湖北省百所重點(diǎn)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省百所重點(diǎn)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.由小到大排列的一組數(shù)據(jù):,其中每個數(shù)據(jù)都小于,另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為()A. B.C. D.2.已知拋物線,過點(diǎn)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有()條A.0 B.1C.2 D.33.下列說法中正確的是()A.存在只有4個面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形4.設(shè)為拋物線焦點(diǎn),直線,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作于,則()A.3 B.4C.2 D.不能確定5.如下圖,邊長為2的正方體中,O是正方體的中心,M,N,T分別是棱BC,,的中點(diǎn),下列說法錯誤的是()A. B.C. D.到平面MON的距離為16.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,則b等于()A. B.C. D.7.等差數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,,則的值為()A.13 B.16C.104 D.2088.直線在y軸上的截距是A. B.C. D.9.圓的圓心為()A. B.C. D.10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動,則當(dāng)取得最小值時,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為()A. B.C. D.11.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為()A. B.C. D.12.如圖,在長方體中,,,則直線和夾角的余弦值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2020>0,S2021<0,則當(dāng)n=_____________時,Sn最大.14.平面內(nèi)n條直線兩兩相交,且任意三條直線不過同一點(diǎn),將其交點(diǎn)個數(shù)記為,若規(guī)定,則,,_________,_________,(用含n的式子表示)15.已知向量與是平面的兩個法向量,則__________16.一個質(zhì)地均勻的正四面體,其四個面涂有不同的顏色,拋擲這個正四面體一次,觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅,黃,藍(lán),綠},設(shè)事件{紅,黃},事件{紅,藍(lán)},事件{黃,綠},則下列判斷:①E與F是互斥事件;②E與F是獨(dú)立事件;③F與G是對立事件;④F與G是獨(dú)立事件.其中正確判斷的序號是______(請寫出所有正確判斷的序號)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為,,P為橢圓C上一點(diǎn).(1)當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時,求的余弦值;(2)直線與橢圓C交于A,B,若,求k18.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)為,橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)T為橢圓C上的點(diǎn),若點(diǎn)T在第一象限,且與x軸垂直,過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點(diǎn)M,N,探究直線的斜率是否為定值?若為定值,請求之;若不為定值,請說明理由19.(12分)撫州市為了了解學(xué)生的體能情況,從全市所有高一學(xué)生中按80:1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,分為組畫出頻率分布直方圖如圖所示,現(xiàn)一,二兩組數(shù)據(jù)丟失,但知道第二組的頻率是第一組的3倍(1)若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀,試估計(jì)全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少?全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為多少?(2)求第一組、第二小組的頻率是多少?并補(bǔ)齊頻率分布直方圖;(3)估計(jì)該全市高一學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)?20.(12分)寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題:(1)若,則;(2)已知為實(shí)數(shù),若,則21.(12分)已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為的曲線C上.(1)求雙曲線C的方程;(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程22.(10分)如圖,在直三棱柱中,,,D為的中點(diǎn)(1)求證:平面;(2)求平面與平面的夾角的余弦值;(3)若E為的中點(diǎn),求與所成的角

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進(jìn)行排列,然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù):,其中每個數(shù)據(jù)都小于,所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為,所以這一組數(shù)的中位數(shù)為,故選:C2、D【解析】設(shè)出過點(diǎn)與拋物線C只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程,再與的方程聯(lián)立借助判別式計(jì)算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸,直線過點(diǎn)P且與y軸平行,它與拋物線C只有一個公共點(diǎn),設(shè)過點(diǎn)與拋物線C只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程為:,由消去y并整理得:,則,解得或,因此,過點(diǎn)與拋物線C相切的直線有兩條,相交且只有一個公共點(diǎn)的直線有一條,所以過點(diǎn)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有3條.故選:D3、B【解析】對于A、B:由棱柱的定義直接判斷;對于C:由正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等,即可判斷;對于D:由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對于A:棱柱最少有5個面,則A錯誤;對于B:棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形,則B正確;對于C:正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長不一定相等,則C錯誤;對于D:球的表面不能展開成平面圖形,則D錯誤故選:B4、A【解析】由拋物線方程求出準(zhǔn)線方程,由題意可得,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】由可得,準(zhǔn)線為,設(shè),由拋物線的定義可得,因?yàn)檫^點(diǎn)作于,可得,所以,故選:A.5、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A,B,C;對D,算出平面MON的法向量,進(jìn)而求出向量在該法向量方向上投影的絕對值,即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則.對A,,則,則A正確;對B,,則,則B正確;對C,,則C正確;對D,設(shè)平面MON的法向量為,則,取z=1,得,,所以到平面MON的距離為,則D錯誤.故選:D.6、C【解析】先由cosA的值求出,進(jìn)而求出,用正弦定理求出b的值.【詳解】因?yàn)閏osA=,所以,所以由正弦定理:,得:.