161二次根式的概念及性質(zhì)(精講)-2021-2022學年八年級數(shù)學下學期重要考點(人教版)

16.1二次根式的概念及性質(zhì)二次根式及代數(shù)式的概念

1.二次根式：一般地，我們把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．

注意：

二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負數(shù).2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a≥0)這些式子，用基本的運算符號(基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)形如（a≥0）的式子叫做二次根式判斷即可．【解答】解：A、當a+1＜0時，不是二次根式，故此選項不符合題意；B、當a﹣1＜0時，不是二次根式，故此選項不符合題意；C、當a＝0時，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此選項不符合題意；D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此選項符合題意；故選：D．【變式11】下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二次根式的概念及二次根式成立的條件進行判斷．【解答】解：②，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；③是三次根式；⑤當a＜9時，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；⑥，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；①；④（x≤3）；⑦（ab≥0）是二次根式．故選：B．【變式12】下列式子中，一定屬于二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A選項，被開方數(shù)不是非負數(shù)，沒有意義，故該選項不符合題意；B選項，被開方數(shù)不能保證x﹣2是非負數(shù)，故該選項不符合題意；C選項，是三次根式，故該選項不符合題意；D選項，是二次根式，故該選項符合題意；故選：D．二次根式的性質(zhì)

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

注意：二次根式具有非負性

1.二次根式(a≥0)的值是非負數(shù)。一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1).的取值范圍不同，中≥0，中為任意值。2).≥0時，==；<0時，無意義，=.2.若有意義，則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，2x+1≥0，解得，故選：A．【變式21】代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的值可能為（）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出x的范圍．【解答】解：由題意可知：，解得：x≥1，∴x的值可能為1．/故選：D．【變式22】二次根式有意義，則x滿足的條件是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣2＞0，解得，x＞2．故選：B．【變式23】（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)n所有可能的值；（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值．【分析】（1）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；（2）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．【解答】解：（1）∵是整數(shù)，∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，則自然數(shù)n的值為2，9，14，17，18；（2）∵是整數(shù)，n為正整數(shù)，∴24n＝144，即n＝6，則正整數(shù)n的最小值為6．利用二次根式的性質(zhì)進行計算3.計算下列各式：(1)(2)【答案與解析】(1).(2).【總結(jié)】二次根式性質(zhì)的運用.【變式31】（1）=_____________.（2）=_____________.【答案】(1)10;(2)0.4.實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡|a|+的結(jié)果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b【分析】根據(jù)數(shù)軸可判斷a、a﹣b與0的大小關(guān)系，然后利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)即可化簡求出答案．【解答】解：由數(shù)軸可知：a＞0，b＜a，∴a﹣b＞0，∴原式＝a+a﹣b＝2a﹣b，故選：A．【變式41】已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|．【解析】解：由圖可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c＜0，c﹣b＜0，=﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.【總結(jié)】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負性，根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡、絕對值的性質(zhì)，正確進行計算即可.【變式42】若整數(shù)滿足條件則的值是___________.【答案】=0或=1.【變式43】若x，y都是實數(shù)，且y＝++8，求3x+2y的平方根．【分析】直接利用二次根式有意義的條件