.019.020.0三、解答題答案21.$f'(0)=0$22.$f'(0)=0$23.$f'(0)=0$24.$\int\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\sqrt{1+x^2}\arctan(x)+C$25.$\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$四、解答題答案26.極值點(diǎn)為$x=0$，極值為$f(0)=0$。27.極值點(diǎn)為$x=0$，極值為$f(0)=0$。28.極值點(diǎn)為$x=0$，極值為$f(0)=0$。29.拐點(diǎn)為$x=0$。30.拐點(diǎn)為$x=0$。五、證明題答案31.對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，有$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\geq0