故選:C7、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì),結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由,所以,故選:D8、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0,則y=-2,即直線在y周上的截距為-2,故選D.9、D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】圓的圓心為,故選:D10、C【解析】設(shè),用表示出,求得的表達(dá)式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時,取得最小值,從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè),則=-=-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ),=-=-λ=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=.所以當(dāng)λ=時,取得最小值,此時==,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選:C11、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算出和的值,可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程,化簡即可.詳解】,,,,因此,所求切線的方程為,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出的坐標(biāo),由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖:以為原點(diǎn),分別以,,所在的直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,所以,所以直線和夾角的余弦值為,故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1010【解析】先由S2020>0,S2021<0,判斷出,,即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為,所以,因?yàn)?+2020=1010+1011,所以,所以.,所以,所以當(dāng)n=1010時,Sn最大.故答案為:1010.14、①.6;②..【解析】利用第條直線與前條直線相交有個交點(diǎn)得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線與前三條直線有3個交點(diǎn),因此,同理,由此得到第條直線與前條直線相交有個交點(diǎn),所以,即所以故答案為:6;15、【解析】由且為非零向量可直接構(gòu)造方程求得,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由題意知:,,解得:(舍)或,.故答案為:.16、②③【解析】由對立和互斥事件的定義判斷①③;由獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷②④.【詳解】{紅},則E與F不是互斥事件;且,則F與G是對立事件;,則E與F是獨(dú)立事件;,,則F與G不是獨(dú)立事件故答案為:②③三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)利用余弦定理可求頂角的余弦值.(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消元后利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可求的值.【小問1詳解】當(dāng)為橢圓的上頂點(diǎn)時,,在中,由余弦定理知.【小問2詳解】設(shè),,將直線與橢圓:聯(lián)立得:,因?yàn)橹本€過焦點(diǎn),故恒成立,又,由弦長公式得,化簡整理得:,解得.18、(1);(2)直線的斜率為定值,且定值為.【解析】(1)根據(jù)橢圓的離心率及所過的點(diǎn)求出橢圓參數(shù)a、b,即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題設(shè)得,法一:設(shè)為,聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo),根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率;法二:設(shè)為,,聯(lián)立橢圓方程,應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程,即可判斷是否為定值.【小問1詳解】由題意,則,又,所以橢圓C方程為,代入有,解得,所以,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;【小問2詳解】由題設(shè)易知:,法一:設(shè)直線為,由,消去y,整理得,因?yàn)榉匠逃幸粋€根為,所以M的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo),故M為,用代替k,得N為,所以,故直線的斜率為定值法二:由已知直線的斜率存在,可設(shè)直線為,,由,消去y,整理得,所以,而,又,代入整理得,所以,即,若,則直線過點(diǎn)T,不合題意,所以.即,故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第二問,設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程,應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于直線斜率的方M、N程,或求出的坐標(biāo),應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率.19、(1)8640;(2)第一組頻率為,第二組頻率為.頻率分布直方圖見解析;(3)中位數(shù)為,均值為121.9【解析】(1)求出優(yōu)秀的頻率,計(jì)算出抽取的人員中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)后可得全體優(yōu)秀學(xué)生數(shù);(2)由頻率和為1求得第一組、第二組頻率,然后可補(bǔ)齊頻率分布直方圖;(3)在頻率分布直方圖中計(jì)算出頻率對應(yīng)的值即為中位數(shù),用各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以頻率后相加得均值【詳解】(1)由頻率分布直方圖,分?jǐn)?shù)在120分以上的頻率為,因此優(yōu)秀學(xué)生有(人);(2)設(shè)第一組頻率為,則第二組頻率為,所以,,第一組頻率為,第二組頻率為頻率分布直方圖如下:(3)前3組數(shù)據(jù)的頻率和為,中位數(shù)在第四組,設(shè)中位數(shù)為,則,均值為20、(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】(1)(2)根據(jù)逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可;【小問1詳解】解:逆命題:若,則;否命題:若,則;逆否命題:若,則【小問2詳解】解:逆命題:已知為實(shí)數(shù),若,則;否命題:已知為實(shí)數(shù),若或,則;逆否命題:已知實(shí)數(shù),若,則或21、(1)雙曲線方程為(2)滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=和【解析】(1)由雙曲線焦點(diǎn)可得值,進(jìn)而可得到的關(guān)系式,將點(diǎn)P代入雙曲線可得到的關(guān)系式,解方程組可求得值,從而確定雙曲線方程;(2)求直線方程采用待定系數(shù)法,首先設(shè)出方程的點(diǎn)斜式,與雙曲線聯(lián)立,求得相交的弦長和O到直線的距離,代入面積公式可得到直線的斜率,求得直線方程試題解析:(1)由已知及點(diǎn)在雙曲線上得解得;所以,雙曲線的方程為(2)由題意直線的斜率存在,故設(shè)直線的方程為由得設(shè)直線與雙曲線交于、,則、是上方程的兩不等實(shí)根,且即且①這時,又即所以即又適合①式所以,直線的方程為與22、(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)連接,交于O,連接OD,根據(jù)中位線的性質(zhì),可證,根據(jù)線面平行的判定定理,即可得證;(2)如圖建系,求得各點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求得平面與平面法向量,根據(jù)二面角的向量求法,即可

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