云南省玉溪市峨山彝族自治縣一中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

云南省玉溪市峨山彝族自治縣一中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在求的表面上，且是等邊三角形，底面，，，若點(diǎn)在線段上，且，則過(guò)點(diǎn)的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．2．已知集合，，則集合子集的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．4．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．5．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位6．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣27．在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B． C．5 D．8．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．10．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-111．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．12．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時(shí)，則___14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，且.若任意，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.15．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）若對(duì)任意，都存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.19．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問(wèn)k1+k2是否為定值？并說(shuō)明理由．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（2）若，且直線與平面所成角為，求的值.21．（12分）已知函數(shù),．（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x＜0時(shí)，研究函數(shù)F（x）=h（x）﹣g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.1≈0.0953）．22．（10分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意畫(huà)出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到D的距離，利用勾股定理求得過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑，則答案可求.【詳解】如圖，設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G，則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O，則外接球的半徑R=取SA中點(diǎn)E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1,所以O(shè)D=.則過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過(guò)點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.2、B【解析】

首先求出，再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集，計(jì)算可得.【詳解】解：，，，子集的個(gè)數(shù)為.故選：.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運(yùn)算，集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，5、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個(gè)單位得到.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.6、D【解析】

化簡(jiǎn)z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問(wèn)題，難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問(wèn)題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.8、D【解析】

連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，在等腰中，取的中點(diǎn)為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.9、D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.10、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容．【詳解】由程序框圖的運(yùn)行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時(shí)，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應(yīng)是i＜1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時(shí)算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線距離公式可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點(diǎn)到直線距離公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)所給表達(dá)式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可確定函數(shù)對(duì)稱軸及周期性，進(jìn)而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數(shù)對(duì)稱性可知關(guān)于對(duì)稱，且令，代入可得，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題.14、【解析】

當(dāng)時(shí)，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據(jù)定義求出，再借助單調(diào)性求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對(duì)值號(hào)，然后解不等式即可.（2）因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得不等式成立，等價(jià)于，根據(jù)絕對(duì)值不等式易求，根據(jù)二次函數(shù)易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由得，，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由得，，解得.所以的解集為（2）對(duì)任意，都存在，得成立，等價(jià)于.因?yàn)椋?，且|，①當(dāng)時(shí)，①式等號(hào)成立，即.又因?yàn)?，②?dāng)時(shí)，②式等號(hào)成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】知識(shí)：考查含兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)的不等式的解法；恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題求參變數(shù)的范圍問(wèn)題；能力：分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力；中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關(guān)系；（2）通過(guò)對(duì)的導(dǎo)函數(shù)分析，確定有唯一零點(diǎn)，則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當(dāng)時(shí)，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，，所以存在滿足，即.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因?yàn)?，所以，所以，所?【點(diǎn)睛】（1）求函數(shù)中字母的范圍時(shí)，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；（2）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí)，需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析，以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出函數(shù)的最值.19、（1）（2）k1+k2為定值0，見(jiàn)解析【解析】

（1）利用已知條件直接求解，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線在軸上的截距為，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用韋達(dá)定理求出，然后化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)（0,），則，又a+b＝3，所以，故橢圓的方程為；（2），證明如下：設(shè)直線在軸上的截距為，所以直線的方程為：，由得：，由得，設(shè)，則，所以，又，所以，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)為，易得兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易得為平面的法向量，只需求出平面的法向量為，再利用計(jì)算即可；（2）求出，利用計(jì)算即可.【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)椤?，所以?因?yàn)?，所?因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以兩兩垂?以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，所以.又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.（2）由（1）得，平面的法向量為，所以成.又直線與平面所成角為，所以，即，即，化簡(jiǎn)得，所以，符合題意.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.21、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得導(dǎo)數(shù)，討論a＞1和a≤1，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F'（x）的單調(diào)性，討論a≤﹣1，a＞﹣1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex＞1+ln（x+1）對(duì)x＞0恒成立，令；由（2）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，對(duì)x＜0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證．【詳解】（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），則，①若a≤1，則，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）遞增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，滿足，所以a≤1；②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）遞增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，且x→+∞時(shí)，H'（x）→+∞，則?x0∈（0，+∞），使H'（x0）=0進(jìn)而H（x）在[0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)H（x）＜H（0）=0，即當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＞h（x），不滿足題意，舍去；綜合①，②知a的取值范圍為（﹣∞，1]．（Ⅱ）解：依題意得，則F'（x）=ex﹣x2+a，則F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）遞增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞時(shí)，F(xiàn)'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，則F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）遞減，所以F（x）＞F（0）=0，F(xiàn)（x）在（﹣∞，0）無(wú)零點(diǎn)；②若1+a＞0，即a＞﹣1，則使，進(jìn)而F（x）在遞減，在遞增，，且x→﹣∞時(shí)