北京市十五中2025屆高一數學第一學期期末聯考模擬試題含解析

北京市十五中2025屆高一數學第一學期期末聯考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設奇函數在上單調遞增，且，則不等式的解集是（）A B.或C. D.或2．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷錯誤的是（）A.不是棱臺 B.不是圓臺C.不是棱錐 D.是棱柱3．已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的體積是（）A.6 B.8C.12 D.184．若,,,則a,b,c之間的大小關系是()A.c>b>a B.c>a>bC.a>c>b D.b>a>c5．如圖，在正三棱錐中，，點為棱的中點，則異面直線與所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°6．函數的部分圖像為（）A. B.C. D.7．已知O是所在平面內的一定點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的（）A.內心 B.外心C.重心 D.垂心8．已知集合，集合，則下列結論正確的是A. B.C. D.9．如圖中的圖象所表示的函數的解析式為（）A.BC.D.10．已知是角的終邊上的點，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是12．已知函數，若，則的取值范圍是__________13．已知函數．若關于的方程，有兩個不同的實根，則實數的取值范圍是____________14．已知角的終邊過點，則___________.15．已知函數f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函數，則a的取值范圍為______16．已知，若，則_______；若，則實數的取值范圍是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.18．已知集合.（1）若是空集,求取值范圍；（2）若中只有一個元素,求的值,并把這個元素寫出來.19．已知函數是定義在R上的奇函數，當時，.（1）求函數在上的解析式；（2）求不等式解集.20．計算：（1）；（2）.21．已知函數（1）利用函數單調性的定義證明是單調遞增函數；（2）若對任意，恒成立，求實數取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】由奇偶性可將所求不等式化為；利用奇偶性可判斷出單調性和，分別在和的情況下，利用單調性解得結果.【詳解】為奇函數，；又在上單調遞增，，在上單調遞增，；，即；當時，，；當時，，；的解集為或.故選：D.【點睛】方法點睛：本題考查利用函數單調性和奇偶性求解函數不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調性的作用如下：（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側符號，同時根據奇偶函數的對稱性確定對稱區(qū)間的單調性；（2）單調性：將函數值的大小關系轉化為自變量之間的大小關系.2、C【解析】利用幾何體的定義解題.【詳解】A.根據棱臺的定義可知幾何體不是棱臺，所以A是正確的；B.根據圓臺的定義可知幾何體不是圓臺，所以B是正確的；C.根據棱錐的定義可知幾何體是棱錐，所以C是錯誤的；D.根據棱柱的定義可知幾何體是棱柱，所以D是正確的.故答案為C【點睛】本題主要考查棱錐、棱柱、圓臺、棱臺的定義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】由三視圖還原幾何體：底面等腰直角三角形，高為4的三棱錐，應用棱錐的體積公式求體積即可.【詳解】由三視圖可得如下幾何體：底面等腰直角三角形，高為4的三棱錐，∴其體積.故選：A.4、C【解析】利用指數函數與對數函數的單調性即可得出【詳解】∵a=22.5＞1，＜0，，∴a＞c＞b，故選C【點睛】本題考查了指數函數與對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題5、C【解析】取BC的中點E，∠DFE即為所求，結合條件即求.【詳解】如圖取BC的中點E，連接EF，DE，則EF∥AB，∠DFE即為所求，設，在正三棱錐中，，故，∴，∴，即異面直線與所成角的大小為.故選：C.6、D【解析】先判斷奇偶性排除C，再利用排除B，求導判斷單調性可排除A.【詳解】因為，所以為偶函數，排除C；因為，排除B；當時，，，當時，，所以函數在區(qū)間上單調遞減，排除A.故選：D7、A【解析】表示的是方向上的單位向量，畫圖象，根據圖象可知點在的角平分線上，故動點必過三角形的內心.【詳解】如圖，設，，已知均為單位向量，故四邊形為菱形，所以平分，由得，又與有公共點，故三點共線，所以點在的角平分線上，故動點的軌跡經過的內心.故選：A.8、B【解析】由題意得，結合各選項知B正確．選B9、B【解析】分段求解：分別把0≤x≤1及1≤x≤2時解析式求出即可【詳解】當0≤x≤1時，設f（x）=kx，由圖象過點（1，），得k=，所以此時f（x）=x；當1≤x≤2時，設f（x）=mx+n，由圖象過點（1，），（2，0），得，解得所以此時f（x）=．函數表達式可轉化為：y＝|x－1|(0≤x≤2)故答案為B【點睛】本題考查函數解析式的求解問題，本題根據圖象可知該函數為分段函數，分兩段用待定系數法求得10、A【解析】根據三角函數的定義求解即可.【詳解】因為為角終邊上的一點，所以，，，所以故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解析】因為命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為：對任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案為對任何x∈R，都有x2+2x+5≠012、【解析】畫出函數圖象，可得，，再根據基本不等式可求出.【詳解】畫出的函數圖象如圖，不妨設，因為，則由圖可得，，可得，即，又，當且僅當取等號，因為，所以等號不成立，所以解得，即的取值范圍是.故答案為：.13、【解析】作出函數的圖象，如圖所示，當時，單調遞減，且，當時，單調遞增，且，所以函數的圖象與直線有兩個交點時，有14、【解析】根據角終邊所過的點,求得三角函數,即可求解.【詳解】因為角的終邊過點則所以故答案為:【點睛】本題考查了已知終邊所過的點,求三角函數的方法,屬于基礎題.15、【解析】利用對數函數的定義域以及二次函數的單調性，轉化求解即可【詳解】解：函數f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函數，可得：，解得a∈[﹣2，4）故答案為[﹣2，4）【點睛】本題考查復合函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力16、①.②.【解析】先判斷函數的奇偶性，由求解；再根據函數的單調性，由求解.【詳解】因為的定義域為R，且，，所以是奇函數，又，則-2；因為在上是增函數，所以在上是增函數，又是R上的奇函數，所以在R上遞增，且，所以由，得，即，所以，解得或，所以實數的取值范圍是，故答案為：，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由已知利用同角三角函數基本關系式可求，的值，進而根據，利用兩角差的余弦函數公式即可求解（2）利用二倍角公式可求，的值，進而即可代入求解【詳解】（1）因為，所以又因為，所以所以（2）因為，所以所以【點睛】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式，二倍角公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想18、（1）（2）時,；時，【解析】（1）有由是空集,可得方程無解，故，由此解得的取值范圍；（2）若中只有一個元素，則或，求出的值，再把的值代入方程，解得的值，即為所求.試題解析：（1）要使為空集,方程應無實根,應滿足解得.（2）當時,方程為一次方程,有一解；當,方程為一元二次方程,使集合只有一個元素的條件是,解得,.∴時,，元素為：；時，.元素為：19、（1）（2）【解析】（1）根據奇函數的知識求得函數在上的解析式.（2）結合函數的單調性、奇偶性求得不等式的解集.小問1詳解】當時，，.所以函數在上的解析式為.【小問2詳解】當時，為增函數，所以在上為增函數.由得，所以，所以，所以不等式的解集為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用指數冪的運算性質計算即可；（2）利用對數的運算性質計算即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用單調性的定義，取值、作差、整理、定號、得結論，即可得證.（2）令，根據x的范圍，可得t的范圍，